Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) है और (B) के साथ सामान्य भाग ({1,2,3}) है। गुणनखंड वाले समुच्चय को पहले लिखें। / \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\), and the common part with (B) is ({1,2,3}). List the factor set first.
\(A=\{1,2,3,6,9,18\}\) है और (B) हटाने पर ({1,18}) बचता है। सूची रूप में बदलने से गलती कम होती है। / \(A=\{1,2,3,6,9,18\}\), and removing (B) leaves ({1,18}). Converting to roster form reduces mistakes.
पहले (A-B={1,4,6}) है और इसका (C) से सामान्य भाग ({4,6}) है। मिश्रित क्रियाओं में कोष्ठक पहले हल करें। / First (A-B={1,4,6}), and its common part with (C) is ({4,6}). In mixed operations, solve the bracket first.
पहले \(A\cup B={1,2,3,4,6,8}\) है, फिर (C) के साथ सामान्य भाग ({2,6}) मिलता है। मिश्रित क्रिया में कोष्ठक पहले हल करें। / First \(A\cup B={1,2,3,4,6,8}\), then the common part with (C) is ({2,6}). In mixed operations, solve the bracket first.
पहले \(B\cap C={4,6}\) है, फिर (A) से इन्हें हटाने पर ({1,2,3,5}) बचता है। अंतर में पहले समुच्चय से ही अवयव हटाएं। / First \(B\cap C={4,6}\), then removing these from (A) leaves ({1,2,3,5}). In difference, remove elements only from the first set.
एक पुस्तकालय में 35 विद्यार्थी कहानी की किताबें पढ़ते हैं, 20 विद्यार्थी कविता की किताबें पढ़ते हैं और 45 विद्यार्थी कम से कम एक प्रकार की किताब पढ़ते हैं। दोनों प्रकार की किताबें पढ़ने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
सेट के मूल सूत्र से \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\)। यहाँ \(n(A)=35,\; n(B)=20,\; n(A\cup B)=45\)। अत: \(n(A\cap B)=35+20-45=10\)। विकल्प 5 और 15 गलत हैं क्योंकि वे उपर्युक्त सूत्र के भिन्न (गलत) मान दर्शाते; 55 भी संभव नहीं क्योंकि वह केवल तब होगा जब कोई ओवरलैप न हो (लेकिन.union दी गई है)। परीक्षा सुझाव: "कम से कम एक" को हमेशा \(n(A\cup B)\) समझें और ऊपर का सूत्र याद रखें। / Use the set formula \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\). Here \(n(A)=35, n(B)=20, n(A\cup B)=45\), so \(n(A\cap B)=35+20-45=10\). Options 5 and 15 are incorrect because they correspond to wrong arithmetic for the union value; 55 is impossible unless there is no overlap (which contradicts the given union of 45). Exam tip: interpret "at least one" as \(n(A\cup B)\) and apply the formula directly.
(A-B={3,9}) और (B-A={18,24}) हैं, जिनमें कोई समान अवयव नहीं है। इसलिए उनका प्रतिच्छेद \(\varnothing\) है। / (A-B={3,9}) and (B-A={18,24}), and they have no common element. Therefore their intersection is \(\varnothing\).
एक विद्यालय में कुल 75 विद्यार्थी हैं। इनमें से 32 विद्यार्थी संगीत में भाग लेते हैं और 28 विद्यार्थी नाटक में भाग लेते हैं। यदि 10 विद्यार्थी दोनों गतिविधियों में भाग लेते हैं, तो दोनों में से किसी में भी न भाग लेने वाले कितने विद्यार्थी होंगे?
दो सेटों का सम्मिलन निकालने का सूत्र है: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(A)=32,\; n(B)=28,\; n(A\cap B)=10\)। अतः \(n(A\cup B)=32+28-10=50\)। कुल 75 में से जिन्होंने किसी एक या दोनों में भाग लिया उन्हें घटाएँ: \(75-50=25\)। इसलिए 25 विद्यार्थी किसी भी गतिविधि में भाग नहीं लेते। नज़दीकी भ्रामक विकल्प (जैसे 20) तब बन सकता है जब ओवरलैप की मात्रा गलत ली जाए — इसलिए ओवरलैप को जोड़-घटाव में सही तरीके से उपयोग करें। परीक्षा-युक्ति: शीघ्र Venn-आरेख बनाएँ और क्षेत्रों पर सीधे संख्या लगाकर जाँच करें। / Use the union formula: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Here \(n(A)=32,\; n(B)=28,\; n(A\cap B)=10\), so \(n(A\cup B)=32+28-10=50\). Students in neither = total − union = \(75-50=25\). Thus 25 is correct. A common error (leading to a wrong option like 20) is mishandling the overlap value; ensure you subtract the intersection exactly once. Exam tip: sketch a quick Venn diagram, fill the intersection first, then the remaining parts, and finally subtract from the total.
कुल 60 विद्यार्थियों में से 5 किसी भी सेट में नहीं हैं, अतः \(n(A\cup B)=60-5=55\). Inclusion–exclusion सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। इसलिए \(55=25+30-n(A\cap B)\) और मिलाकर \(n(A\cap B)=0\)। नजदीकी ग़लत विकल्प 5 इसलिए गलत है क्योंकि वह मानता कि \(n(A\cup B)=50\) होगा, जो कुल और "किसी में नहीं" की जानकारी से मेल नहीं खाता। परीक्षा-सुझाव: पहले "neither" को कुल से घटाकर union निकालें, फिर inclusion–exclusion सूत्र लगाएँ। / Out of 60 students, 5 are in neither set, so \(n(A\cup B)=60-5=55\). Use inclusion–exclusion: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Thus \(55=25+30-n(A\cap B)\) giving \(n(A\cap B)=0\). The closest wrong choice 5 would imply \(n(A\cup B)=50\), which contradicts the given "neither" count. Exam tip: subtract the neither count from the total to get the union, then apply the inclusion–exclusion formula.
सेट A को दो असांघि \(disjoint\) भागों में विभाजित किया जा सकता है: \(A-B\) और \(A\cap B\). इसलिए कार्डिनैलिटी जोड़नीय है: \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=16+11=27\). विकल्प C \(16\) केवल \(A-B\) के तत्व दिखाता है और विकल्प D \(11\) केवल सम्मिलन के तत्व — दोनों का योग ही पूर्ण A देता है। परीक्षा-सुझाव: किसी सेट के तत्व गिनते समय उसे असांघि उप-सेट्स में बाँटकर जोड़ें। / Set A splits into two disjoint parts: \(A-B\) and \(A\cap B\). Cardinalities of disjoint parts add, so \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=16+11=27\). Option C \(16\) counts only \(A-B\) and option D \(11\) counts only the intersection; neither alone gives the whole A. Exam tip: partition a set into disjoint pieces and add their cardinalities when counting elements.
