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स्वरों को एक खंड मानकर बाहर (8!/(2!2!)) और भीतर (4!/2!) तरीके मिलते हैं। दोहराए अक्षरों को हर बार अलग न मानें। / Treat the vowels as one block, giving (8!/(2!2!)) outside and (4!/2!) inside. Do not treat repeated letters as distinct.
व्यंजनों के स्थान \(^{11}C_6\) तरीकों से चुनें और शेष (5) स्वरों को (5!) तरीकों से रखें। सापेक्ष क्रम निश्चित हो तो केवल स्थान चुनने होते हैं। / Choose consonant positions in \(^{11}C_6\) ways and arrange the (5) vowels in (5!) ways. When relative order is fixed, only positions are chosen.
(8) से विभाज्यता अंतिम (3) अंकों से तय होती है और पहले अंक में (0) नहीं आ सकता। ऐसे प्रश्नों में अंतिम (3) अंकों के मान्य क्रम पहले गिनें। / Divisibility by (8) is decided by the last (3) digits and the first digit cannot be (0). In such questions, count valid last (3)-digit endings first.
(A) को स्थिर करने पर (B) और (C) के लिए (A) के पास की (2) जगहें निषिद्ध हैं। पहले निषिद्ध स्थान हटाकर बाकी लोगों को व्यवस्थित करें। / After fixing (A), the (2) seats adjacent to (A) are forbidden for (B) and (C). Remove forbidden positions first and then arrange the rest.
कुल (11!/(4!4!2!)) व्यवस्थाओं में से (P) साथ वाली (10!/(4!4!)) व्यवस्थाएं घटाएं। न-साथ के लिए कुल में से साथ वाले केस घटाएं। / Subtract the together cases (10!/(4!4!)) from the total (11!/(4!4!2!)). For not-together cases, subtract the adjacent cases from the total.
सही पत्र \(^{7}C_2\) तरीकों से चुनें और बाकी (5) पत्रों का पूर्ण विस्थापन (44) है। ठीक सही की शर्त में शेष सभी गलत होने चाहिए। / Choose the correct letters in \(^{7}C_2\) ways and derange the remaining (5) letters in (44) ways. For exactly correct cases, all remaining objects must be wrong.
माला की संख्या ((8-1)!/2) होती है क्योंकि घुमाना और पलटना दोनों समान हैं। माला और गोल बैठक का अंतर याद रखें। / The number of necklaces is ((8-1)!/2) because both rotations and reflections are identical. Remember the difference between necklaces and circular seating.
तीनों अक्षरों को एक खंड मानने पर (7!) व्यवस्थाएं हैं और अंदर (3!-1) मान्य क्रम हैं। खंड की आंतरिक व्यवस्था अलग से गिनें। / Treat the three letters as one block, giving (7!) arrangements, and inside it (3!-1) valid orders. Count the internal arrangements of the block separately.
अक्षरों की संख्या (2,3,4) लेकर स्थान, अक्षर और अंक अलग-अलग व्यवस्थित करें। मिश्रित कोड में पहले प्रकार-स्थान चुनना अच्छा रहता है। / Take the number of letters as (2,3,4), then arrange positions, letters and digits separately. In mixed codes, first choose the position types.
पहला अंक (5,6,7,8) में से और अंतिम अंक विषम होना चाहिए। सीमा और विषमता को केस बनाकर साथ गिनें। / The first digit must be one of (5,6,7,8), and the last digit must be odd. Count the bound and oddness together by cases.
पहले गैर-(E) अक्षरों को (6!/(2!2!)) तरीकों से रखें और (7) अंतरालों में से (4) में (E) रखें। समान अक्षर हों तो अंतराल चयन काफी होता है। / First arrange the non-(E) letters in (6!/(2!2!)) ways and place (E)'s in (4) of the (7) gaps. With identical letters, gap selection is enough.
(A) को स्थिर करने पर (B) के लिए (2) स्थान मिलते हैं और बाकी (6) लोग (6!) तरीकों से बैठते हैं। गोल दूरी में एक व्यक्ति को स्थिर करना सबसे आसान है। / Fix (A), then (B) has (2) possible positions and the remaining (6) people arrange in (6!) ways. For circular gaps, fixing one person is easiest.
कुल (9!) व्यवस्थाओं में (1,2,3) के (3!) और (4,5) के (2!) क्रम समान रूप से संभव हैं। इसलिए (9!/(3!2!)) लें। / In the total (9!) arrangements, the (3!) orders of (1,2,3) and (2!) orders of (4,5) are equally likely. So use (9!/(3!2!)).
हर स्थान पर उससे छोटे उपलब्ध अक्षरों से बनने वाली व्यवस्थाएं जोड़कर अंत में (1) जोड़ते हैं। रैंक में दोहराए अक्षरों की गिनती ध्यान से करें। / Add arrangements formed by smaller available letters at each position, then add (1). In rank problems, handle repeated letters carefully.
बाकी (7) लोगों को (7!) तरीकों से बैठाकर (8) अंतरालों में (A,B,C) को \(^{8}P_3\) तरीकों से रखें। न-साथ की शर्त में अंतराल विधि शक्तिशाली होती है। / Arrange the other (7) people in (7!) ways and place (A,B,C) in the (8) gaps in \(^{8}P_3\) ways. The gap method is powerful for non-adjacent conditions.
स्वरों के (5) स्थान \(^{13}C_5\) तरीकों से चुनें और व्यंजनों को (8!/2!) तरीकों से रखें। स्वर-क्रम निश्चित होने पर उनके अलग क्रम नहीं गिने जाते। / Choose the (5) vowel positions in \(^{13}C_5\) ways and arrange consonants in (8!/2!) ways. When vowel order is fixed, do not count their separate orders.
दो विशेष पुरुष सिरों पर (2!) तरीकों से, बाकी पुरुष (4!) तरीकों से और महिलाएं (5) अंदरूनी अंतरालों में (5!) तरीकों से बैठती हैं। पहले सिरों की शर्त लगाएं। / The two specified men occupy the ends in (2!) ways, the remaining men in (4!) ways, and women in the (5) internal gaps in (5!) ways. Apply end restrictions first.
पहले (5) व्यंजनों को (5!) तरीकों से रखें और (6) अंतरालों में से (3) में स्वरों को \(^{6}P_3\) तरीकों से रखें। स्वर अलग हों तो स्थान और क्रम दोनों गिनें। / Arrange the (5) consonants in (5!) ways and place the vowels in (3) of the (6) gaps in \(^{6}P_3\) ways. If vowels are distinct, count both positions and order.
(A) पहले (B) से आने वाली व्यवस्थाएं (9!/2) हैं और साथ में (A) पहले (B) हो तो (8!) घटेगा। क्रम और साथ की शर्त अलग-अलग संभालें। / Arrangements with (A) before (B) are (9!/2), and adjacent cases with (A) before (B) are (8!). Handle order and adjacency separately.
कुल (8!/2!) व्यवस्थाओं में से (A) साथ वाली (7!) व्यवस्थाएं घटाएं। समान अक्षरों के न-साथ प्रश्न में घटाने की विधि सरल है। / Subtract the adjacent (A) cases (7!) from the total (8!/2!). For non-adjacent identical letters, subtraction is simple.
संख्या सम होनी चाहिए और अंकों का योग (3) से विभाज्य होना चाहिए। (6) से विभाज्यता में (2) और (3) दोनों नियम साथ लगते हैं। / The number must be even and its digit sum must be divisible by (3). Divisibility by (6) needs both the (2) and (3) tests.
