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(A) के उपसमुच्चयों में केवल \(\varnothing\) ही (A) से असंयुक्त है। असंयुक्त का अर्थ साझा तत्व न होना है। / Among subsets of (A), only \(\varnothing\) is disjoint from (A). Disjoint means having no common element.
कुल उपसमुच्चय (64) हैं और जिनमें (1,2) दोनों नहीं हैं वे \(2^4=16\) हैं। इसलिए उत्तर (64-16=48) है। / There are (64) total subsets, and those containing neither (1) nor (2) are \(2^4=16\). Hence the answer is (64-16=48).
A. क्योंकि \(A'\subseteq U\)/Because \(A'\subseteq U\)
Explanation
Simple Explanation
किसी भी पूरक (A') के सभी तत्व (U) के अंदर ही होते हैं। इसलिए \(A'\subseteq U\) से \(\mathcal{P}(A')\subseteq\mathcal{P}(U)\) मिलता है। / Every complement (A') contains elements only from (U). Thus \(A'\subseteq U\) gives \(\mathcal{P}(A')\subseteq\mathcal{P}(U)\).
कोई समुच्चय अपने पूरक के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि तब वह अपने ही प्रत्येक तत्व को रखेगा और नहीं भी रखेगा। इसलिए संख्या (0) है। / No set can be equal to its complement because each element would have to be both included and not included. Therefore the count is (0).
(18) के अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं, इसलिए (A) में (2) तत्व हैं। (A') में (16) तत्व होंगे और \(2^{16}=65536\)। / The prime factors of (18) are (2) and (3), so (A) has (2) elements. (A') has (16) elements and \(2^{16}=65536\).
पूरक स्थिति है कि (1) नहीं है और (5) है, जिसके \(2^3=8\) उपसमुच्चय हैं। कुल (32) में से (8) घटाने पर (24) मिलते हैं। / The opposite condition is not containing (1) and containing (5), which gives \(2^3=8\) subsets. Subtracting from (32) gives (24).
A. यह सत्य है क्योंकि (A'=B)/It is true because (A'=B)
Explanation
Simple Explanation
(A) सम संख्याओं का समुच्चय है, इसलिए (A') (U) में विषम संख्याएं हैं, जो (B) है। समान मूल समुच्चय के घात समुच्चय भी समान होते हैं। / (A) is the set of even numbers, so (A') in (U) is the set of odd numbers, which is (B). Equal original sets have equal power sets.
{1,{∅}} के सभी तत्व A में हैं, इसलिए यह A का उपसमुच्चय है और P(A) का तत्व है। परीक्षा में घात समुच्चय के तत्व हमेशा मूल समुच्चय के उपसमुच्चय होते हैं। / All elements of {1,{∅}} are in A, so it is a subset of A and an element of P(A). In exams, the elements of a power set are always subsets of the original set.
रिक्त समुच्चय में तत्वों की संख्या n = 0 होती है। किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र है \(2^n\)। यहाँ \(2^0 = 1\)। इसलिए रिक्त समुच्चय का केवल एक उपसमुच्चय (खुद रिक्त समुच्चय) होता है। विकल्प '0' गलत है क्योंकि हर समुच्चय कम-से-कम स्वयं एक उपसमुच्चय रखता है; '2' गलत है क्योंकि वह स्थिति तब आती है जब n = 1 (\(2^1=2\)); 'infinite' गलत है क्योंकि एक फाइनाइट समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा \(2^n\) जैसी फाइनाइट संख्या होती है। परीक्षा-टिप: पहले हमेशा \(|A|=n\) निर्धारित कर लें, फिर \(2^n\) लागू करें। / The empty set has cardinality n = 0. The number of subsets of a set with n elements is given by \(2^n\). Thus \(2^0=1\), so the empty set has exactly one subset — itself (the empty set). Option '0' is incorrect because every set has at least itself as a subset; '2' corresponds to the case n = 1; 'infinite' is incorrect since for a finite set the number of subsets is the finite value \(2^n\). Exam tip: first find \(n=|A|\), then compute \(2^n\).
किसी समुच्चय में यदि कुल \(n\) तत्व हों तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है, क्योंकि प्रत्येक तत्व को या तो उपसमुच्चय में रखा जा सकता है या नहीं। यहाँ \(n=3\) होने पर \(2^3=8\)। इसलिए विकल्प C सही है। निकटवर्ती गलत विकल्पों का कारण: विकल्प A (6) वास्तव में उन उपसमुच्चयों की संख्या है जो न तो खाली समुच्चय हैं और न ही पूरा समुच्चय (अर्थात् गैर-खाली proper उपसमुच्चय) क्योंकि \(2^3-2=6\)। विकल्प B (7) उस त्रुटि का परिणाम हो सकता है जिसमें खाली समुच्चय या पूर्ण समुच्चय को गिना ही नहीं गया। परीक्षा टिप: उपसमुच्चयों की गिनती में हमेशा खाली समुच्चय और समुच्चय स्वयं दोनों को शामिल करें। / A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets since each element can either be included or excluded independently. For \(n=3\), \(2^3=8\), so option C is correct. Why other plausible options are wrong: option A (6) equals the number of non-empty proper subsets (\(2^3-2=6\)), option B (7) suggests one subset was omitted (either the empty set or the set itself), and option D (9) is simply incorrect. Exam tip: always count both the empty set and the set itself when listing subsets.
