Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \(X\in\mathcal{P}(A)\) है तो \(X\subseteq A\)। क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(X\subseteq B\) भी होगा, अतः \(X\in\mathcal{P}(B)\)। यह दिखाता है कि हर तत्व (उपसमुच्चय) जो \(\mathcal{P}(A)\) में है, वह \(\mathcal{P}(B)\) में भी है, अर्थात् \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि इसका सत्य होने के लिए आवश्यक है कि \(B\subseteq A\) भी हो (यानी \(A=B\))। विकल्प C तभी सही होगा जब \(A=B\)। परीक्षा सुझाव: समावेशन साबित करने के लिए किसी भी सामान्य तत्व \(X\in\mathcal{P}(A)\) को लेकर देखिए कि वह \(\mathcal{P}(B)\) में भी आता है — यह विधि अक्सर तेज और सुरक्षित रहती है। / Take any \(X\in\mathcal{P}(A)\). Then \(X\subseteq A\). Since \(A\subseteq B\), we get \(X\subseteq B\), so \(X\in\mathcal{P}(B)\). Hence every element of \(\mathcal{P}(A)\) lies in \(\mathcal{P}(B)\), i.e. \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\). Option B is incorrect because it asserts the reverse inclusion, which holds only when \(A=B\). Option C is only true in the special case \(A=B\). Exam tip: to prove set inclusions, pick an arbitrary element of the left side and show it belongs to the right side — this direct-element method is reliable for power sets.
A में सम तत्व {2,4} हैं — कुल 2 तत्व। किसी भी n-तत्व वाले सेट के उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र है \(2^n\)। यहाँ \(n=2\) इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^2=4\)। आम त्रुटियाँ: विकल्प A (2) गलत है क्योंकि वह केवल सम तत्वों की संख्या गिन रहा है, न कि उनके उपसमुच्चयों की संख्या। विकल्प D (8) गलत है — 8 का संबंध किसी तीसरे तत्व वाले सेट के \(2^3\) से हो सकता है और यह यहाँ प्रासंगिक नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: पहले सम तत्वों की संख्या गिनें और तुरंत \(2^n\) फार्मूला लागू करें; खाली सेट भी उपसमुच्चय माना जाता है। / The even elements of A are {2,4}, so there are 2 even elements. The number of subsets of a set with n elements is given by \(2^n\). Here \(n=2\), hence the number of subsets is \(2^2=4\). Common mistakes: option A (2) confuses the count of elements with the count of subsets. Option D (8) is incorrect — 8 would correspond to \(2^3\) and is unrelated here. Exam tip: count the allowed elements first, then apply \(2^n\); remember the empty set is a valid subset.
क्योंकि \(A \subseteq U\), इसलिए (\mathcal{P}(A)) के सभी \(2^4=16\) सदस्य (U) के उपसमुच्चय हैं। परीक्षा में पहले \(A \subseteq U\) जांचें। / Since \(A \subseteq U\), all \(2^4=16\) members of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (U). In exams, first check whether \(A \subseteq U\).
(|\mathcal{P}(A)|=128=27), इसलिए (|A|=7) और (|A'|=4)। non-empty subsets \(2^4-1=15\) होंगे। / Since (|\mathcal{P}(A)|=128=27), (|A|=7) and (|A'|=4). The non-empty subsets are \(2^4-1=15\).
यहां (A'=U-A={b,d}), इसलिए (|\mathcal{P}(A')|=22=4)। परीक्षा में पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लें। / Here (A'=U-A={b,d}), so (|\mathcal{P}(A')|=22=4). In exams, always take complement with respect to the given universal set.
यहां \(A\cap B={3,4}\), इसलिए (\(A\cap B\)') में (6) तत्व हैं। अतः (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=26=64)। / Here \(A\cap B={3,4}\), so (\(A\cap B\)') has (6) elements. Hence (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=26=64).
क्योंकि (|U-A|=9-5=4), इसलिए (|\mathcal{P}(U-A)|=24=16)। परीक्षा में पहले पूरक की संख्या निकालें। / Since (|U-A|=9-5=4), (|\mathcal{P}(U-A)|=24=16). In exams, first find the number of elements in the complement.
(a) fixed होने पर odd cardinality के लिए बाकी (4) तत्वों में even संख्या चुननी होगी। ऐसे choices \(2^{4-1}=8\) हैं। / After fixing (a), an even number of elements must be chosen from the remaining (4) elements for odd cardinality. The number of such choices is \(2^{4-1}=8\).
(\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) में (1) सदस्य है, इसलिए (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^1=2\) सदस्य होंगे। खाली समुच्चय और उसके घात समुच्चय को अलग समझें। / (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) has (1) member, so (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^1=2\) members. Treat the empty set and its power set separately.
समुच्चय (A) में (3) अलग-अलग सदस्य हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=23=8)। nested sets को अलग तत्व मानकर गिनना चाहिए। / The set (A) has (3) distinct members, so (|\mathcal{P}(A)|=23=8). Nested sets should be counted as separate elements.