पहले लड़कों को गोल मेज पर (6!) तरीकों से बैठाएं और बने (7) अंतरालों में (5) लड़कियां \(^{7}P_5\) तरीकों से बैठेंगी। गोल अंतराल में पहले एक समूह व्यवस्थित करें। / Arrange the boys around the circle in (6!) ways and place (5) girls in the (7) gaps in \(^{7}P_5\) ways. For circular gaps, arrange one group first.
एक पुस्तक को स्थिर करें तो दूसरी के लिए (5) में से (1) विपरीत स्थान निषिद्ध है और बाकी (4!) तरीके हैं। आमने-सामने वाली शर्त में एक वस्तु स्थिर करें। / Fix one book; for the other, (1) of the (5) positions is forbidden, and the remaining books arrange in (4!) ways. For opposite-position restrictions, fix one object.
(7) अलग अक्षरों और (10) अंकों से (3) अक्षर के बाद (3) अंक वाला कोड बनता है। अक्षर दोहराए नहीं जाते और अंकों में ठीक एक अंक दो बार आता है। कितने कोड बनेंगे?
अक्षरों के लिए \(^{7}P_3\) तरीके हैं और अंक भाग में दोहराया अंक (10), दूसरा अंक (9) और स्थान (3) तरीकों से चुनते हैं। कोड के भाग अलग-अलग गिनें। / The letter part has \(^{7}P_3\) ways, and in the digit part choose the repeated digit in (10) ways, the other digit in (9) ways and its position in (3) ways. Count code parts separately.
पहले गैर-(T) अक्षरों को (6!/2!) तरीकों से रखें और (7) अंतरालों में से (3) में (T) रखें। समान (T) होने के कारण केवल अंतराल चुनें। / Arrange non-(T) letters in (6!/2!) ways and choose (3) of the (7) gaps for the (T)'s. Since the (T)'s are identical, only choose gaps.
(S,Q) के लिए दूरी (5) वाले (3) स्थान-जोड़े और (2) क्रम हैं, शेष (6) स्थान (6!/3!) तरीकों से भरते हैं। दूरी वाले प्रश्न में स्थान-जोड़े पहले गिनें। / There are (3) position pairs at distance (5) for (S,Q), with (2) orders, and the remaining (6) places fill in (6!/3!) ways. For gap-distance questions, count position pairs first.
चार विशेष व्यक्तियों को निश्चित क्रम वाले एक खंड के रूप में मानें, तब कुल (9) इकाइयां (9!) तरीकों से सजती हैं। निश्चित अंदरूनी क्रम हो तो अतिरिक्त (4!) नहीं लगेगा। / Treat the four specified people as one block with fixed internal order, so (9) units arrange in (9!) ways. If internal order is prescribed, do not multiply by (4!).
पहले (0) और (9) दोनों शामिल वाली व्यवस्थाएं गिनें और फिर उनके साथ वाली व्यवस्थाएं घटाएं। शून्य शामिल हो तो अग्र स्थान की सावधानी जरूरी है। / First count arrangements containing both (0) and (9), then subtract cases where they are adjacent. When (0) is included, handle the leading position carefully.
(9) स्थानों में (5) विषम स्थान हैं, जिनमें (3) स्वर \(^{5}C_3\cdot 3!/2!\) तरीकों से बैठेंगे और व्यंजन (6!/2!) तरीकों से। स्थान-प्रकार पहले तय करें। / There are (5) odd positions among (9); place the (3) vowels in \(^{5}C_3\cdot 3!/2!\) ways and consonants in (6!/2!) ways. Decide position types first.
(A) को स्थिर करने पर (B) और (C) के लिए दो बराबर दूरी वाले स्थान बचते हैं और वे (2!) तरीकों से बदल सकते हैं। बाकी (6) लोग (6!) तरीकों से बैठते हैं। / Fix (A); then (B) and (C) occupy the two equally spaced positions in (2!) ways. The remaining (6) people sit in (6!) ways.
समावेशन-बहिष्करण से \(7!-3\cdot 6!+3\cdot 5!-4!\) मिलता है। कई निषिद्ध स्थान हों तो यही विधि सुरक्षित है। / By inclusion-exclusion, the count is \(7!-3\cdot 6!+3\cdot 5!-4!\). For multiple forbidden positions, this method is safe.
(C) को खंड मानकर कुल (8!/(2!2!)) व्यवस्थाएं हैं, फिर (A) साथ वाली (7!/2!) व्यवस्थाएं घटाएं। दो शर्तों में पहले अनिवार्य खंड बनाएं। / Treat the two (C)'s as a block, giving (8!/(2!2!)) arrangements, then subtract the cases with adjacent (A)'s, (7!/2!). For two conditions, first form the required block.
प्रत्येक स्थान पर छोटे उपलब्ध अक्षरों से बनने वाली व्यवस्थाएं जोड़ें और अंत में (1) जोड़ें। रैंक निकालते समय वर्णक्रम पहले लिखें। / Add arrangements beginning with smaller available letters at each position and then add (1). Write the alphabetical order first when finding rank.
चुने हुए स्थानों में क्रम निश्चित हो जाता है, लेकिन पहला अंक (0) नहीं हो सकता। ऐसी शर्तों में क्रम-प्रतिबंध और अग्र शून्य दोनों जांचें। / The order is fixed within the chosen positions, but the first digit cannot be (0). In such restrictions, check both order and leading zero.
(A,B) के लिए बीच के (6) स्थानों में \(^{6}P_2\) तरीके हैं, फिर साथ वाली \(5\cdot 2\cdot 6!\) व्यवस्थाएं घटती हैं। बीच और न-साथ दोनों शर्तों को साथ गिनें। / For (A,B), use the (6) middle positions in \(^{6}P_2\) ways, then subtract adjacent cases \(5\cdot 2\cdot 6!\). Count middle-position and non-adjacent restrictions together.
केवल स्वरों के (3) स्थान चुनने हैं, क्योंकि स्वर और व्यंजन दोनों के क्रम निश्चित हैं। क्रम निश्चित हो तो स्थान-चयन ही उत्तर देता है। / Only the (3) vowel positions must be chosen, because both vowel and consonant orders are fixed. When orders are fixed, position selection gives the answer.
कुल गोल व्यवस्थाएं (10!) हैं और तीनों साथ होने पर \(8!\cdot 3!\) व्यवस्थाएं घटती हैं। न-सभी-साथ में कुल से खराब केस घटाएं। / Total circular arrangements are (10!), and all-three-together cases are \(8!\cdot 3!\). For not-all-together cases, subtract the bad cases from total.
स्वर-खंड के भीतर (5!/(2!3!)) और बाहर (6!/2!) व्यवस्थाएं हैं। खंड और दोहराव दोनों को एक साथ देखें। / Inside the vowel block there are (5!/(2!3!)) arrangements, and outside there are (6!/2!) arrangements. Handle the block and repetitions together.
हर जोड़े को एक खंड मानें, (5) खंड (5!) तरीकों से और हर खंड के भीतर (2) तरीके हैं। जोड़ों में \(2^5\) अंदरूनी क्रम लगते हैं। / Treat each couple as a block; the (5) blocks arrange in (5!) ways and each block has (2) internal orders. Couples contribute \(2^5\) internal arrangements.
दो विशेष में से एक (2) तरीकों से चुनें, बाकी (4) अक्षर (7) में से चुनें और (5!) तरीकों से सजाएं। ठीक एक की शर्त में दोनों केस अलग गिनें। / Choose one of the two specified letters in (2) ways, choose (4) more from the remaining (7), and arrange in (5!) ways. For exactly-one conditions, count both choices separately.
