Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
द्विघात व्यंजक में चर की उच्चतम घात 2 होती है और उसका सामान्य रूप \(ax^2+bx+c\) होता है, जहाँ \(a\ne0\)। \(3x^2+2x+1\) में \(x\) की उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात व्यंजक है। \(5x+7\) रैखिक है, क्योंकि उसकी उच्चतम घात 1 है, जबकि \(4x^3+x\) घन व्यंजक है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक की घात जानने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / A quadratic expression has highest power 2 and is generally of the form \(ax^2+bx+c\), where \(a\ne0\). In \(3x^2+2x+1\), the highest power of \(x\) is 2, so it is quadratic. \(5x+7\) is linear because its highest power is 1, while \(4x^3+x\) is cubic. Exam tip: identify the degree by checking the highest power of the variable.
द्विघात व्यंजक में x की उच्चतम घात 2 होती है, इसलिए \(x^2\) का गुणांक a शून्य नहीं होना चाहिए। यदि \(a=0\), तो व्यंजक रैखिक या स्थिर हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले \(x^2\) का गुणांक जाँचें। / A quadratic expression must have 2 as the highest power of x, so the coefficient a of \(x^2\) must be non-zero. If \(a=0\), the expression becomes linear or constant. Exam tip: check the \(x^2\) coefficient first.
पहचान \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) होती है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, \((a+b)^2\) का रूप है। परीक्षा में मध्य पद का चिन्ह देखकर पहचान चुनें। / The identity \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) shows that option A is correct. Option B represents \((a+b)^2\). In exams, identify the sign of the middle term first.
\(x^2-25=x^2-5^2\), इसलिए \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) से इसका गुणनखंड \((x-5)(x+5)\) है। \(x^2+25\) वर्गों का योग है। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों के पूर्ण वर्ग होने जाँचें। / \(x^2-25=x^2-5^2\), so using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), it factorises as \((x-5)(x+5)\). \(x^2+25\) is a sum of squares. Exam tip: first check whether both terms are perfect squares.
वितरण गुण का प्रयोग करें: \((x+3)(x+2)=x\cdot x+x\cdot2+3\cdot x+3\cdot2=x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6\)। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प D में \(2x\) और \(3x\) को मिलाकर \(5x\) नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: दो द्विपदों के गुणन में चारों पदों का गुणन लिखकर समान पदों को अंत में जोड़ें। / Using the distributive property, \((x+3)(x+2)=x\cdot x+x\cdot2+3\cdot x+3\cdot2=x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6\). Therefore, option C is correct. In option D, the like terms \(2x\) and \(3x\) have not been combined to get \(5x\). Exam tip: while multiplying two binomials, write all four products first and then combine like terms.
\(4a^2-25b^2=(2a)^2-(5b)^2\), इसलिए यह वर्गों का अंतर है और \((2a-5b)(2a+5b)\) बनेगा। विकल्प A और C पूर्ण वर्ग हैं, अंतर नहीं। परीक्षा में पहले दोनों पदों के वर्ग पहचानें। / \(4a^2-25b^2=(2a)^2-(5b)^2\), so it is a difference of squares and factors as \((2a-5b)(2a+5b)\). Options A and C are perfect squares, not differences. Exam tip: check whether both terms are squares with a minus sign.
द्विघात व्यंजक में \(x\) की उच्चतम घात 2 होती है, इसलिए \(x^2\) का गुणांक \(a\) शून्य नहीं होना चाहिए। यदि \(a=0\) हो, तो व्यंजक रैखिक या स्थिर बन सकता है। परीक्षा में उच्चतम घात पहले जाँचें। / A quadratic expression must have 2 as the highest power of \(x\), so the coefficient \(a\) of \(x^2\) must be non-zero. If \(a=0\), it may become linear or constant. Exam tip: check the highest non-zero power first.
\(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), इसलिए यह पूर्ण वर्ग त्रिपद है। विकल्प B में अंतिम पद 20 है, जबकि \(5^2=25\) होना चाहिए। परीक्षा में मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / \(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), so it is a perfect-square trinomial. In option B, the constant should be \(5^2=25\), not 20. Exam tip: match the middle term with \(2ab\).
\(x^2-25=x^2-5^2\), इसलिए \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) से यह \((x-5)(x+5)\) बनता है। \(x^2+25\) वर्गों का योग है। परीक्षा टिप: घटाव का चिह्न पहचानें। / \(x^2-25=x^2-5^2\), so using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), it becomes \((x-5)(x+5)\). \(x^2+25\) is a sum of squares. Exam tip: look for a subtraction sign between perfect squares.
