Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कुल 5 सदस्य हैं; यदि हम \(p\) को न रखें तो शेष 4 सदस्य स्वतंत्र रूप से शामिल या बाहर किए जा सकते हैं। इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होगी, अतः सही उत्तर 16 है। भ्रामक विकल्पों पर टिप्पणी: 32 उस कुल संख्या का मान है जिसमें \(p\) भी शामिल हो सकता है (\(2^5\)), 31 उन सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चयों की संख्या है (\(2^5-1\)) और 8 तब प्राप्त होता है जब केवल 3 स्वतंत्र सदस्य हों (\(2^3\)) — इसलिए ये गलत हैं। परीक्षा सुझाव: किसी भी दिए गए तत्व को न रखने के लिए बाकी के तत्वों पर "हर एक के लिए शामिल/न incluir" के दो विकल्प लगाकर \(2^{n-1}\) का प्रयोग करें। / There are 5 elements in total; excluding \(p\) leaves 4 elements that can each be either included or excluded independently. So the number of subsets is \(2^4=16\), hence 16 is correct. Notes on distractors: 32 equals the total number of subsets including \(p\) (\(2^5\)), 31 equals the number of non-empty subsets (\(2^5-1\)), and 8 would correspond to only 3 free elements (\(2^3\)), so they are incorrect. Exam tip: For subsets that must exclude a specific element, count subsets of the remaining \(n-1\) elements using \(2^{n-1}\).
यदि \(A=B\) है, तो कोई भी उपसमुच्चय \(X\) के लिए \(X\subset A\) तब और तभी होगा जब \(X\subset B\) होगा। इसलिए \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\) और इस कारण \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि सख्त उपसमुच्चय तब ही होगा जब एक पक्ष में अतिरिक्त उपसमुच्चय मौजूद हों — बराबरी में ऐसा नहीं होता। विकल्प D केवल उस विशेष स्थिति में सही है जब \(A=B=\varnothing\); सामान्य रूप से गलत है। परीक्षा टिप: दो-तरफ़ा समावेशन दिखाएँ या तत्व-स्तर पर \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\) लिखकर साबित करें। / If \(A=B\), every subset \(X\) satisfies \(X\subset A\) iff \(X\subset B\). Hence \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\), so \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\). Option B is wrong because a proper subset relation would require extra subsets in one power set; equality prevents that. Option D holds only in the special case \(A=B=\varnothing\), not in general. Exam tip: prove power-set equality by showing two-way inclusion or by the element-wise argument \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\).
यहाँ 2 और 7 अनिवार्य रूप से शामिल हैं, इसलिए शेष दो तत्व 3 और 5 स्वतंत्र रूप से शामिल या न शामिल हो सकते हैं। हर एक के 2 विकल्प हैं, अतः कुल उपसमुच्चय की संख्या है \(2^2=4\)। विकल्प C (8) गलत है क्योंकि वह तीन स्वतंत्र विकल्पों की गिनती का परिणाम होता (\(2^3\)) — यहाँ ऐसे तीन स्वतंत्र तत्व नहीं हैं; विकल्प A (2) छोटा आकलन है। परीक्षा संकेत: यदि मूल सेट में कुल n तत्व और k अनिवार्य तत्व हों तो उत्तर \(2^{n-k}\) होगा। / Since 2 and 7 must be included, the remaining elements 3 and 5 can each be either present or absent independently. That gives 2 choices per element, so the total number of subsets is \(2^2=4\). Option C (8) is incorrect because it corresponds to counting 3 independent choices (\(2^3\)), which doesn't apply here; option A (2) undercounts. Exam tip: for a set of size n with k fixed elements, the number of subsets containing those k elements is \(2^{n-k}\).