पहले (2,4,6) में से ठीक एक अंक शामिल करें और अंतिम अंक विषम रखने के केस बनाएं। विषमता और अनिवार्य चयन को साथ संभालें। / First include exactly one digit from (2,4,6), then make cases for an odd unit digit. Handle oddness and compulsory choice together.
इसमें (T) तीन बार और (O,N,I) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (12!/(3!2!2!2!)) है। लंबे शब्द में आवृत्ति तालिका बनाएं। / Here (T) appears three times and (O,N,I) appear twice each, so the count is (12!/(3!2!2!2!)). For long words, make a frequency table.
(A,B,C) के सापेक्ष क्रमों में (A) बीच में होने की संभावना (1/3) है और (D) पहले (E) से होने की (1/2) है। इसलिए (10!/6) होगा। / Among the relative orders of (A,B,C), (A) is in the middle with probability (1/3), and (D) before (E) has probability (1/2). Hence the count is (10!/6).
पहला अंक सम लेकिन (0) नहीं हो सकता, अंतिम अंक विषम होगा और बीच के (4) स्थान बचे अंकों से भरेंगे। अग्र शून्य की शर्त जरूर जांचें। / The first digit must be even but not (0), the last digit must be odd, and the middle (4) places are filled from remaining digits. Always check the leading zero restriction.
पहले लाल और नीली गेंदों को \(^{11}C_5\) तरीकों से रखें, फिर बने (12) अंतरालों में से (4) में हरी गेंदें रखें। समान वस्तुओं में स्थान-चयन प्रमुख होता है। / First arrange red and blue balls in \(^{11}C_5\) ways, then choose (4) of the (12) gaps for green balls. With identical objects, position selection is the key.
(A,B,C) को खंड मानने पर (6) इकाइयों की गोल व्यवस्था (5!) है और अंदर (B) बीच में न होने के (4) क्रम हैं। गोल खंड में अंदरूनी क्रम अलग गिनें। / Treat (A,B,C) as a block, so (6) units have (5!) circular arrangements, and internally (4) orders do not have (B) in the middle. Count internal orders separately.
सही कार्य पाने वाले \(^{8}C_2\) तरीकों से चुनें और बाकी (6) का विस्थापन \(D_6=265\) है। ठीक (2) सही का मतलब बाकी सभी गलत होंगे। / Choose the (2) correctly assigned people in \(^{8}C_2\) ways and derange the remaining (6) with \(D_6=265\). Exactly (2) correct means all others are wrong.
इसमें (S) तीन बार और (I) तीन बार है, इसलिए संख्या (11!/(3!3!)) है। दोहराव के हर समूह के फैक्टोरियल से भाग दें। / Here (S) appears three times and (I) appears three times, so the count is (11!/(3!3!)). Divide by the factorial of each repeated group.
पहले (6) पहले (8) वाली कुल (8!/2) व्यवस्थाएं लें, फिर (2,4) साथ वाली आधी खंड-व्यवस्थाएं घटाएं। क्रम और न-साथ की शर्त को अलग करें। / First take total arrangements with (6) before (8), (8!/2), then subtract half of the block arrangements where (2,4) are adjacent. Separate order and non-adjacency conditions.
(9) स्थानों में (4) सम स्थान हैं और (4) व्यंजन उन्हीं में (4!) तरीकों से आएंगे, स्वर (5!) तरीकों से बची जगहों पर आएंगे। स्थान-प्रतिबंध में पहले स्थानों की संख्या देखें। / There are (4) even positions among (9), and the (4) consonants occupy them in (4!) ways, while vowels fill the rest in (5!) ways. For position restrictions, first count the positions.
(6) अलग-अलग पुस्तकों को एक शेल्फ पर इस प्रकार सजाना है कि (2) निश्चित पुस्तकें साथ-साथ रहें लेकिन उनका आपसी क्रम बदला जा सके। कुल व्यवस्थाओं की संख्या क्या होगी?
दो पुस्तकों को एक ब्लॉक मानकर \(5!\times2!\) व्यवस्थाएँ मिलती हैं। परीक्षा में साथ रहने वाली वस्तुओं को ब्लॉक बनाएं। / Treat the two books as one block giving \(5!\times2!\) arrangements. In exams, make a block for objects that must stay together.
कुल (7) अक्षर हैं और (R) दो बार आता है, इसलिए संख्या \(\frac{7!}{2!}\) है। दोहराए अक्षरों के लिए फैक्टरियल से भाग दें। / There are (7) letters and (R) repeats twice, so the count is \(\frac{7!}{2!}\). Divide by factorials of repeated letters.
कुल वृत्तीय व्यवस्थाएँ (7!) हैं और साथ बैठने वाली \(2\cdot6!\) हैं, इसलिए उत्तर \(7!-2\cdot6!\) है। वृत्तीय क्रम में एक स्थान स्थिर मानें। / Total circular arrangements are (7!) and adjacent cases are \(2\cdot6!\), so the answer is \(7!-2\cdot6!\). In circular order, fix one position.
अंतिम अंक केवल (5) होगा और बाकी (3) स्थानों पर (6P3) व्यवस्थाएँ होंगी। विभाज्यता की शर्त पहले लगाएं। / The last digit must be (5), and the remaining (3) places have (6P3) arrangements. Apply divisibility conditions first.
कुल (11) अक्षर हैं और (I,S,P) क्रमशः (4,4,2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{4!4!2!}\) है। समान अक्षरों की पुनरावृत्ति को अलग न गिनें। / There are (11) letters with (I,S,P) repeated (4,4,2) times, so the count is \(\frac{11!}{4!4!2!}\). Do not count identical letters separately.
पहले लड़कों को (5!) तरीकों से रखें और (6) खाली स्थानों में (4) लड़कियाँ (6P4) तरीकों से रखें। ऐसी समस्याओं में खाली स्थान विधि सबसे उपयोगी है। / Arrange boys in (5!) ways and place (4) girls in (6) gaps in (6P4) ways. The gap method is most useful here.
अंतिम अंक (1,3,5) में से होगा और पहले अंक में (0) नहीं आ सकता, इसलिए कुल \(3\cdot5\cdot5\cdot4\) है। शून्य वाले प्रश्नों में पहला स्थान अलग देखें। / The last digit is one of (1,3,5), and the first digit cannot be (0), giving \(3\cdot5\cdot5\cdot4\). Handle the leading zero condition separately.
कुल (11) अक्षर हैं और (M,A,T) प्रत्येक (2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{2!2!2!}\) है। दोहराव की संख्या सही पहचानना जरूरी है। / There are (11) letters and (M,A,T) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{11!}{2!2!2!}\). Correctly identify repeated letters.
पहले (4) कुर्सियाँ चुनने और क्रम देने का संयुक्त परिणाम (7P4) है। अलग स्थानों पर अलग व्यक्तियों के लिए permutation प्रयोग करें। / Choosing and ordering (4) chairs together gives (7P4). Use permutation when distinct people occupy distinct positions.
बाकी (3) अंक (7) अंकों से चुनें और कुल (5) अंकों को (5!) तरीकों से सजाएँ। आवश्यक अंकों को पहले शामिल करें। / Choose the remaining (3) digits from (7) digits and arrange all (5) digits in (5!) ways. Include compulsory digits first.
दो विशेष लोगों के स्थान (4) दूरी पर होंगे, ऐसे (5) जोड़े हैं और उनका क्रम (2) तरीकों से होगा, फिर बाकी (7!) हैं। दूरी वाले प्रश्नों में स्थान-जोड़े गिनें। / The two particular people occupy positions (4) apart, giving (5) position pairs and (2) orders, then arrange the remaining (7!). Count position pairs for distance constraints.
