Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पांचों (a) मानों के वर्ग (4,1,0,1,4) सभी (B) में हैं। इसलिए प्रत्येक (a) से एक युग्म बनेगा। / The squares of all five (a)-values are (4,1,0,1,4), all in (B). Therefore each (a) gives one pair.
युग्म ((1,8)), ((2,4)) और ((4,2)) बनते हैं। गुणन में संख्या समान हो सकती है, पर क्रमित युग्म में स्थान बदलने से युग्म बदलता है। / The pairs are ((1,8)), ((2,4)), and ((4,2)). Values may multiply the same way, but changing positions changes an ordered pair.
योग (4) देने वाले सभी क्रमित युग्म ((1,3),(2,2),(3,1)) हैं। संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। / All ordered pairs with sum (4) are ((1,3),(2,2),(3,1)). A relation is a subset of \(A\times B\).
(n\(A\times B\)=16), इसलिए ठीक (2) युग्म चुनने के तरीके \({}^{16}C_2=120\) हैं। संबंध गिनते समय उपसमुच्चय चयन का विचार लगाएं। / (n\(A\times B\)=16), so the number of ways to choose exactly (2) pairs is \({}^{16}C_2=120\). Use subset selection when counting relations.
\(A\times B\) में \(3\cdot2=6\) युग्म हैं और हर संबंध इसका उपसमुच्चय है। इसलिए कुल संबंध \(2^6=64\) हैं। / \(A\times B\) has \(3\cdot2=6\) pairs, and each relation is a subset of it. Hence total relations are \(2^6=64\).
योग विषम तब होगा जब एक संख्या विषम और दूसरी सम हो। (A) में (2) विषम और (1) सम हैं, (B) में (2) सम और (1) विषम हैं, इसलिए \(2\cdot2+1\cdot1=5\)। / The sum is odd when one number is odd and the other is even. (A) has (2) odd and (1) even elements, while (B) has (2) even and (1) odd elements, so \(2\cdot2+1\cdot1=5\).
\(\frac{a}{b}\) के पूर्णांक होने के लिए \(b\), \(a\) का भाजक होना चाहिए। \(a=2\) के लिए \(b=1,2\), अर्थात् 2 युग्म; \(a=4\) के लिए \(b=1,2,4\), अर्थात् 3 युग्म; और \(a=6\) के लिए \(b=1,2,3\), अर्थात् 3 युग्म मिलते हैं। इसलिए कुल युग्म \(2+3+3=8\) हैं। ध्यान दें कि \((a,b)\) क्रमित युग्म है, इसलिए \(a\) के प्रत्येक मान के लिए अनुमत \(b\) अलग-अलग गिने जाते हैं। / For \(\frac{a}{b}\) to be an integer, \(b\) must be a divisor of \(a\). For \(a=2\), the possible values of \(b\) are \(1,2\), giving 2 pairs; for \(a=4\), they are \(1,2,4\), giving 3 pairs; and for \(a=6\), they are \(1,2,3\), giving 3 pairs. Thus, the total is \(2+3+3=8\). Since \((a,b)\) is an ordered pair, count the valid values of \(b\) separately for each value of \(a\).
दिए गए समुच्चयों में \(a,b\) के मान केवल 1, 2, 3 या 4 हो सकते हैं। समीकरण \(a^2+b^2=25\) के लिए \(3^2+4^2=25\), इसलिए \((3,4)\) और \((4,3)\) दो क्रमित युग्म मिलते हैं। \((3,4)\) और \((4,3)\) अलग-अलग युग्म हैं क्योंकि क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की गिनती करते समय उलटे क्रम को अलग युग्म मानें। / Since both sets contain only 1, 2, 3, and 4, the equation \(a^2+b^2=25\) is satisfied by \(3^2+4^2=25\). Thus, the ordered pairs are \((3,4)\) and \((4,3)\), giving a total of 2. These are distinct because order matters in a Cartesian product. Exam tip: when counting ordered pairs, treat reversed pairs as different unless the question concerns unordered pairs.
क्योंकि \(|A|=|B|=3\), इसलिए \(|A\times B|=3\times3=9\) क्रमित युग्म होंगे। इनमें \(a=b\) वाले केवल \((1,1),(2,2),(3,3)\), अर्थात् 3 युग्म हैं। अतः \(a\ne b\) वाले युग्मों की संख्या \(9-3=6\) है। विकल्प 9 सभी युग्मों की संख्या है, केवल असमान अवयवों वाले युग्मों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: समान समुच्चयों के लिए \(a\ne b\) वाले युग्मों की संख्या \(n^2-n=n(n-1)\) होती है। / Since \(|A|=|B|=3\), the Cartesian product contains \(3\times3=9\) ordered pairs. Exactly 3 pairs have equal components: \((1,1),(2,2),(3,3)\). Therefore, the number with \(a\ne b\) is \(9-3=6\). Option 9 counts all pairs, not just those with unequal components. Exam tip: for two identical sets of \(n\) elements, the number of pairs with unequal components is \(n^2-n=n(n-1)\).
युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) हैं। \(A\times A\) में दोनों घटक उसी समुच्चय से आते हैं। / The pairs are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)). In \(A\times A\), both coordinates come from the same set.
