Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(|\mathcal{P}(A)|=64), इसलिए (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^{64}\) सदस्य होंगे। परीक्षा में घात समुच्चय पर फिर घात समुच्चय लगाने में घातांक न घटाएं। / (|\mathcal{P}(A)|=64), so (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^{64}\) members. In exams, do not reduce the exponent when taking a power set again.
कोर कॉन्सेप्ट: किसी सेट S के पावर सेट \(\mathcal{P}(S)\) के सदस्यों की संख्या \(2^{|S|}\) होती है। यहाँ \(|U|=8\) और \(|A|=5\)। इसलिए \(|\mathcal{P}(U)|=2^8=256\) और \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\)। \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) में वे ही उपसमुच्चय आएँगे जो \(U\) के हैं पर \(A\) के नहीं—इसलिए कुल = \(2^8-2^5=256-32=224\)। निकटतम भ्रामक विकल्प: \(256\) (विकल्प D) केवल \(\mathcal{P}(U)\) का आकार है, वह \(\mathcal{P}(A)\) को घटाता नहीं; \(243\) और \(248\) के कोई सरल सेट-कार्डिनैलिटी अर्थ यहाँ उपयुक्त नहीं। परीक्षा-सुझाव: ध्यान रखें कि \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) और \(\mathcal{P}(U-A)\) अलग होते हैं — पहले में उन सभी उपसमुच्चयों को घटाते हैं जो पूरी तरह A में हैं। / Core concept: the power set of a set S has \(2^{|S|}\) elements. Here \(|U|=8\) and \(|A|=5\). So \(|\mathcal{P}(U)|=2^8=256\) and \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\). The set \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) consists of subsets of U that are not subsets of A, hence its size is \(2^8-2^5=256-32=224\). Why other choices are wrong: 256 counts all subsets of U (ignores subtraction of those inside A); 243 and 248 do not correspond to correct counts from cardinalities here. Exam tip: compute cardinalities first and remember that \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) is not equal to \(\mathcal{P}(U-A)\).
यहां (A'={1,3,5}), इसलिए ({2}) इसका उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा में विकल्प को पूरक के उपसमुच्चय के रूप में जांचें। / Here (A'={1,3,5}), so ({2}) is not its subset. In exams, check each option as a subset of the complement.
({2}) स्वयं (A) का एक तत्व है, इसलिए ({{2}}) (A) का उपसमुच्चय है। परीक्षा में तत्व और एकल समुच्चय में फर्क करें। / ({2}) itself is an element of (A), so ({{2}}) is a subset of (A). In exams, distinguish an element from a singleton set.
समुच्चय (A) में दो अलग सदस्य \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=22=4)। परीक्षा में nested elements को गिनते समय सावधान रहें। / The set (A) has two distinct members \(\varnothing\) and \({\varnothing}\), so (|\mathcal{P}(A)|=22=4). In exams, be careful while counting nested elements.
क्योंकि \(A\in \mathcal{P}(A)\), इसलिए \(A\in \mathcal{P}(U)\) और अतः \(A\subseteq U\)। परीक्षा में \(\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(U)\) से \(A\subseteq U\) निकालें। / Since \(A\in \mathcal{P}(A)\), \(A\in \mathcal{P}(U)\), hence \(A\subseteq U\). In exams, infer \(A\subseteq U\) from \(\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(U)\).
(|\mathcal{P}(A')|=8=23), इसलिए (|A'|=3) और (|A|=7-3=4)। परीक्षा में \(2^n\) से (n) पहचानें। / (|\mathcal{P}(A')|=8=23), so (|A'|=3) and (|A|=7-3=4). In exams, identify (n) from \(2^n\).
\(A\cup B={1,2,3}\), इसलिए कुल subsets \(2^3=8\) और proper subsets (8-1=7) हैं। परीक्षा में पूरा समुच्चय हटाना न भूलें। / \(A\cup B={1,2,3}\), so total subsets are \(2^3=8\) and proper subsets are (8-1=7). In exams, do not forget to exclude the whole set.
(A) और (A') असंबद्ध हैं, इसलिए दोनों के समान उपसमुच्चय में केवल \(\varnothing\) है। परीक्षा में intersection of power sets को common subsets समझें। / (A) and (A') are disjoint, so the only common subset is \(\varnothing\). In exams, understand intersection of power sets as common subsets.
जब \(A\cap B=\varnothing\), तब common subset केवल \(\varnothing\) होता है। इसलिए cardinality (1) है। / When \(A\cap B=\varnothing\), the only common subset is \(\varnothing\). Therefore the cardinality is (1).