कुल (9) अक्षर हैं और (M,T,E) प्रत्येक (2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{9!}{2!2!2!}\) है। समान अक्षर permutation को घटाते हैं। / There are (9) letters and (M,T,E) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{9!}{2!2!2!}\). Identical letters reduce permutations.
महिलाओं को एक ब्लॉक मानकर (8!) क्रम बनते हैं और ब्लॉक के अंदर (3!) क्रम हैं। लगातार रहने पर ब्लॉक विधि लगती है। / Treat the women as one block giving (8!) orders and (3!) internal orders. Use the block method for consecutive objects.
अंतिम अंक (0,2,4) हो सकता है; (0) और गैर-शून्य अंतिम अंक के मामले अलग करके कुल (120+96) मिलता है। शून्य को अंतिम और प्रथम स्थान पर सावधानी से संभालें। / The last digit can be (0,2,4); separating the (0) and nonzero last-digit cases gives (120+96). Handle zero carefully at the first and last positions.
(5) स्वरों को एक ब्लॉक मानें, फिर (5!) बाहरी और (5!) आंतरिक व्यवस्थाएँ मिलती हैं। स्वर साथ हों तो पूरे स्वर-समूह को एक इकाई बनाएं। / Treat the (5) vowels as one block, giving (5!) outside arrangements and (5!) internal arrangements. When vowels are together, make one vowel block.
यह derangement है और ( !6=265) होता है। पूरी तरह गलत मिलान में derangement सूत्र याद रखें। / This is a derangement and ( !6=265). For completely wrong matching, remember the derangement formula.
निश्चित अक्षर के साथ बाकी (4) अक्षर (7) में से चुनकर (5!) तरीकों से सजते हैं। अनिवार्य वस्तु को पहले अलग कर लें। / With the particular letter included, choose (4) more from (7) and arrange the (5) in (5!) ways. Separate the compulsory object first.
दो (N) को एक ब्लॉक मानने पर (5) इकाइयों में (A) तीन बार है, इसलिए \(\frac{5!}{3!}\) है। समान अक्षर और ब्लॉक दोनों का ध्यान रखें। / Treat the two (N)s as one block; among (5) units, (A) repeats (3) times, so the count is \(\frac{5!}{3!}\). Track both blocks and repeated letters.
हजारों का अंक (3,4,5,6) होगा और बाकी (3) स्थान (7P3) तरीकों से भरेंगे। सीमा वाली संख्या में पहला अंक तय करने से काम आसान होता है। / The thousands digit is (3,4,5,6), and the remaining (3) places can be filled in (7P3) ways. For range questions, fix the first digit first.
दोनों चुने जाने पर \(8C2\cdot4!\) और दोनों न चुने जाने पर \(8C4\cdot4!\) मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में cases अलग करके जोड़ें। / If both are selected, count \(8C2\cdot4!\); if both are not selected, count \(8C4\cdot4!\). Split such problems into cases and add.
माला के लिए संख्या (\frac{(7-1)!}{2}) होती है क्योंकि पलटाव भी समान है। वृत्त और माला में अंतर याद रखें। / For a necklace, the count is (\frac{(7-1)!}{2}) because reflection is also identical. Remember the difference between circular arrangements and necklaces.
कुल \(\frac{7!}{2!}\) व्यवस्थाएँ हैं और (3) अलग स्वरों के (3!) क्रम समान रूप से संभव हैं, इसलिए भाग दें। क्रम-प्रतिबंध में अक्सर कुल को संभव क्रमों से बाँटते हैं। / Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\), and the (3) distinct vowels have (3!) equally likely orders, so divide by (3!). For order restrictions, divide by possible orders.
दोनों विशेष लोग चुने जाएँगे, बाकी (3) लोग (6) में से चुने जाएँगे और ब्लॉक सहित \(4!\cdot2!\) क्रम होंगे। पहले चयन, फिर व्यवस्था करें। / The two particular people are selected, choose (3) more from (6), then arrange the block and others in \(4!\cdot2!\) ways. Choose first, then arrange.
अंतिम दो अंकों के (14) वैध क्रम हैं; जिनमें (0) नहीं है उनके लिए \(5\cdot5P2\) और जिनमें (0) है उनके लिए (6P3) गिनें। (4) से विभाज्यता में अंतिम दो अंक देखें। / There are (14) valid ordered endings; endings without (0) give \(5\cdot5P2\) and endings with (0) give (6P3). For divisibility by (4), check the last two digits.
(9) अलग-अलग विद्यार्थियों में से (6) को एक पंक्ति में बैठाना है। एक निश्चित विद्यार्थी अवश्य बैठे और दूसरा निश्चित विद्यार्थी न बैठे, ऐसे कितने क्रम हैं?
अनिवार्य विद्यार्थी के साथ बाकी (5) विद्यार्थी (7) में से चुनें और (6!) तरीकों से सजाएँ। शामिल और बाहर वाली शर्तें पहले लगाएं। / With the compulsory student, choose (5) more from the remaining (7) and arrange (6!) ways. Apply inclusion and exclusion conditions first.
तीन लोगों को एक ब्लॉक मानकर (6) इकाइयों की वृत्तीय व्यवस्था (5!) है और ब्लॉक के अंदर (3!) क्रम हैं। वृत्तीय ब्लॉक में इकाइयों की संख्या घटती है। / Treat the three people as one block; (6) units around a circle give (5!), and the block has (3!) internal orders. Circular blocks reduce the number of units.
कुल \(\frac{7!}{2!}\) और साथ वाले (6!) हैं, इसलिए अंतर (2520-720) है। न-साथ वाली स्थिति में कुल से साथ वाली घटाएँ। / Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\) and together cases are (6!), so the difference is (2520-720). For not-together cases, subtract together cases from total.
शुरुआत लड़के या लड़की से हो सकती है, इसलिए (2) पैटर्न हैं और हर पैटर्न में \(6!\cdot6!\) क्रम हैं। बराबर संख्या पर दो वैकल्पिक पैटर्न बनते हैं। / The row may start with a boy or a girl, giving (2) patterns, each with \(6!\cdot6!\) orders. Equal numbers create two alternating patterns.
अंतिम दो अंक केवल (25,75) हो सकते हैं और पहले दो स्थान (6P2) तरीकों से भरते हैं। (25) से विभाज्यता में अंतिम दो अंक तय करें। / The last two digits can only be (25,75), and the first two places are filled in (6P2) ways. For divisibility by (25), fix the last two digits.
कुल (7) अक्षर हैं और (S,C) क्रमशः (3,2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{7!}{3!2!}\) है। पुनरावृत्त अक्षरों को अलग-अलग न गिनें। / There are (7) letters with (S,C) repeated (3,2) times, so the count is \(\frac{7!}{3!2!}\). Do not count repeated letters as distinct.
विशेष झंडा पहले स्थान पर तय है और बाकी (3) स्थान (9P3) तरीकों से भरेंगे। तय स्थान को पहले लॉक करें। / The particular flag is fixed at the first position, and the remaining (3) places are filled in (9P3) ways. Lock the fixed position first.
कुल (8!) व्यवस्थाओं से (E,O) साथ वाले \(2\cdot7!\) घटाएँ। दो विशेष वस्तुओं के न-साथ होने पर कुल से ब्लॉक-केस घटाएँ। / Subtract adjacent cases \(2\cdot7!\) from total (8!). For two special objects not adjacent, subtract the block case from total.
