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यदि \(A\subseteq B\) है तो संपूर्ण सेट \(A\) पहले से ही \(B\) के अंदर मौजूद है। इसलिए दोनों का संघ \(A\cup B\) उन तत्वों का वह सेट होगा जो \(B\) में हैं — अर्थात् \(B\) ही। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(A\) तब ही संघ के बराबर होगा जब \(B\subseteq A\) भी सत्य हो (यानी दोनों बराबर हों)। विकल्प (D) का अर्थ \(A\) का वह भाग है जो \(B\) के बाहर है; परन्तु \(A\subseteq B\) होने पर ऐसा कोई भाग नहीं रहेगा और \(A\cap B^c=\varnothing\) बनता है, अतः (C) और (D) संघ के लिए गलत हैं। परीक्षा टिप: यदि \(A\subseteq B\) तो हमेशा \(A\cup B=B\) और \(A\cap B=A\)। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) already lies in \(B\). Hence the union \(A\cup B\) contains exactly the elements of \(B\), so \(A\cup B=B\). Option B (\(A\)) would be correct only if \(B\subseteq A\) as well (i.e., \(A=B\)). Option D, \(A\cap B^c\), denotes elements of \(A\) outside \(B\); under \(A\subseteq B\) that set is empty (\(\varnothing\)), so D does not give the union. Exam tip: remember the subset identities — if \(A\subseteq B\) then \(A\cup B=B\) and \(A\cap B=A\).
परिचय: किसी दो समुच्चयों का प्रतिच्छेद (intersection) उन तत्वों का समुच्चय है जो दोनों में एक साथ उपस्थित हों। A में {2,4,6,8,10} हैं और B में {1,2,3,5,7} हैं — दोनों में केवल 2 सामान्य है। इसलिए \(A\cap B=\{2\}\)। नज़दीकी भ्रम (विकल्प C) इसलिए गलत है क्योंकि वह A का शेष भाग देता है पर B में वे तत्व नहीं हैं; विकल्प B और D भी गलत हैं क्योंकि वे दोनों में मौजूद एकमात्र सामान्य तत्व 2 को छोड़ देते हैं। परीक्षा टिप: प्रतिच्छेद के लिए दोनों समुच्चयों के सामान्य तत्व सूचिबद्ध कर लें। / Concept: The intersection of two sets contains only elements that are present in both sets. A = {2,4,6,8,10} and B = {1,2,3,5,7} share only the element 2. Hence \(A\cap B=\{2\}\). Closest distractor (option C) lists elements of A except 2, but those are not in B, so it is incorrect; options B and D are also incorrect because they do not include the only common element 2. Exam tip: To find intersection, list elements of each set and pick the common ones.
समूह (union) में A और B दोनों समूहों के सभी भिन्न (distinct) तत्व शामिल होते हैं। A के तत्व {a,c,e} और B के तत्व {b,c,d} को मिलाने पर मिलकर {a,b,c,d,e} बनता है — 'c' को एक बार ही लिखते हैं। विकल्प {a,e} को चुनने पर b और d गायब रह जाते; {c} केवल समापवर्तक (intersection) है; और {f} यूनिवर्सल सेट में है पर न A में है न B में। परीक्षा टिप: यूनीयन निकालने के लिए दोनों सेटों के सभी तत्व लिखें और डुप्लिकेट हटा दें या एक छोटा वैन आरेख बनाकर शेडिंग देखें। / The union contains every distinct element that appears in A or B. Combining A = {a,c,e} and B = {b,c,d} gives {a,b,c,d,e} — the common element c is written once. {a,e} omits b and d, {c} is only the intersection, and {f} is not in A or B. Exam tip: list elements from both sets and remove duplicates, or draw a simple Venn diagram to visualize the union.