दिए गए सेट में विषम तत्व \(1,3,5\) हैं — कुल 3 तत्व। किसी भी सेट के उपसमुच्चयों की संख्या सूत्र \(2^n\) से दी जाती है जहाँ \(n\) उस सेट के तत्वों की संख्या है। अत: उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) होगी (यहां खाली सेट भी शामिल है)। विकल्प B (6) भ्रम का सामान्य उदाहरण है जब छात्र तत्वों की संख्या को गलती से सीधे उत्तर मान लेते हैं या खाली सेट शामिल करना भूल जाते हैं। परीक्षा सुझाव: पहले केवल विषम तत्व गिनें, फिर तुरंत \(2^n\) लागू करें और खाली सेट को न भूलें। / The odd elements in the set are 1, 3 and 5 — so n = 3. The number of subsets of a set with n elements is given by 2^n, hence 23 = 8 subsets (including the empty set). Option B (6) is incorrect — a common mistake is to confuse the number of elements with the number of subsets or to omit the empty set. Exam tip: identify the relevant elements first, then apply 2^n; always remember the empty subset is counted.
किसी सेट के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=4\) अतः कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। इनमें से केवल रिक्त समुच्चय (empty set) को हटाना है ताकि कम-से-कम एक सदस्य वाले उपसमुच्चय बचेँ: \(16-1=15\)। विकल्प C (16) इसलिए गलत है क्योंकि वह रिक्त समुच्चय को भी गिनता है। विकल्प A (14) तब आ सकता है यदि किसी ने गलती से दो उपसमुच्चयों को निकाल दिया हो — यह गलत कटौती है। परीक्षा-सूत्र: गैर-रिक्त उपसमुच्चयों की त्वरित गिनती के लिए फार्मूला \(2^n-1\) याद रखें। / The number of all subsets of an n-element set is \(2^n\). Here \(n=4\), so total subsets = \(2^4=16\). Excluding only the empty set gives the non-empty subsets: \(16-1=15\). Choice C (16) is incorrect because it includes the empty set. Choice A (14) would result from incorrectly excluding an extra subset and is therefore wrong. Exam tip: use the formula for non-empty subsets \(2^n-1\) to answer quickly.
यदि A में 3 सदस्य हैं तो पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) के सदस्यों की संख्या \(2^3=8\) होगी। किसी 8-सदस्यीय सेट के कुल उपसमुच्चय \(2^8=256\) होते हैं। उचित उपसमुच्चयों में स्वयं समुच्चय शामिल नहीं होता, अत: संख्या \(2^8-1=256-1=255\)। विकल्प C (256) को चुनना इस गलती से आता है कि वे सभी उपसमुच्चयों (जिसमें पूरा सेट भी शामिल है) को गिन लेते हैं। विकल्प A (127) और D (511) गलत गणनाओं के परिणाम हैं (127 = \(2^7-1\), 511 = \(2^9-1\)) और यहाँ प्रासंगिक नहीं हैं। परीक्षा का सुझाव: पहले चरण-दर-चरण सेट का आकार तय करें (यहाँ \(2^3=8\)) और फिर उसी पर उपसमुच्चय सूत्र लगाएँ। / If A has 3 elements then the power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^3=8\) elements. The total number of subsets of an 8-element set is \(2^8=256\). Proper subsets exclude the set itself, so the count is \(2^8-1=256-1=255\). Option C (256) incorrectly counts the set itself as a proper subset. Options A (127) and D (511) correspond to wrong exponents (\(2^7-1\) and \(2^9-1\) respectively) and are not relevant here. Exam tip: compute the size of \(\mathcal{P}(A)\) first, then apply the subset formula; don’t confuse subsets of A with subsets of \(\mathcal{P}(A)\).
अब \(A\) के तत्व \(1,2\) सभी संभावित \(X\) में निश्चित शामिल होंगे। बचते हुए तत्व \(B\setminus A=\{3,4,5,6\}\) हैं — प्रत्येक को या तो शामिल किया जा सकता है या नहीं। इसलिए कुल संभावनाएँ \(2^{4}=16\) हैं। विकल्प B (12) गलत है क्योंकि वह अनिवार्यताओं को गलत तरीके से गिनने का परिणाम है; यहाँ स्वतंत्र विकल्पों की संख्या \(|B|-|A|=4\) है। परीक्षा टिप: ऐसे सवालों के लिए सामान्य सूत्र याद रखें — संख्या = \(2^{|B|-|A|}\)। / The elements of \(A\), namely 1 and 2, must appear in every valid \(X\). The remaining elements are \(B\setminus A=\{3,4,5,6\}\); each of these four elements can be either included or excluded independently, giving \(2^{4}=16\) possible sets. Option B (12) is incorrect — it arises from miscounting the independent choices. Exam tip: use the formula \(2^{|B|-|A|}\) for the number of sets \(X\) with \(A\subseteq X\subseteq B\).