(5) अलग-अलग गणित की और (4) अलग-अलग भौतिकी की पुस्तकों को शेल्फ पर सजाना है। किसी भी दो भौतिकी पुस्तकों के बीच कम से कम एक गणित पुस्तक हो, ऐसे कितने क्रम हैं?
पहले गणित पुस्तकों को (5!) तरीकों से रखें और (6) खाली स्थानों में (4) भौतिकी पुस्तकें (6P4) तरीकों से रखें। बीच में अलगाव के लिए gaps method लगाएं। / Arrange mathematics books in (5!) ways and place (4) physics books in (6) gaps in (6P4) ways. Use the gaps method for separation.
दोनों निश्चित अक्षर चुने जाते हैं, बाकी (3) अक्षर (7) में से चुनें और ब्लॉक सहित \(4!\cdot2!\) क्रम बनते हैं। आंशिक चयन में पहले चुनी हुई वस्तुएँ तय करें। / The two particular letters are selected, choose (3) more from (7), and arrange the block and others in \(4!\cdot2!\) ways. In partial selection, fix chosen objects first.
बाकी (4) अंक (8) में से चुनें और (5) स्थानों में (0) पहले स्थान को छोड़कर (4) स्थानों पर हो सकता है, फिर (4!) क्रम हैं। शून्य के स्थानों को अलग गिनें। / Choose the other (4) digits from (8); (0) can occupy (4) non-first positions, and the rest arrange in (4!) ways. Count zero positions separately.
दो सिरों पर (T,E) को (2!) तरीकों से रखें और बीच के (6) अक्षर (6!) तरीकों से सजाएँ। सिरों की शर्त में endpoints पहले भरें। / Place (T,E) at the two ends in (2!) ways and arrange the remaining (6) letters in (6!) ways. For endpoint constraints, fill endpoints first.
(10) अलग-अलग लोगों को एक पंक्ति में बैठाया जाता है। दो निश्चित लोग साथ-साथ बैठें और तीसरा निश्चित व्यक्ति उनके किसी भी सिरे पर न बैठे, ऐसे कितने क्रम हैं?
दो साथ बैठे लोगों को ब्लॉक मानकर \(9!\cdot2\) से वे cases घटाएँ जहाँ तीसरा व्यक्ति सिरों पर है, जो \(2\cdot8!\cdot2\) हैं। संयुक्त शर्तों में पहले आसान कुल बनाकर निषिद्ध घटाएँ। / Treat the adjacent pair as a block giving \(9!\cdot2\), then subtract cases where the third person is at an end, \(2\cdot8!\cdot2\). For combined conditions, count a simple total and subtract forbidden cases.
एक निश्चित विद्यार्थी को स्थिर करें, दूसरा उसके सामने निश्चित होगा और बाकी (6) विद्यार्थी (6!) तरीकों से बैठेंगे। सामने की सीट वाली वृत्तीय समस्या में एक व्यक्ति स्थिर करें। / Fix one particular student; the other is fixed opposite, and the remaining (6) students can be seated in (6!) ways. For opposite-seat circular problems, fix one person.
कुल \(\frac{8!}{2!}\) और (C) साथ वाले (7!) हैं, इसलिए अलग रहने वाली (20160-5040) हैं। अलग रहने पर कुल से साथ वाला case घटाएँ। / Total arrangements are \(\frac{8!}{2!}\), and adjacent (C) cases are (7!), so separated cases are (20160-5040). For separated objects, subtract adjacent cases from total.
किसी भी चुने गए (5) अंकों का बढ़ता हुआ क्रम केवल (1) होता है, इसलिए संख्या (8C5) है। क्रम निश्चित हो तो केवल चयन गिनें। / Any chosen set of (5) digits has only (1) increasing order, so the count is (8C5). If the order is fixed, count only selection.
कुल (11) अक्षर हैं और (B,I) प्रत्येक (2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{2!2!}\) है। बड़े शब्दों में अक्षर आवृत्ति सावधानी से गिनें। / There are (11) letters and (B,I) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{11!}{2!2!}\). Count letter frequencies carefully in long words.
(12) अलग-अलग पुरस्कारों को (5) विद्यार्थियों में बाँटना है, यदि एक विद्यार्थी को (4) पुरस्कार और बाकी (4) विद्यार्थियों को (2)-(2) पुरस्कार मिलें। वितरण के कितने तरीके हैं?
(4) पुरस्कार पाने वाला विद्यार्थी (5) तरीकों से चुनेगा और वितरण (\frac{12!}{4!(2!)4}) से होगा। वस्तुएँ अलग हों तो समूह-आकारों से भाग दें। / Choose the student receiving (4) prizes in (5) ways and distribute as (\frac{12!}{4!(2!)4}). For distinct objects in fixed group sizes, divide by group factorials.
पहली जोड़ी को ब्लॉक बनाकर कुल \(2\cdot5!\) हैं और दूसरी जोड़ी साथ हो तो \(2\cdot2\cdot4!\) घटाएँ। मिश्रित वृत्तीय शर्तों में block और subtraction साथ प्रयोग करें। / Make the first pair a block giving \(2\cdot5!\), then subtract cases where the second pair is adjacent, \(2\cdot2\cdot4!\). Use block and subtraction together in mixed circular constraints.
अंतिम अंक (0) होने पर (9P5) और अंतिम अंक (2,4,6,8) होने पर \(4\cdot8\cdot8P4\) मिलते हैं। शून्य और गैर-शून्य अंतिम अंक के cases अलग करें। / If the last digit is (0), count (9P5); if it is (2,4,6,8), count \(4\cdot8\cdot8P4\). Separate zero and nonzero last-digit cases.
कुल (11) अक्षर हैं और (N,E,D) क्रमशः (3,3,2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{3!3!2!}\) है। repeated letters की सभी आवृत्तियाँ लिखें। / There are (11) letters with (N,E,D) repeated (3,3,2) times, so the count is \(\frac{11!}{3!3!2!}\). Write all repeated-letter frequencies.
(9) अलग-अलग खिलाड़ियों को एक पंक्ति में खड़ा करना है। कप्तान हमेशा गोलकीपर से बाएँ हो लेकिन उनके बीच लोगों की संख्या कोई भी हो सकती है। कितने क्रम संभव हैं?
कुल (9!) क्रमों में कप्तान और गोलकीपर के दो आपसी क्रम बराबर हैं, इसलिए आधे क्रम मान्य हैं। relative order fixed हो तो कुल को (2) से बाँटें। / In total (9!) orders, the two relative orders of captain and goalkeeper are equally likely, so half are valid. If relative order is fixed, divide by (2).
दो विशेष कार्डों के स्थानों में अंतर (3) होगा, ऐसे (5) स्थान-जोड़े हैं और उनका क्रम (2) तरीकों से है, फिर (6!) क्रम हैं। exact gap में position pairs गिनें। / The positions of the two particular cards differ by (3), giving (5) position pairs and (2) orders, then the remaining (6!) arrangements. Count position pairs for exact gaps.
स्वर (E,E,I,O) एक ब्लॉक हैं, इसलिए बाहरी (6) इकाइयाँ (6!) तरीकों से और अंदर स्वर \(\frac{4!}{2!}\) तरीकों से सजते हैं। vowel block में repeated vowels का भाग देना न भूलें। / The vowels (E,E,I,O) form one block, so (6) outside units arrange in (6!) ways and the vowels arrange internally in \(\frac{4!}{2!}\) ways. Do not forget repeated vowels inside the vowel block.
