Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A) में (16), (B) में (12) और \(A\cap B\) में (24) के (4) गुणज हैं, इसलिए \(|A\cup B|=24\)। अतः (|\(A\cup B\)'|=96-24=72)। / (A) has (16) elements, (B) has (12), and \(A\cap B\) has (4) multiples of (24), so \(|A\cup B|=24\). Hence (|\(A\cup B\)'|=96-24=72).
डी मॉर्गन नियम से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B\) में (18) के (3) गुणज हैं, इसलिए \(|A'\cup B'|=54-3=51\)। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). \(A\cap B\) has (3) multiples of (18), so \(|A'\cup B'|=54-3=51\).
A. ({-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,7,8,9,10})
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-9x+20\le 0\Rightarrow 4\le x\le 5\) नहीं, सही हल \(4\le x\le 5\) है, इसलिए \(A=\{4,5\}\)। दिए गए विकल्पों में (A') वही है जो (U) से (4,5) हटाकर बनता है। / \(x^2-9x+20\le 0\Rightarrow 4\le x\le 5\), so \(A=\{4,5\}\). The complement is obtained by removing (4,5) from (U).
\(A\cup B=(-6,5)\) है, क्योंकि (-6) और (5) शामिल नहीं हैं। इसलिए पूरक (\(-\infty,-6]\cup[5,\infty\)) है। / \(A\cup B=(-6,5)\), because (-6) and (5) are not included. Therefore the complement is (\(-\infty,-6]\cup[5,\infty\)).
पूरक लेने पर समावेशन उलट जाता है, इसलिए \(A'\subseteq B'\Rightarrow B\subseteq A\)। इस उल्टे क्रम को हमेशा याद रखें। / Taking complements reverses inclusion, so \(A'\subseteq B'\Rightarrow B\subseteq A\). Always remember this reversed order.
(|B|=180-110=70) और \(|A\cup B|=85+70-28=127\)। इसलिए (|\(A\cup B\)'|=180-127=53)। / (|B|=180-110=70) and \(|A\cup B|=85+70-28=127\). Hence (|\(A\cup B\)'|=180-127=53).
(1) से (49) तक (25) विषम संख्याएँ हैं और विषम पूर्ण वर्ग (1,9,25,49) यानी (4) हैं। इसलिए \(A'\cap B\) में (25-4=21) अवयव हैं। / There are (25) odd numbers from (1) to (49), and the odd perfect squares are (1,9,25,49), so there are (4). Hence \(A'\cap B\) has (25-4=21) elements.
डी मॉर्गन नियम से (\(A\cup B'\)'=A'\cap(B')'=A'\cap B)। पूरक लेते समय \(\cup\) बदलकर \(\cap\) होता है। / By De Morgan's law, (\(A\cup B'\)'=A'\cap(B')'=A'\cap B). When taking complement, \(\cup\) changes to \(\cap\).
\(|x+2|\le 6\Rightarrow -8\le x\le 4\)। इसका पूरक (x<-8) या (x>4), यानी (\(-\infty,-8\)\cup\(4,\infty\)) है। / \(|x+2|\le 6\Rightarrow -8\le x\le 4\). Its complement is (x<-8) or (x>4), that is (\(-\infty,-8\)\cup\(4,\infty\)).
\(A\cap B=U\) होने पर (A=U) और (B=U) होंगे। डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)'=U'=\varnothing)। / If \(A\cap B=U\), then (A=U) and (B=U). By De Morgan, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'=U'=\varnothing).
समावेशन-बहिष्करण से \(|A\cup B\cup C|=30+20+12-10-6-4+2=44\)। इसलिए पूरक में (120-44=76) नहीं, ध्यान से सही गणना (30+20+12-10-6-4+2=44) और (120-44=76) है। / By inclusion-exclusion, \(|A\cup B\cup C|=30+20+12-10-6-4+2=44\). Hence the complement is (120-44=76).
(\(A\cup B\)'=A'\cap B') और \({q,s,w}\cap{p,s,u}={s}\)। दिए गए पूरकों पर सीधे डी मॉर्गन लगाएं। / (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), and \({q,s,w}\cap{p,s,u}={s}\). Apply De Morgan directly to the given complements.
\(A'\cap B'\) में वे अवयव हैं जो न (4) के गुणज हैं और न पूर्ण वर्ग हैं। (18) इन दोनों में नहीं आता। / \(A'\cap B'\) contains elements that are neither multiples of (4) nor perfect squares. (18) is in neither of them.
\(B-A=B\cap A'\) है और यह (B) के बराबर है, इसलिए (B) का कोई अवयव (A) में नहीं है। अतः \(A\cap B=\varnothing\)। / \(B-A=B\cap A'\), and if it equals (B), no element of (B) lies in (A). Hence \(A\cap B=\varnothing\).
(A) के बाहर होने के लिए \(x\ge -4\) और (x<2) होना चाहिए। इसलिए (A'=[-4,2)) है। / To be outside (A), \(x\ge -4\) and (x<2) must hold. Therefore (A'=[-4,2)).
