Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सम योग के लिए दोनों संख्याएं समान समता की होनी चाहिए। (A) में (2) सम और (1) विषम हैं, (B) में (2) सम और (2) विषम हैं, इसलिए \(2\cdot2+1\cdot2=6\)। / For an even sum, both numbers must have the same parity. (A) has (2) even and (1) odd elements, while (B) has (2) even and (2) odd elements, so \(2\cdot2+1\cdot2=6\).
समुच्चय \(A\) के सभी सदस्य विषम हैं और समुच्चय \(B\) के सभी सदस्य सम हैं। विषम संख्या और सम संख्या का योग हमेशा विषम होता है; इसलिए प्रत्येक क्रमित युग्म \((a,b)\) के लिए \(a+b\) विषम होगा। ‘अभाज्य’ विकल्प निश्चित नहीं है, क्योंकि \(3+6=9\) अभाज्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विषम \(\pm\) सम का परिणाम हमेशा विषम होता है। / Every element of \(A\) is odd, while every element of \(B\) is even. The sum of an odd number and an even number is always odd, so \(a+b\) is odd for every ordered pair \((a,b)\) in \(A\times B\). ‘Prime’ is not guaranteed because \(3+6=9\), which is composite. Exam tip: the sum or difference of an odd and an even number is always odd.
यदि A×B = B×A और A, B अरिक्त हैं, तो किसी b∈B के लिए (a,b)∈A×B होने से a∈B मिलता है; अतः A⊆B। इसी प्रकार B⊆A, इसलिए A=B। परीक्षा टिप: क्रमित युग्मों में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / If A×B = B×A and both sets are non-empty, choose b∈B. From (a,b)∈A×B=B×A, we get a∈B, so A⊆B; similarly B⊆A. Hence A=B. Exam tip: order matters in ordered pairs.
क्योंकि B के सभी अवयव धनात्मक हैं, \(a^b=1\) तभी होगा जब \(a=1\)। अतः क्रमित युग्म \((1,1),(1,2),(1,3)\) इस शर्त को संतुष्ट करते हैं। इसलिए कुल 3 युग्म हैं। \(a=0\) के लिए मान 0 और \(a=2\) के लिए मान 1 से अधिक होगा। परीक्षा-टिप: घातांक धनात्मक होने पर \(1^b=1\) को सीधे पहचानें। / Since every element of B is positive, \(a^b=1\) holds only when \(a=1\). Thus the ordered pairs \((1,1),(1,2),(1,3)\) satisfy the condition, giving a total of 3 pairs. For \(a=0\), the value is 0, while for \(a=2\), the value is greater than 1. Exam tip: when the exponent is positive, immediately check the base \(a=1\) for a value of 1.
|a − b| = 2 के लिए क्रमित युग्म हैं: (1, 3), (3, 1), (2, 4) और (4, 2)। अतः कुल 4 युग्म हैं। (1, 3) और (3, 1) जैसे दोनों क्रम अलग-अलग क्रमित युग्म माने जाते हैं; केवल अव्यवस्थित युग्म गिनने पर उत्तर 2 आता। परीक्षा में A × B के युग्मों में क्रम का महत्त्व याद रखें। / The ordered pairs satisfying |a − b| = 2 are (1, 3), (3, 1), (2, 4), and (4, 2). Therefore, the total number of pairs is 4. The pairs (1, 3) and (3, 1) are distinct because the order matters in a Cartesian product; counting them as one would incorrectly give 2. In an exam, remember that pairs in A × B are ordered pairs.
समान पहला घटक (A) है, इसलिए दूसरा घटक (B) और (C) दोनों में होना चाहिए। अतः (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\))। / The first component is the same set (A), so the second component must lie in both (B) and (C). Thus (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)).
(b=a+2) चाहिए, इसलिए युग्म ((1,3)), ((2,4)) और ((1,? )) नहीं, केवल (2) युग्म हैं। शर्त को पहले समीकरण में बदलें और उपलब्ध तत्व जांचें। / We need (b=a+2), so the valid pairs are ((1,3)) and ((2,4)), only (2) pairs. Convert the condition into an equation and then check available elements.
(a=1,2,3,4) पर मान क्रमशः (0,0,2,3) नहीं बल्कि (0,1,2,3) हैं, कुल (6) है। सीमा वाली असमता में बराबरी को न भूलें। / For (a=1,2,3,4), the counts are (0,1,2,3), totaling (6). Do not forget equality in a boundary inequality.