(10) अलग-अलग वस्तुओं को एक पंक्ति में सजाया जाता है। तीन निश्चित वस्तुओं का आपसी क्रम (A) पहले, फिर (B), फिर (C) होना चाहिए, लेकिन वे साथ-साथ होना जरूरी नहीं है। कुल व्यवस्थाएँ कितनी हैं?
कुल (10!) क्रमों में तीन विशेष वस्तुओं के (3!) आपसी क्रम समान रूप से संभव हैं, इसलिए \(\frac{10!}{3!}\) है। relative order fixed हो तो कुल को उस group के factorial से बाँटें। / Among total (10!) arrangements, the (3!) relative orders of the three special objects are equally likely, so the count is \(\frac{10!}{3!}\). If relative order is fixed, divide by that group's factorial.
पहले व्यंजनों को \(\frac{6!}{3!2!}\) तरीकों से सजाएँ और (7) खाली स्थानों में स्वरों को \(\binom{7}{5}\frac{5!}{3!2!}\) तरीकों से रखें। स्वर साथ न हों तो gap method लगाएँ। / Arrange the consonants in \(\frac{6!}{3!2!}\) ways and place the vowels in (7) gaps in \(\binom{7}{5}\frac{5!}{3!2!}\) ways. Use the gap method when vowels must not be adjacent.
(A) और (B) को एक खंड मानें, इसलिए (7) वस्तुओं की गोल व्यवस्था (6!) और अंदर (2!) तरीके हैं। परीक्षा में साथ वाली शर्त पर खंड विधि लगाएं। / Treat (A) and (B) as one block, so circular arrangements are (6!) and internal arrangements are (2!). Exam tip: use block method for together conditions.
कुल (7!) से उन व्यवस्थाओं को घटाएं जिनमें (3) विशेष पुस्तकें एक खंड बनती हैं, यानी \(5!\times3!\)। परीक्षा में निषेध शर्त के लिए कुल से प्रतिकूल घटाएं। / Subtract arrangements where the (3) special books form one block, that is \(5!\times3!\), from total (7!). Exam tip: for not-together cases, subtract unfavorable cases.
कुल (7) अक्षर हैं और (R) दो बार आता है, इसलिए संख्या \(\frac{7!}{2!}\) है। परीक्षा में समान अक्षरों के फैक्टोरियल से भाग दें। / There are (7) letters and (R) repeats twice, so the count is \(\frac{7!}{2!}\). Exam tip: divide by factorials of repeated letters.
(TT) को एक खंड मानने पर (8) वस्तुएं मिलती हैं जिनमें (M), (E) और (T)-खंड जैसी पुनरावृत्तियां संभलती हैं, संख्या \(\frac{8!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में पहले खंड बनाकर फिर समान अक्षर देखें। / Treat (TT) as one block, giving (8) objects with (M) and (E) repeated, so the count is \(\frac{8!}{2!,2!}\). Exam tip: form the block first, then handle repetitions.
अंतिम अंक (0) या (5) होगा; दोनों मामलों को अलग गिनने पर कुल (300) मिलता है। परीक्षा में शून्य को प्रथम स्थान पर न आने दें। / The last digit must be (0) or (5); counting both cases separately gives (300). Exam tip: never allow zero in the first place.
किसी भी (4) अंकों के चयन का केवल (1) बढ़ता क्रम होता है, इसलिए संख्या \(\binom{8}{4}=70\) है। परीक्षा में क्रम तय हो तो चयन ही पर्याप्त होता है। / Each selection of (4) digits has exactly (1) increasing arrangement, so the count is \(\binom{8}{4}=70\). Exam tip: when order is fixed, selection alone is counted.
(P) और (Q) की जगहों के (5) जोड़े हैं और उनका क्रम (2!) है, बाकी (7) लोग (7!) तरीकों से बैठते हैं। परीक्षा में दूरी वाली शर्त को स्थान-जोड़ों से गिनें। / There are (5) position pairs for (P) and (Q), with (2!) orders, and the remaining (7) people can be arranged in (7!) ways. Exam tip: count distance conditions by position pairs.
पहले (6) पुरुषों को (6!) तरीकों से बैठाएं, फिर (7) खाली स्थानों में (4) महिलाओं को \(^{7}P_{4}\) तरीकों से रखें। परीक्षा में अलग-अलग रखने के लिए gaps विधि लगाएं। / Arrange (6) men in (6!) ways, then place (4) women in \(^{7}P_{4}\) of the (7) gaps. Exam tip: use the gaps method for non-adjacent placement.
(MM) को एक खंड मानें; अब (10) वस्तुओं में (A) और (T) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या \(\frac{10!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में खंड बनाने के बाद शेष पुनरावृत्ति न भूलें। / Treat (MM) as one block; now there are (10) objects with (A) and (T) repeated twice, so the count is \(\frac{10!}{2!,2!}\). Exam tip: after blocking, do not forget remaining repetitions.
दोनों विशेष वस्तुओं के चुने जाने वाले \(^{8}P_{2}\times{}^{4}P_{2}\) प्रतिकूल मामलों को कुल \(^{10}P_{4}\) से घटाएं। परीक्षा में अधिकतम एक का अर्थ दोनों साथ नहीं है। / Subtract unfavorable cases where both special objects are selected, \(^{8}P_{2}\times{}^{4}P_{2}\), from total \(^{10}P_{4}\). Exam tip: at most one means not both.
यह (5) वस्तुओं का derangement है, जिसकी संख्या (!5=44) होती है। परीक्षा में किसी भी सही मिलान के न होने पर derangement पहचानें। / This is the derangement of (5) objects, so the number is (!5=44). Exam tip: identify derangement when no object goes to its own position.
कुल गोल व्यवस्थाएं ((6-1)!) हैं और (A,B) साथ होने पर \(2!\times4!\) व्यवस्थाएं हैं। परीक्षा में नहीं साथ के लिए कुल से साथ वाला मामला घटाएं। / Total circular arrangements are ((6-1)!), and adjacent (A,B) arrangements are \(2!\times4!\). Exam tip: for not adjacent, subtract the adjacent case from total.
स्वर (U,E) को एक खंड मानें; (5) वस्तुओं में (S) दो और (C) दो हैं, इसलिए \(\frac{5!}{2!,2!}\times2!\) मिलता है। परीक्षा में स्वर-खंड के अंदरूनी क्रम को अलग गिनें। / Treat vowels (U,E) as one block; among (5) objects, (S) and (C) repeat twice, giving \(\frac{5!}{2!,2!}\times2!\). Exam tip: count the internal order of the vowel block separately.
अंतिम स्थान (1,3,5,7) में से (4) तरीकों से और पहला स्थान शून्य छोड़कर (6) तरीकों से भरेगा, फिर (6) और (5) तरीके मिलेंगे। परीक्षा में अंतिम अंक और प्रथम अंक की शर्त पहले संभालें। / The last place has (4) choices from (1,3,5,7), the first place then has (6) nonzero choices, followed by (6) and (5) choices. Exam tip: handle last digit and first digit restrictions first.
माला में घूर्णन और पलटना दोनों समान होते हैं, इसलिए संख्या (\frac{(9-1)!}{2}) है। परीक्षा में circular और necklace में अंतर याद रखें। / For a necklace, both rotation and reflection are identical, so the count is (\frac{(9-1)!}{2}). Exam tip: remember the difference between circular arrangements and necklaces.