किसी उपसमुच्चय को निर्धारित करने के लिए हर शेष तत्व के लिए शामिल/न शामिल — दो विकल्प होते हैं। यहाँ 1 को शामिल और 5 को बाहर रखना अनिवार्य है, इसलिए बचते हैं केवल तत्व 2, 3 और 4 — कुल 3 स्वतंत्र तत्व। प्रत्येक के दो विकल्प होने से कुल उपसमुच्चय होंगे \(2^3=8\)। विकल्प A (4) तब गलत होगा जब कोई केवल 2 स्वतंत्र तत्व मान ले; विकल्प D (16) तब गलती है जब चार स्वतंत्र तत्व मान लिए जाएँ। परीक्षा टिप: किसी भी शर्तित सदस्यता/अप्रविष्टता के बाद बचे स्वतंत्र तत्वों की संख्या गिनें और उत्तर \(2^{\text{बचे हुए}}") से निकालें। / Each element not fixed by the conditions can either be present or absent, giving 2 choices each. Here 1 must be included and 5 must be excluded, leaving elements 2, 3 and 4 free — three independent elements. Therefore the number of such subsets is \(2^3=8\). Option A (4) would be the result if only two elements were treated as free; option D (16) corresponds to incorrectly treating four elements as free. Exam tip: count the remaining free elements after applying inclusion/exclusion conditions and compute \(2^{\text{number of free elements}}\).
कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) है। कम से कम एक में से नहीं — यानी दोनों \(a\) और \(b\) को बाहर रखने वाले उपसमुच्चय केवल elementen \(\{c,d\}\) के किसी भी चयन से बनते हैं, उनकी संख्या \(2^2=4\) है। अतः कम से कम एक होने वाले उपसमुच्चय = \(16-4=12\)। नज़दीकी गलती: विकल्प D (14) तब मिलेगा जब कोई गलत तरीके से सोचे कि बाहर रखने वाले उपसमुच्चय केवल \(2\) हैं (यानि \(16-2\)) — पर वास्तविक में दोनों को बाहर रखने के \(2^2=4\) उपसमुच्चय होते हैं। परीक्षा युक्ति: कुल से पूरक गिनें — "कम से कम एक" गिनने के बजाय "दोनों नहीं" गिनकर घटाएँ; यह अक्सर सरल और तेज़ होता है। / Total number of subsets is \(2^4=16\). Subsets that exclude both \(a\) and \(b\) are exactly the subsets of \(\{c,d\}\), which number \(2^2=4\). Therefore subsets containing at least one of \(a\) or \(b\) = \(16-4=12\). About a common wrong answer: option D (14) comes from mistakenly subtracting \(2\) instead of \(4\) for the "exclude both" case (i.e. doing \(16-2\)), so it's incorrect. Exam tip: use the complement principle — count "neither a nor b" and subtract from the total; it avoids double counting.
समुच्चयों के लिए सामान्य सूत्र है \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\)। यहाँ दिया है \(2^{n(A)}=32\)। क्योंकि \(32=2^5\), इसलिए \(n(A)=5\)। नज़दीकी विकर्षक क्यों गलत हैं: विकल्प A पर \(2^4=16\) होता है, विकल्प C पर \(2^6=64\) होता है, और विकल्प D पर \(2^{16}\) बहुत बड़ा है; इसलिए वे सभी 32 नहीं दे रहे। परीक्षा सुझाव: ऐसे प्रश्नों में सीधे बेस-2 के घात की पहचान करें या दोनों पक्षों का \(\log_2\) लें — यह गलत उत्तरों से तुरंत छुटकारा दिलाता है। / For sets the formula is \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Here \(2^{n(A)}=32\), and since \(32=2^5\), we get \(n(A)=5\). Why other choices are wrong: option A gives \(2^4=16\), option C gives \(2^6=64\), and option D corresponds to \(2^{16}\), none equal 32. Exam tip: recognize powers of 2 quickly or take \(\log_2\) of both sides to find \(n(A)\).