समुच्चय का अंतर B − A उन तत्वों का समूह है जो B में हैं पर A में नहीं। B के तत्व हैं r, s, t; इनमें r और s दोनों A में भी हैं, इसलिए केवल t ही B − A में बचेगा। विकल्प {r, s} गलत है क्योंकि r और s A में भी हैं; {p, q} केवल A के तत्व हैं; पूर्ण समुच्चय वाली विकल्प गलत है क्योंकि अंतर यूनियन नहीं है। परीक्षा टीप: समुच्चयों के अंतर के लिए हर तत्व की सदस्यता दोनों समुच्चय में जाँचे — यदि वह A में भी है तो उसे बाहर कर दें। / The set difference B − A consists of elements that are in B but not in A. B = {r, s, t} and r and s also belong to A, so only t remains in B − A. Option {r, s} is incorrect because r and s are common to A and B; {p, q} are only in A; the full set is incorrect because difference is not the union. Exam tip: for B − A, test each element of B for membership in A — include it only if it is not in A.
"केवल \(B\)" का अर्थ है वे तत्त्व जो \(B\) में हैं पर \(A\) में नहीं। सामान्य नियम: केवल \(B\)=\(n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(B)-n(A\cap B)=57-23=34\)। इसलिए उत्तर 34 है। विकल्पों का संक्षिप्त विश्लेषण: 23 केवल सम्मिलन (intersection) का मान है, 57 समूचे \(B\) के तत्त्व हैं (जिसमें intersection भी शामिल है), और 80 गलती से जोड़ा गया मान \(57+23\) है। परीक्षा टिप: वेन आरेख पर पहले \(A\cap B\) लिखें और फिर प्रत्येक सेट के "केवल" हिस्से के लिए कुल से intersection घटा दें। / "Only B" means elements in B but not in A, i.e. B\A. Use the formula: only B = \(n(B)-n(A\cap B)\). Substituting gives \(57-23=34\), so 34 elements are only in B. Distractor notes: 23 is just the intersection, 57 is the total of B including the intersection, and 80 is the incorrect sum \(57+23\). Exam tip: draw a two-set Venn diagram, label the intersection first, then subtract it from each set total to get the "only" regions.
प्रतिच्छेद (intersection) केवल वे तत्व देता है जो दोनों समुच्चयों में साथ-साथ उपस्थित हों। A और B में सामान्य तत्व हैं b, d और h, अतः \(A \cap B = \{b, d, h\}\)। विकल्प D गलत है क्योंकि वह दोनों समुच्चयों का संघ (union) है; विकल्प A और B केवल एक-एक समुच्ची के अनन्य तत्व हैं। परीक्षा-सुझाव: हर सम्भव तत्व पर जाँच करें कि वह दोनों सेटों में मौजूद है या नहीं। / The intersection contains only those elements that appear in both sets. The common elements of A and B are b, d and h, so \(A \cap B = \{b, d, h\}\). Option D is the union (all elements from both sets) and hence incorrect; options A and B list elements belonging only to A or only to B. Exam tip: check each element one by one to see if it is present in both sets before choosing the answer.
\(B\cap A^c\) का अर्थ है वे तत्त्व जो समूह \(B\) में हैं और साथ ही समूह \(A\) में नहीं हैं। यही परिभाषा सेट अंतर \(B - A\) (या \(B\setminus A\)) की है, इसलिए उत्तर \(B - A\) सही है। विकल्प \(A - B\) उल्टा है (वे तत्त्व जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं) इसलिए गलत है। \(A\cap B\) केवल दोनों में होने वाले तत्त्व देता है, और \(B\cup A^c\) बहुत बड़ा सेट देगा — दोनों ही गलत भिन्नताएँ हैं। परीक्षा-टिप: वेन आरेख पर क्षेत्र को शेड करके याद करें कि "\(\cap A^c\)" का मतलब है "\(A\) के बाहर"। / \(B\cap A^c\) means the elements that are in \(B\) and not in \(A\). That is exactly the set difference \(B - A\) (also written \(B\setminus A\)), so option B is correct. Option A, \(A - B\), is the opposite (elements in \(A\) but not in \(B\)), so it is incorrect. \(A\cap B\) gives only elements common to both, and \(B\cup A^c\) is a much larger set; both do not match the required definition. Exam tip: shade the region for \(B\) then remove the overlap with \(A\) to visualize \(B\cap A^c\).