सही जाने वाले (4) पत्र \(\binom{6}{4}\) तरीकों से चुनें और बाकी (2) का derangement (!2=1) है। परीक्षा में ठीक वाली शर्त के लिए fixed और deranged भाग अलग करें। / Choose the (4) correct letters in \(\binom{6}{4}\) ways, and derange the remaining (2) letters in (!2=1) way. Exam tip: split exact conditions into fixed and deranged parts.
कुल (8!) से सभी (5) स्वरों को एक खंड मानकर \(4!\times5!\) घटाएं। परीक्षा में not all together का अर्थ सभी एक ही खंड में नहीं है। / Subtract the cases where all (5) vowels form one block, \(4!\times5!\), from total (8!). Exam tip: not all together means not in one single block.
पहले लड़कों को (7!) तरीकों से बैठाएं और (8) gaps में (3) लड़कियों को \(^{8}P_{3}\) तरीकों से रखें। परीक्षा में separated objects को gaps में permute करें। / Arrange the boys in (7!) ways and place the (3) girls in \(^{8}P_{3}\) of the (8) gaps. Exam tip: permute separated objects into gaps.
(A) के साथ बाकी (4) लोग \(\binom{11}{4}\) तरीकों से चुनें और (5!) तरीकों से व्यवस्थित करें। परीक्षा में compulsory object को पहले शामिल मानें। / Choose the other (4) people from (11) in \(\binom{11}{4}\) ways and arrange the (5) people in (5!) ways. Exam tip: include the compulsory object first.
कुल (11) अक्षर हैं और (B,I) दो-दो बार आते हैं, इसलिए संख्या \(\frac{11!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में हर repeated letter के factorial से अलग-अलग भाग दें। / There are (11) letters, with (B) and (I) repeated twice, so the count is \(\frac{11!}{2!,2!}\). Exam tip: divide by the factorial of each repeated letter.
दो विशेष खिलाड़ियों को (6) भीतरी स्थानों में \(^{6}P_{2}\) तरीकों से और बाकी (6) खिलाड़ियों को (6!) तरीकों से रखें। परीक्षा में प्रतिबंधित स्थानों को पहले अलग करें। / Place the two special players in the (6) inner positions in \(^{6}P_{2}\) ways and arrange the remaining (6) players in (6!) ways. Exam tip: handle restricted positions first.
(4) नीली गेंदों को एक खंड मानें, तब (6!) बाहरी व्यवस्थाएं और (4!) अंदरूनी व्यवस्थाएं मिलती हैं। परीक्षा में distinct objects वाले खंड के अंदर क्रम जरूर गिनें। / Treat the (4) blue balls as one block, giving (6!) outside arrangements and (4!) internal arrangements. Exam tip: count internal orders for distinct objects inside a block.
अंकों को (3) शेष-वर्गों में बांटकर ऐसे (5)-अंकीय चयन गिनें जिनका योग (3) से विभाज्य हो, फिर प्रत्येक चयन को (5!) तरीकों से सजाएं। परीक्षा में divisibility by (3) के लिए digit sum प्रयोग करें। / Group digits by residues modulo (3), count (5)-digit selections whose sum is divisible by (3), then arrange each selection in (5!) ways. Exam tip: use digit sum for divisibility by (3).
(ABC) को निश्चित अंदरूनी क्रम वाला एक खंड मानें, इसलिए कुल (6) वस्तुओं की गोल व्यवस्था ((6-1)!) है। परीक्षा में inside order fixed हो तो अंदर factorial न लगाएं। / Treat (ABC) as one block with fixed internal order, so the circular arrangement of (6) objects is ((6-1)!). Exam tip: if internal order is fixed, do not multiply by an internal factorial.
दो विशेष छात्रों के लिए (8) adjacent chair-pairs और (2!) क्रम हैं, फिर बाकी (4) छात्र (7) बची कुर्सियों पर \(^{7}P_{4}\) तरीकों से बैठते हैं। परीक्षा में कुर्सियां distinct हों तो खाली कुर्सियों को भी ध्यान में रखें। / There are (8) adjacent chair pairs and (2!) orders for the two special students, then the remaining (4) students occupy (7) chairs in \(^{7}P_{4}\) ways. Exam tip: with distinct chairs, account for empty chairs too.
कुल (12) अक्षर हैं; (N) और (E) चार-चार बार तथा (D) दो बार आते हैं, इसलिए संख्या \(\frac{12!}{4!,4!,2!}\) है। परीक्षा में repetition count सही लिखना सबसे जरूरी है। / There are (12) letters; (N) and (E) occur four times each and (D) occurs twice, so the count is \(\frac{12!}{4!,4!,2!}\). Exam tip: correct repetition counts are crucial.
प्रत्येक जोड़े को एक खंड मानने पर (4) खंडों की गोल व्यवस्था ((4-1)!) और हर खंड के अंदर (2!) तरीके हैं। परीक्षा में हर couple के internal swap को अलग गिनें। / Treat each couple as one block; the (4) blocks have ((4-1)!) circular arrangements and each block has (2!) internal orders. Exam tip: count the internal swap of every couple.
विशेष झंडे की स्थिति (3) तरीकों से चुने और बाकी (3) स्थान (9) झंडों से \(^{9}P_{3}\) तरीकों से भरें। परीक्षा में अनिवार्य वस्तु की allowed positions पहले गिनें। / Choose the position of the special flag in (3) ways and fill the other (3) positions from (9) flags in \(^{9}P_{3}\) ways. Exam tip: count allowed positions of the compulsory object first.
कुल (8!) से (T) first और (E) last वाले मामलों को inclusion-exclusion से घटाएं, यानी (8!-7!-7!+6!)। परीक्षा में दो निषेध शर्तों में overlap जोड़ना न भूलें। / Use inclusion-exclusion on total (8!), subtracting cases with (T) first and (E) last: (8!-7!-7!+6!). Exam tip: add back the overlap in two forbidden conditions.
पहले (5) गणित पुस्तकें (5!) तरीकों से रखें, फिर (6) gaps में (4) भौतिकी पुस्तकें \(^{6}P_{4}\) तरीकों से रखें। परीक्षा में no two together के लिए gaps सबसे सुरक्षित तरीका है। / Arrange the (5) mathematics books in (5!) ways, then place the (4) physics books in \(^{6}P_{4}\) gaps. Exam tip: gaps are the safest method for no two together.
पहले (A,B) के सीट-जोड़ों में दूरी कम से कम (3) रखें; ऐसे ordered pairs (42) हैं, फिर बाकी (4) लोग \(^{6}P_{4}\) तरीकों से बैठते हैं। परीक्षा में numbered seats में position-pair गिनना उपयोगी है। / First choose ordered seat pairs for (A,B) with distance at least (3); there are (42) such pairs, then seat the remaining (4) people in \(^{6}P_{4}\) ways. Exam tip: position-pair counting is useful for numbered seats.
कुल व्यवस्थाएं \(\frac{7!}{2!}\) हैं और (4) स्वरों के सापेक्ष क्रमों में केवल (1) क्रम स्वीकार्य है, इसलिए (4!) से भाग दें। परीक्षा में relative order fixed हो तो संबंधित factorial से divide करें। / Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\), and among the (4) relative orders of vowels only (1) order is allowed, so divide by (4!). Exam tip: divide by the factorial when relative order is fixed.
कुल (7!) व्यवस्थाओं में (A) और (B) के दो सापेक्ष क्रम समान रूप से संभव हैं, इसलिए आधी व्यवस्थाएं मान्य हैं। परीक्षा में left of जैसी relative order शर्त के लिए symmetry प्रयोग करें। / In total (7!) arrangements, the two relative orders of (A) and (B) are equally likely, so half are valid. Exam tip: use symmetry for relative order conditions like left of.
