Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
किसी क्रमित युग्म \((a,b)\) में पहला घटक \(a\) और दूसरा घटक \(b\) होता है। इसलिए \((5,7)\) का दूसरा घटक 7 है। विकल्प C में क्रमित युग्म के घटकों का क्रम उलट दिया गया है, जबकि विकल्प D एक समुच्चय है। परीक्षा में घटकों का स्थान ध्यान से देखें। / In an ordered pair \((a,b)\), the first component is \(a\) and the second component is \(b\). Therefore, the second component of \((5,7)\) is 7. Option C reverses the order of the components, while option D represents a set. In exams, pay close attention to the position of each component.
(A) में (2) और (B) में (2) तत्व हैं, इसलिए \(2\times 2=4\)। छोटी सूचियों में चाहें तो सभी युग्म लिखकर भी जांचें। / (A) has (2) elements and (B) has (2) elements, so \(2\times 2=4\). For small sets, you may also list all pairs to check.
((3,5)) में \(3\in A\) और \(5\in B\), इसलिए यह \(A\times B\) में है। बाकी विकल्पों में घटक का स्थान या सदस्यता गलत है। / In ((3,5)), \(3\in A\) and \(5\in B\), so it belongs to \(A\times B\). Other options have wrong position or membership.
((3,1)) में पहला घटक (3) है जो (A) में नहीं है। गलत विकल्प पहचानने के लिए पहले घटक की जांच पहले करें। / In ((3,1)), the first component (3) is not in (A). To find the wrong option, check the first component first.
(A) का एकमात्र तत्व (0) पहले स्थान पर रहेगा और (B) के सभी तत्व दूसरे स्थान पर आएंगे। एकल तत्व वाले समुच्चय में भी क्रम न बदलें। / The only element (0) of (A) stays in the first position and all elements of (B) come in the second position. Do not reverse order even for singleton sets.
कार्तीय गुणनफल के लिए \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)\)। यहाँ दोनों समुच्चय \(A\) ही हैं, इसलिए \(n(A\times A)=3\times3=9\)। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि कार्तीय गुणनफल में अवयवों की संख्याएँ जोड़ी नहीं, गुणा की जाती हैं। परीक्षा-युक्ति: \(n\) अवयवों वाले समुच्चय का स्वयं के साथ कार्तीय गुणनफल \(n^2\) क्रमित युग्म रखता है। / For a Cartesian product, \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)\). Since both sets here are \(A\), \(n(A\times A)=3\times3=9\). Option 6 is incorrect because the cardinalities are multiplied, not added. Exam tip: the Cartesian product of an \(n\)-element set with itself contains \(n^2\) ordered pairs.
दो परिमित समुच्चयों के लिए n(A × B) = n(A) × n(B) होता है। इसलिए 12 = 3 × n(B), अतः n(B) = 12 ÷ 3 = 4। विकल्प 9 गलत है, क्योंकि यहाँ संख्याओं को गुणा करके नहीं, भाग देकर अज्ञात समुच्चय की संख्या ज्ञात करनी है। परीक्षा-टिप: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की संख्या दोनों समुच्चयों की सदस्यों की संख्याओं के गुणनफल के बराबर होती है। / For two finite sets, n(A × B) = n(A) × n(B). Thus, 12 = 3 × n(B), so n(B) = 12 ÷ 3 = 4. Option 9 is incorrect because the unknown cardinality is found by dividing the product by the known cardinality, not by multiplying them. Exam tip: The number of ordered pairs in a Cartesian product equals the product of the cardinalities of the two sets.
यदि (A) खाली नहीं है फिर भी कोई युग्म नहीं बना, तो (B) खाली होना चाहिए। कार्तीय गुणन खाली होने पर कम से कम एक समुच्चय खाली होता है। / If (A) is not empty and still no pair is formed, then (B) must be empty. If a Cartesian product is empty, at least one set is empty.
A. (A) से पहला घटक और (B) से दूसरा घटक वाले सभी युग्म/All pairs with first component from (A) and second component from (B)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में पहला स्थान (A) और दूसरा स्थान (B) से भरा जाता है। इसे \(A\cup B\) समझना आम गलती है। / In \(A\times B\), the first position is filled from (A) and the second from (B). Confusing it with \(A\cup B\) is a common mistake.
क्रमित युग्म में स्थान बदलने से युग्म बदल जाता है। केवल तब समानता होगी जब दोनों संबंधित घटक समान हों। / Changing positions changes an ordered pair. Equality holds only when corresponding components are equal.
