Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(B=\{2,3,4,5,6,7\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म \((a,b)\) हैं जिनके लिए \(a+b\) अभाज्य है और \(a<b\) है?
शर्त \(a<b\) और अभाज्य योग को साथ-साथ जाँचें। \(a=1\) के लिए \(b=2,4,6\) से योग \(3,5,7\) मिलते हैं, इसलिए 3 युग्म हैं। \(a=2\) के लिए \(b=3,5\) से 2 युग्म, \(a=3\) के लिए \(b=4\) से 1 युग्म, \(a=4\) के लिए \(b=7\) से 1 युग्म और \(a=5\) के लिए \(b=6\) से 1 युग्म मिलते हैं। कुल \(3+2+1+1+1=8\) युग्म हैं। अतः सही उत्तर B है। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक \(a\) के लिए केवल \(b>a\) वाले मान लिखकर उनके योगों की अभाज्यता जाँचें। / Apply both conditions simultaneously. For \(a=1\), the values \(b=2,4,6\) give the prime sums \(3,5,7\), contributing 3 pairs. For \(a=2\), \(b=3,5\) contribute 2 pairs; for \(a=3\), \(b=4\) contributes 1 pair; for \(a=4\), \(b=7\) contributes 1 pair; and for \(a=5\), \(b=6\) contributes 1 pair. Thus the total is \(3+2+1+1+1=8\) pairs. Therefore, option B is correct. Exam tip: for each \(a\), list only elements \(b>a\), then test whether \(a+b\) is prime.
पूरक में विषम योग वाले युग्म होंगे और उनकी संख्या \(2\cdot2+2\cdot2=8\) है। पूरक गिनती में विपरीत शर्त लिखें। / The complement contains pairs with odd sum, and the count is \(2\cdot2+2\cdot2=8\). For complements, write the opposite condition.
(a=0,1,2,3) के लिए (b) के क्रमशः (5,5,2,0) मान मिलते हैं, कुल (12)। हर (a) पर सीमा अलग जाँचें। / For (a=0,1,2,3), the counts of (b) are (5,5,2,0), totaling (12). Check the boundary separately for each (a).
दोनों अवयवों की समता समान होनी चाहिए और (\gcd(a,b)=1) भी चाहिए, ऐसे (7) युग्म हैं। सम-सम युग्मों में \(\gcd\) जल्दी जाँचें। / The components must have the same parity and also (\gcd(a,b)=1), giving (7) pairs. Check \(\gcd\) carefully among same-parity pairs.
यह \(a\mid b\) की शर्त है; (a=1,2,3,4) के लिए गिनती (4,4,1,2) है। कुल (11) युग्म मिलते हैं। / This is the condition \(a\mid b\); for (a=1,2,3,4), the counts are (4,4,1,2). The total is (11) pairs.
यदि \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{1,2,3,4\}\) और \(C=\{2,3,5\}\) हैं, तो \(\lvert A\times(B\setminus C)\rvert+\lvert(A\times B)\cap(A\times C)\rvert\) का मान क्या है?
पहले, \(B\setminus C=\{1,4\}\), इसलिए \(\lvert A\times(B\setminus C)\rvert=3\times2=6\)। साथ ही, \((A\times B)\cap(A\times C)=A\times(B\cap C)\) और \(B\cap C=\{2,3\}\), इसलिए इस समुच्चय में भी \(3\times2=6\) युग्म हैं। अतः कुल मान \(6+6=12\) है। परीक्षा-युक्ति: \((A\times B)\cap(A\times C)\) को \(A\times(B\cap C)\) के रूप में सरल करें। / First, \(B\setminus C=\{1,4\}\), so \(\lvert A\times(B\setminus C)\rvert=3\times2=6\). Also, \((A\times B)\cap(A\times C)=A\times(B\cap C)\), and \(B\cap C=\{2,3\}\), so this intersection also contains \(3\times2=6\) ordered pairs. Therefore, the total is \(6+6=12\). Exam tip: simplify \((A\times B)\cap(A\times C)\) as \(A\times(B\cap C)\) before counting elements.
(a+b=6) वाले (5) और (a=b) वाले (5) युग्म हैं, पर ((3,3)) दो बार गिना गया। इसलिए (5+5-1=9)। / There are (5) pairs with (a+b=6) and (5) with (a=b), but ((3,3)) is counted twice. Hence (5+5-1=9).
पहली शर्त के अंदर विपरीत समता वाले युग्म गिनने पर (10) मिलते हैं। संयुक्त शर्तों में पहले सीमा और फिर समता जाँचें। / Counting opposite-parity pairs under the product bound gives (10). For combined conditions, check the bound first and then parity.
संभव अंतरों को जाँचने पर अभाज्य अंतर वाले (6) युग्म मिलते हैं। ध्यान रखें कि (1) अभाज्य नहीं है। / Checking possible differences gives (6) pairs with prime difference. Remember that (1) is not prime.
यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{1,2,3\}\) और \(C=\{0,1\}\) हैं, तो \(A\times B\times C\) में ऐसे कितने क्रमित त्रिक \((a,b,c)\) हैं जो \(a=b+c\) को संतुष्ट करते हैं?
हर \((b,c)\) के लिए \(a=b+c\) निश्चित रूप से एक ही मान देता है। जब \(c=0\), तो \(a=1,2,3\) मिलते हैं; और जब \(c=1\), तो \(a=2,3,4\) मिलते हैं। ये सभी मान \(A\) में हैं, इसलिए कुल \(3+3=6\) क्रमित त्रिक हैं। समान \(a\) मानों को अलग-अलग \((b,c)\) युग्मों के कारण अलग त्रिक माना जाता है। परीक्षा में पहले \((b,c)\) के सभी युग्म गिनकर प्रत्येक के लिए \(a\) की वैधता जाँचें। / For every pair \((b,c)\), the equation \(a=b+c\) determines exactly one value of \(a\). When \(c=0\), the values of \(a\) are \(1,2,3\); when \(c=1\), they are \(2,3,4\). All these values belong to \(A\), so the total number of ordered triples is \(3+3=6\). Repeated values of \(a\) still correspond to different triples because their \((b,c)\) pairs are different. In an exam, count the possible \((b,c)\) pairs first and then check whether the resulting \(a\) lies in \(A\).