दो alternate patterns संभव हैं और प्रत्येक में भारतीय (5!) तथा विदेशी (5!) तरीकों से बैठते हैं। परीक्षा में बराबर समूहों के alternate arrangement में (2) patterns होते हैं। / There are (2) alternate patterns, and in each pattern Indians can be arranged in (5!) ways and foreigners in (5!) ways. Exam tip: equal groups in alternate arrangement give (2) patterns.
(0) और (8) के साथ बाकी (4) अंक \(\binom{7}{4}\) तरीकों से चुनें; प्रत्येक चयन में कुल (6!) से first zero वाले (5!) घटाएं। परीक्षा में leading zero का correction अनिवार्य है। / Choose the other (4) digits with (0) and (8) in \(\binom{7}{4}\) ways; for each selection subtract (5!) leading-zero cases from (6!). Exam tip: leading zero correction is mandatory.
(6) अंगूठियों में से (4) को (4) अलग-अलग उंगलियों पर क्रम सहित रखना है, इसलिए \(^{6}P_{4}=360\)। परीक्षा में distinct fingers होने पर permutation लगती है। / We assign (4) of the (6) rings to (4) distinct fingers with order, so \(^{6}P_{4}=360\). Exam tip: distinct fingers require permutations.
(A) को स्थिर करें, (B) की विपरीत सीट निश्चित है, और बाकी (8) लोग (8!) तरीकों से बैठते हैं। परीक्षा में circular symmetry हटाने के लिए एक व्यक्ति को स्थिर करें। / Fix (A); the opposite seat for (B) is fixed, and the remaining (8) people can be arranged in (8!) ways. Exam tip: fix one person to remove circular symmetry.
कुल (11) अक्षर हैं; (I) चार, (S) चार और (P) दो बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{4!,4!,2!}\) है। परीक्षा में समान अक्षरों की गिनती दोबारा जांचें। / There are (11) letters; (I) occurs four times, (S) occurs four times, and (P) occurs twice, so the count is \(\frac{11!}{4!,4!,2!}\). Exam tip: recheck repeated-letter counts.
सही जाने वाले (2) पुरस्कार \(\binom{7}{2}\) तरीकों से चुनें और बाकी (5) का derangement (!5=44) है। परीक्षा में exactly correct cases के लिए derangement का प्रयोग करें। / Choose the (2) correctly assigned prizes in \(\binom{7}{2}\) ways and derange the remaining (5), giving (!5=44). Exam tip: use derangement for exactly correct cases.
बाकी (3) अक्षर (6) में से चुनें, फिर (5!) कुल व्यवस्थाओं से special pair adjacent वाली \(2!\times4!\) व्यवस्थाएं घटाएं। परीक्षा में शामिल और adjacent restriction को अलग-अलग संभालें। / Choose the other (3) letters from (6), then subtract adjacent special-pair arrangements \(2!\times4!\) from total (5!). Exam tip: handle inclusion and adjacency restrictions separately.
हजारों का अंक (5,6,7,8,9) में से और इकाई अंक सम होना चाहिए; leading और ending cases अलग गिनने पर (400) मिलता है। परीक्षा में overlapping digit choices को case-wise गिनें। / The thousands digit must be from (5,6,7,8,9), and the units digit must be even; case-wise counting gives (400). Exam tip: count overlapping digit choices case by case.
(AB) खंड बनाकर (8) वस्तुओं की व्यवस्थाएं लें, फिर (C) के खंड से adjacent होने वाले (2) बाहरी स्थानों को घटाएं; कुल (2!\times\(8!-2\times7!\)) है। परीक्षा में compound restriction में block और subtraction दोनों लग सकते हैं। / Form an (AB) block among (8) objects, then subtract cases where (C) is adjacent to the block on either outside side; total is (2!\times\(8!-2\times7!\)). Exam tip: compound restrictions may need both block and subtraction.
प्रश्न (1) और (2) के लिए दूरी (2) वाले (4) position-pairs और (2!) क्रम हैं, बाकी (4) प्रश्न (4!) तरीकों से लगेंगे। परीक्षा में exactly one between का अर्थ position difference (2) है। / There are (4) position pairs at distance (2) and (2!) orders for questions (1) and (2), and the remaining (4) questions arrange in (4!) ways. Exam tip: exactly one between means position difference (2).
एक सिरा (P) के लिए और दूसरा (E) के लिए (2) तरीकों से चुने; बाकी (5) अक्षरों में (E) दो बार है, इसलिए \(\frac{5!}{2!}\) व्यवस्थाएं हैं। परीक्षा में repeated end-letter बच जाने पर उसका factorial divide करें। / Choose the end for (P) and (E) in (2) ways; the remaining (5) letters include (E) repeated twice, so there are \(\frac{5!}{2!}\) arrangements. Exam tip: divide for a repeated end-letter left inside.
कुल \(^{10}P_{8}\) से special cars adjacent वाली \(9\times2!\times{}^{8}P_{6}\) व्यवस्थाएं घटाएं। परीक्षा में parking spots distinct हों तो पहले कुल arrangements लें। / Subtract adjacent-special-car cases \(9\times2!\times{}^{8}P_{6}\) from total \(^{10}P_{8}\). Exam tip: when parking spots are distinct, start from total arrangements.
पहले (5) सफेद गेंदों की गोल व्यवस्था ((5-1)!) है, फिर (5) gaps में (3) काली गेंदें \(^{5}P_{3}\) तरीकों से रखी जाती हैं। परीक्षा में circular gaps में सफेद वस्तुओं को पहले fix करें। / First arrange the (5) white balls around a circle in ((5-1)!) ways, then place (3) black balls in \(^{5}P_{3}\) circular gaps. Exam tip: in circular gaps, arrange the base objects first.
कुल (7!) व्यवस्थाओं में (A,B,C) के (3!) सापेक्ष क्रम समान हैं, इसलिए \(\frac{7!}{3!}\) मान्य हैं। परीक्षा में fixed relative order के लिए factorial से divide करें। / Among total (7!) arrangements, the (3!) relative orders of (A,B,C) are equally likely, so \(\frac{7!}{3!}\) are valid. Exam tip: divide by factorial for fixed relative order.
हर दंपति को निश्चित अंदरूनी क्रम वाला एक खंड मानें, इसलिए केवल (4!) खंडों को सजाना है। परीक्षा में internal order fixed हो तो (2!) न लगाएं। / Treat each couple as one block with fixed internal order, so only the (4!) blocks are arranged. Exam tip: do not multiply by (2!) when internal order is fixed.
(0) को केवल सैकड़ों या दहाइयों के स्थान पर रख सकते हैं, यानी (2) तरीके; फिर बाकी (3) स्थान (6) nonzero अंकों से \(^{6}P_{3}\) तरीकों से भरते हैं। परीक्षा में (0) की allowed positions पहले तय करें। / Zero can occupy only the hundreds or tens place, giving (2) choices; the other (3) places are filled from (6) nonzero digits in \(^{6}P_{3}\) ways. Exam tip: decide the allowed positions of (0) first.
(AB) और (CD) को दो खंड मानें; कुल (6) वस्तुएं (6!) तरीकों से और दोनों खंडों के अंदर \(2!\times2!\) तरीके हैं। परीक्षा में कई blocks हों तो हर block का internal order गिनें। / Treat (AB) and (CD) as two blocks; (6) objects can be arranged in (6!) ways and the blocks internally in \(2!\times2!\) ways. Exam tip: with multiple blocks, count each block's internal order.