\(A\subseteq B\) से पूरक लेने पर \(B'\subseteq A'\) मिलता है। दूसरी शर्त इस निष्कर्ष के लिए आवश्यक नहीं है। / From \(A\subseteq B\), taking complements gives \(B'\subseteq A'\). The second condition is not needed for this conclusion.
चार असंयुक्त भागों का योग (|U|) होता है। इसलिए \(|A\cap B'|=90-24-17-29=20\)। / The four disjoint regions add up to (|U|). Therefore \(|A\cap B'|=90-24-17-29=20\).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') और \(A\cap B\) में (21) के (2) गुणज हैं। इसलिए संख्या (42-2=40) है। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'), and \(A\cap B\) has (2) multiples of (21). So the count is (42-2=40).
(-1) (A) में नहीं है, (3) (A) में है और (8) (A) में नहीं है। इसलिए पूरक ([-1,3)\cup[8,\infty)) है। / (-1) is not in (A), (3) is in (A), and (8) is not in (A). Hence the complement is ([-1,3)\cup[8,\infty)).
\(A\cap A'\) हमेशा \(\varnothing\) होता है, इसलिए \(U\neq\varnothing\) होने पर यह (U) नहीं हो सकता। मूल समुच्चय और पूरक असंयुक्त होते हैं। / \(A\cap A'\) is always \(\varnothing\), so it cannot be (U) when \(U\neq\varnothing\). A set and its complement are disjoint.
(B) में (10) अवयव हैं और \(A\cap B\) में (35) के (2) गुणज हैं। इसलिए \(A'\cap B\) में (10-2=8) अवयव हैं। / (B) has (10) elements, and \(A\cap B\) has (2) multiples of (35). Therefore \(A'\cap B\) has (10-2=8) elements.
(|U|=24) और (|A'|=8), इसलिए (|A|=24-8=16)। पूरक की संख्या कुल में से घटाकर मिलती है। / (|U|=24) and (|A'|=8), so (|A|=24-8=16). The count of a set is found by subtracting its complement from the total.
(B-A={9,15,18}), इसलिए इसका पूरक (U-{9,15,18}) है। विकल्प (A) वही समुच्चय देता है। / (B-A={9,15,18}), so its complement is (U-{9,15,18}). Option (A) gives exactly that set.
(A') वे संख्याएँ हैं जो (12) से विभाज्य हैं। (144) तक (12) के \(\frac{144}{12}=12\) गुणज हैं। / (A') is the set of numbers divisible by (12). Up to (144), there are \(\frac{144}{12}=12\) multiples of (12).
A. अवयव दोनों में हैं या दोनों में नहीं हैं/Elements are in both sets or in neither set
Explanation
Simple Explanation
\(A\triangle B\) में वे अवयव होते हैं जो ठीक एक समुच्चय में हों। उसका पूरक वे अवयव देता है जो दोनों में हों या दोनों में न हों। / \(A\triangle B\) contains elements in exactly one set. Its complement gives elements that are in both or in neither.
(A') विषम संख्याएँ हैं और (B') अभाज्य नहीं संख्याएँ हैं। (1) से (30) तक विषम अभाज्य नहीं संख्याएँ ({1,9,15,21,25,27}) नहीं, साथ में (? ) नहीं; सही सूची ({1,9,15,21,25,27}) है, इसलिए संख्या (6) है। / (A') is the set of odd numbers and (B') is the set of non-prime numbers. The odd non-primes from (1) to (30) are ({1,9,15,21,25,27}), so the count is (6).
यदि \(A'\cap B'=A'\), तो (A') का हर अवयव (B') में है। इसलिए \(A'\subseteq B'\) है। / If \(A'\cap B'=A'\), every element of (A') lies in (B'). Hence \(A'\subseteq B'\).
वितरण नियम से (\(A\cup B'\)\cap\(A'\cup B'\)=B'\cup\(A\cap A'\))। चूंकि \(A\cap A'=\varnothing\), परिणाम (B') है। / By distributive law, (\(A\cup B'\)\cap\(A'\cup B'\)=B'\cup\(A\cap A'\)). Since \(A\cap A'=\varnothing\), the result is (B').
\(A\cap B\) में (\operatorname{lcm}(12,21)=84) के गुणज हैं, इसलिए केवल (84) आता है। अतः पूरक में (84-1=83) अवयव हैं। / \(A\cap B\) contains multiples of (\operatorname{lcm}(12,21)=84), so only (84) appears. Hence the complement has (84-1=83) elements.
\(A\cap B'\) का अर्थ है (A) में हों पर (B) में न हों। (A) से (9) हटाने पर ({1,4,16}) मिलता है। / \(A\cap B'\) means elements in (A) but not in (B). Removing (9) from (A) gives ({1,4,16}).
(A) में अभाज्य नहीं संख्याएँ हैं, इसलिए (A') में ठीक अभाज्य संख्याएँ होंगी। (1) अभाज्य नहीं है, इसलिए (A') में नहीं आएगा। / (A) contains non-prime numbers, so (A') contains exactly prime numbers. (1) is not prime, so it is not in (A').