\(7x^2-3x+1\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात व्यंजक है। विकल्प B की घात 3 है। परीक्षा में सबसे बड़ी घात देखकर वर्ग पहचानें। / In \(7x^2-3x+1\), the highest power of \(x\) is 2, so it is quadratic. Option B has highest power 3 and is cubic. Exam tip: identify the degree from the greatest exponent.
(bx) रेखीय पद है क्योंकि इसमें (x) की घात (1) है। परीक्षा में पद की घात से उसका प्रकार पहचानें। / (bx) is the linear term because the power of (x) is (1). Exam tip: identify the term type from its power.
D. ताकि व्यंजक द्विघात रहे/So that the expression remains quadratic
Explanation
Simple Explanation
द्विघात व्यंजक में \(x^2\) पद का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। यदि \(a=0\) हो, तो \(ax^2\) पद समाप्त हो जाता है और व्यंजक \(bx+c\) रह जाता है, जो रैखिक (या \(b=0\) होने पर स्थिर) हो सकता है, द्विघात नहीं। विकल्प C घात 1 वाले रैखिक व्यंजक से संबंधित है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद की घात उसके सबसे बड़े घात वाले गैर-शून्य गुणांक से तय होती है। / In a quadratic expression, the coefficient of the \(x^2\) term must not be zero. If \(a=0\), the term \(ax^2\) disappears and the expression becomes \(bx+c\), which may be linear (or constant when \(b=0\)), not quadratic. Option C refers to a linear expression with highest power 1. Exam tip: The degree of a polynomial is determined by the highest power with a non-zero coefficient.
वितरण गुणधर्म से \((2x+3)(x-2)=2x\cdot x+2x\cdot(-2)+3\cdot x+3\cdot(-2)\) होगा। अतः \(2x^2-4x+3x-6=2x^2-x-6\)। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प C में स्थिर पद \(-6\) के बजाय \(+6\) लिया गया है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद को दूसरे द्विपद के दोनों पदों से गुणा करें, फिर समान पदों को जोड़ें। / Using the distributive property, \((2x+3)(x-2)=2x\cdot x+2x\cdot(-2)+3\cdot x+3\cdot(-2)\). Thus, \(2x^2-4x+3x-6=2x^2-x-6\). Therefore, option D is correct. In option C, the constant term is incorrectly written as \(+6\) instead of \(-6\). Exam tip: multiply each term of one binomial by both terms of the other, then combine like terms.
वितरण गुण का प्रयोग करें: \((3x-1)(x+4)=3x\cdot x+3x\cdot4-1\cdot x-1\cdot4=3x^2+12x-x-4=3x^2+11x-4\)। इसलिए सही विकल्प D है। विकल्प A में \(12x-x\) को गलती से \(x\) माना गया है। परीक्षा टिप: विस्तार के बाद समान पदों को जोड़ने से पहले प्रत्येक गुणनफल का चिन्ह अवश्य जाँचें। / Using the distributive property, \((3x-1)(x+4)=3x\cdot x+3x\cdot4-1\cdot x-1\cdot4=3x^2+12x-x-4=3x^2+11x-4\). Therefore, option D is correct. In option A, \(12x-x\) has incorrectly been simplified to \(x\). Exam tip: after expanding, check the sign of every product before combining like terms.
\(a^2+10a+25=(a+5)^2\), क्योंकि मध्य पद \(2\times a\times5=10a\) है। विकल्प B में अंतिम पद 20 है, जो \(5^2=25\) नहीं है। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर मध्य पद जाँचें। / \(a^2+10a+25=(a+5)^2\) because the middle term is \(2\times a\times5=10a\). In option B, the constant 20 is not \(5^2=25\). Exam tip: use the square roots of the first and last terms to check the middle term.
(-10x) में आधा गुणांक (-5) है और उसका वर्ग (25) है। परीक्षा में आधे गुणांक का वर्ग लें। / Half the coefficient in (-10x) is (-5), and its square is (25). Exam tip: square half of the coefficient.
(9x-2=(3x)2) और \(25=5^2\) है इसलिए मध्य पद \(2\cdot3x\cdot5=30x\) होगा। परीक्षा में दोनों वर्ग पदों की जड़ें लेकर दुगुना गुणन करें। / (9x-2=(3x)2) and \(25=5^2\), so the middle term will be \(2\cdot3x\cdot5=30x\). Exam tip: take the roots of both square terms and multiply twice.