कम से कम एक का मतलब है A∪B। समावेशन‑अपवर्जन सूत्र के अनुसार: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). यहाँ \(58+49-22=85\)। इसलिए 85 विद्यार्थी कम से कम एक कला सीखते हैं। उत्तर 71 (निकट भ्रमित विकल्प) तब आएगा अगर कोई गलत तरीके से आपसी गिनती या भिन्न मान (जैसे 36) मान ले; 107 तब होगा जब आप दोनों समूहों को जोड़कर आपसी सदस्य को घटाना भूल जाएँ (58+49=107)। परीक्षा‑टिप: वैंकविन्य चिह्नों में हमेशा दोनों का हिस्सा केवल एक बार गिनें—समावेशन‑अपवर्जन सूत्र याद रखें। / "At least one" means the union A∪B. By the inclusion–exclusion formula: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Here \(58+49-22=85\), so 85 students learn at least one art. The choice 71 is a nearby wrong answer that can result from using an incorrect intersection value or double‑subtracting; 107 is the common mistake of adding 58 and 49 without subtracting the overlap. Exam tip: always apply the inclusion–exclusion formula so shared members are counted only once.
असंबद्ध समुच्चयों का अर्थ है कि उनके बीच कोई सामान्य (common) तत्त्व नहीं होता। यह शर्त गणितीय रूप में \(A\cap B=\varnothing\) से व्यक्त होती है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\cup B=\varnothing\) तब ही सत्य होगा जब दोनों समुच्चय शून्य (खाली) हों; असंबद्धता का यह आवश्यक अर्थ नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि असंबद्धता से यह नहीं कहा जा सकता कि दोनों समुच्चय समान हैं। विकल्प D भी आवश्यक रूप से सत्य नहीं है — एक समुच्चय का दूसरे में शामिल होना असंबद्धता से निष्कर्षित नहीं होता। परीक्षा सुझाव: असंबद्धता के लिए तुरंत इंटरसेक्शन जांचें — Venn चित्र में ओवरलैप शून्य होना चाहिए। / Disjoint sets have no common elements, which is expressed as \(A\cap B=\varnothing\). Option B is incorrect because \(A\cup B=\varnothing\) would mean both A and B are empty; disjointness does not require emptiness. Option C is wrong since disjointness does not imply A equals B. Option D is not necessarily true because being a subset is unrelated to having no common elements. Exam tip: For disjoint sets always check the intersection (Venn diagram overlap must be empty).
सेट \(A\) को दो आपस में विषम भागों में लिखा जा सकता है: \(A-B\) (जो केवल A में है) और \(A\cap B\) (दोनों का सामान्य भाग)। इसलिए परिमाणों का जोड़ लेना चाहिए: \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=32+18=50\)। सबसे नजदीकी विकर्षक 32 है — यह केवल \(A-B\) का मान है, न कि पूरा \(A\)। विकल्प 14 गलत है क्योंकि वह गलत तरीके से घटा (\(32-18\)) दिखाई देता है। परीक्षा सुझाव: किसी सेट के कुल सदस्यों के लिए पहले उसे disjoint हिस्सों में विभाजित करें और फिर उनके कार्डिनेलिटी जोड़ें। / Set \(A\) splits into two disjoint parts: \(A-B\) (elements only in A) and \(A\cap B\) (the common part). So their cardinalities add: \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=32+18=50\). The closest distractor 32 mistakes \(A-B\) for the whole A; 14 would come from an incorrect subtraction \(32-18\). Exam tip: break a set into disjoint regions and add their sizes to find total cardinality.