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') और \(A\cap B=[1,4]\) है। इसलिए पूरक (\(-\infty,1\)\cup\(4,\infty\)) होगा। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'), and \(A\cap B=[1,4]\). Therefore the complement is (\(-\infty,1\)\cup\(4,\infty\)).
A. (U) सार्वत्रिक समुच्चय है/(U) is the universal set
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक समुच्चय का पूरक हमेशा रिक्त समुच्चय होता है। इसलिए \(U'=\varnothing\) पूरक की मूल पहचान है। / The complement of the universal set is always the empty set. Thus \(U'=\varnothing\) is a basic complement identity.
(A') में (32-8=24) अवयव हैं और \(B\subseteq A\), इसलिए \(A'\cap B=\varnothing\)। (B) में (2) अवयव हैं, अतः कुल (26) है। / (A') has (32-8=24) elements and \(B\subseteq A\), so \(A'\cap B=\varnothing\). (B) has (2) elements, hence the total is (26).
क्योंकि \(C\subseteq A\) और \(C\subseteq B\), इसलिए \(A\cup B\cup C=A\cup B\)। \(|A\cup B|=18+12-6=24\), अतः पूरक (36-24=12) है। / Since \(C\subseteq A\) and \(C\subseteq B\), \(A\cup B\cup C=A\cup B\). \(|A\cup B|=18+12-6=24\), so the complement is (36-24=12).
\(A\cup B=[-3,2\)\cup(2,6]) है, इसलिए (2) शामिल नहीं है। पूरक में (\(-\infty,-3\)), ({2}) और (\(6,\infty\)) आएंगे। / \(A\cup B=[-3,2\)\cup(2,6]), so (2) is not included. The complement contains (\(-\infty,-3\)), ({2}), and (\(6,\infty\)).
(\(A\cup B\)') में वे संख्याएँ हैं जो न (3) से और न (5) से विभाज्य हैं। (45) से नीचे ऐसी सबसे बड़ी संख्या (44) है। / (\(A\cup B\)') contains numbers divisible by neither (3) nor (5). The greatest such number below (45) is (44).
\(A\cup B=\varnothing\) से \(A=\varnothing\) और \(B=\varnothing\) हैं। इसलिए (A'=U), (B'=U), और \(A'\cap B'=U\)। / \(A\cup B=\varnothing\) gives \(A=\varnothing\) and \(B=\varnothing\). Thus (A'=U), (B'=U), and \(A'\cap B'=U\).
(A') सम संख्याएँ हैं और (B') में (B) के बाहर के अवयव हैं। दोनों में सामान्य अवयव ({4,6,10,12,14,16}) हैं। / (A') is the set of even numbers, and (B') contains elements outside (B). Their common elements are ({4,6,10,12,14,16}).
(-5) और (7) (A) में हैं, जबकि (-1) और (2) (A) में नहीं हैं। इसलिए पूरक (\(-\infty,-5\)\cup[-1,2]\cup\(7,\infty\)) है। / (-5) and (7) are in (A), while (-1) and (2) are not in (A). Therefore the complement is (\(-\infty,-5\)\cup[-1,2]\cup\(7,\infty\)).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। यदि यह (U) है, तो \(A\cup B\) का पूरक (U) है, इसलिए \(A\cup B=\varnothing\)। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). If this is (U), the complement of \(A\cup B\) is (U), so \(A\cup B=\varnothing\).
(1) से (33) तक (16) सम संख्याएँ हैं और उनमें (6,12,18,24,30) (3) से विभाज्य हैं। इसलिए (A') में सम अवयव (16-5=11) हैं। / From (1) to (33), there are (16) even numbers, and (6,12,18,24,30) are divisible by (3). So even elements in (A') are (16-5=11).
\(x^2+x-6\ge 0\Rightarrow x\le -3\) या \(x\ge 2\)। इसका पूरक (-3<x<2), यानी ((-3,2)) है। / \(x^2+x-6\ge 0\Rightarrow x\le -3\) or \(x\ge 2\). Its complement is (-3<x<2), that is ((-3,2)).
यदि \(A'\cup B=B\), तो (A') जोड़ने से (B) में कोई नया अवयव नहीं जुड़ता। इसलिए \(A'\subseteq B\) है। / If \(A'\cup B=B\), adding (A') adds no new element to (B). Therefore \(A'\subseteq B\).
एक समूह में (150) विद्यार्थी हैं, (82) गणित पढ़ते हैं, (74) जीवविज्ञान पढ़ते हैं और (36) दोनों पढ़ते हैं। दोनों में से कोई भी विषय न पढ़ने वाले कितने हैं?
\(|M\cup B|=82+74-36=120\), इसलिए neither की संख्या (|\(M\cup B\)'|=150-120=30) है। neither को संघ के पूरक के रूप में पढ़ें। / \(|M\cup B|=82+74-36=120\), so the number studying neither is (|\(M\cup B\)'|=150-120=30). Read neither as the complement of the union.
