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(1) को निश्चित रखकर बाकी (2) तत्वों को चुनने या न चुनने के \(2^2=4\) तरीके हैं। निश्चित तत्व वाले प्रश्न में बाकी तत्वों पर घात लगाएं। / Fix (1), then each of the remaining (2) elements may be chosen or not, giving \(2^2=4\) subsets. For a fixed element, take powers over the remaining elements.
(p) को बाहर रखकर केवल (q,r,s) से उपसमुच्चय बनेंगे, इसलिए \(2^3=8\)। किसी तत्व को हटाने पर शेष तत्वों की शक्ति लें। / Excluding (p), subsets are formed only from (q,r,s), so \(2^3=8\). When one element is forbidden, take the power of the remaining elements.
(A) में (5) तत्व हैं और (U) में (15), इसलिए (A') में (10) तत्व हैं। अतः घात समुच्चय में \(2^{10}=1024\) तत्व हैं। / (A) has (5) elements and (U) has (15), so (A') has (10) elements. Therefore its power set has \(2^{10}=1024\) elements.
A. \({1,2}\in A\) और \({1,2}\in\mathcal{P}(A)\)/\({1,2}\in A\) and \({1,2}\in\mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
({1,2}) (A) का एक तत्व है और साथ ही (A) का उपसमुच्चय भी है। इसलिए यह (A) में भी है और (\mathcal{P}(A)) में भी है। / ({1,2}) is an element of (A) and also a subset of (A). Hence it belongs to both (A) and (\mathcal{P}(A)).
कम से कम (4) तत्वों वाले उपसमुच्चय (4)-तत्वीय और (5)-तत्वीय होंगे। संख्या \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\) है। / Subsets with at least (4) elements are (4)-element and (5)-element subsets. The count is \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\).
विषम आकार (1) और (3) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{3}{1}+\binom{3}{3}=3+1=4\) है। आकार के आधार पर उपसमुच्चय गिनें। / The odd sizes are (1) and (3), so the count is \(\binom{3}{1}+\binom{3}{3}=3+1=4\). Count subsets by their sizes.
(A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय होगा। इसलिए घात समुच्चय का संबंध भी उसी दिशा में रहता है। / Every subset of (A) is also a subset of (B). Therefore the power set relation remains in the same direction.
(2) के (15), (5) के (6), और (10) के (3) गुणज हैं, इसलिए संघ में (18) तत्व हैं। पूरक में (30-18=12) तत्व होंगे। / There are (15) multiples of (2), (6) multiples of (5), and (3) multiples of (10), so the union has (18) elements. The complement has (30-18=12) elements.
पावर सेट में किसी भी उपसमुच्चय के लिए हर तत्व के दो स्थिति हो सकती हैं: शामिल या शामिल नहीं। प्रश्न में 1 अवश्यक है और 4 निष्कासित है, इसलिए 2 और 3 के बारे में कोई बाधा नहीं — वे स्वतंत्र हैं। प्रत्येक स्वतंत्र तत्व के 2 विकल्प हैं, अतः कुल उपसमुच्चय = \(2^{2}=4\)। निकटभ्रमित विकल्प C (8) तब आता है जब तीन स्वतंत्र तत्व मान लिए जाएँ (\(2^{3}\)), और विकल्प B (6) किसी नियमित पावर-ऑफ-2 गणना का परिणाम नहीं है। परीक्षा टिप: पहले सुनिश्चित और निष्कासित तत्व हाथ से अलग कर लें, फिर बचे हुए तत्वों पर \(2^{n}\) लागू करें। / In a power set each element is either present or absent. Here 1 must be present and 4 must be absent, so only elements 2 and 3 are free to be chosen or not. That gives \(2\) choices for each of the 2 free elements, so total subsets = \(2^{2}=4\). The closest distractor C (8) would correspond to mistakenly treating three elements as free (\(2^{3}\)), while B (6) is not a valid power-of-2 count for independent inclusion/exclusion. Exam tip: fix required/excluded elements first, then count the remaining free elements and use \(2^{n}\).
पूरक एक-तत्वीय होने के लिए मूल उपसमुच्चय में (3) तत्व होने चाहिए। ऐसे उपसमुच्चय \(\binom{4}{3}=4\) हैं। / For the complement to be singleton, the original subset must have (3) elements. There are \(\binom{4}{3}=4\) such subsets.
