Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
अभाज्य न होने वाले युग्म ((2,2),(2,4),(3,3),(4,2),(4,4),(5,5)) हैं। कुल (25-6=19) युग्म परस्पर अभाज्य हैं। / The non-coprime pairs are ((2,2),(2,4),(3,3),(4,2),(4,4),(5,5)). Thus (25-6=19) pairs are relatively prime.
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। ((x,1)) में क्रम उल्टा है, इसलिए यह सदस्य नहीं है। / In \(A\times B\), the first coordinate must be from (A) and the second from (B). In ((x,1)), the order is reversed, so it is not a member.
\(A\cup B={1,2,3,4}\) में (4) तत्व हैं और (C) में (2) तत्व हैं। इसलिए \(4\cdot2=8\) युग्म बनेंगे। / \(A\cup B={1,2,3,4}\) has (4) elements and (C) has (2) elements. Hence \(4\cdot2=8\) pairs are formed.
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap C=\{1,2,4\}\), इसलिए इसमें 3 तत्व हैं; तथा \(B\cap C=\{2,4\}\), इसलिए इसमें 2 तत्व हैं। कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की संख्या \(|X\times Y|=|X|\times|Y|\) होती है। अतः \(3\times2=6\)। परीक्षा टिप: कार्तीय गुणनफल की संख्या निकालने के लिए दोनों समुच्चयों की संख्याएँ गुणा करें, उन्हें जोड़ें नहीं। / First find the intersections: \(A\cap C=\{1,2,4\}\), which has 3 elements, and \(B\cap C=\{2,4\}\), which has 2 elements. The number of ordered pairs in a Cartesian product is \(|X\times Y|=|X|\times|Y|\). Hence, \(3\times2=6\). Exam tip: multiply the cardinalities of the two sets for a Cartesian product; do not add them.
\(B\setminus A={4}\), इसलिए (A) के प्रत्येक तत्व के साथ (4) दूसरा घटक बनेगा। अंतर निकालकर ही गुणन करें। / \(B\setminus A={4}\), so (4) becomes the second coordinate with each element of (A). Find the difference before multiplying.
(a>b) चाहिए; युग्म ((2,1),(3,1),(3,2)) हैं। धनात्मक अंतर के लिए पहले घटक को बड़ा होना चाहिए। / We need (a>b); the pairs are ((2,1),(3,1),(3,2)). For a positive difference, the first coordinate must be larger.
प्रत्येक \(a\) के लिए \(B\) से ऐसे \(b\) गिनते हैं जो \(b>a\) हों। \(a=1,2,3,4\) के लिए क्रमशः विकल्पों की संख्या \(3,3,3,2\) है। इसलिए कुल संख्या \(3+3+3+2=11\) है। विकल्प 10 में किसी एक स्थिति की एक वैध पसंद छूट जाती है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्म \((a,b)\) होते हैं, इसलिए प्रत्येक \(a\) को स्थिर रखकर गिनना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For each fixed value of \(a\), count the elements of \(B\) that are greater than it. For \(a=1,2,3,4\), the respective numbers of choices are \(3,3,3,2\). Hence, the total is \(3+3+3+2=11\). The distractor 10 results from missing one valid choice in one of these cases. Exam tip: Since \(A \times B\) contains ordered pairs \((a,b)\), fix each value of \(a\) and count the permissible values of \(b\).
योगों में अभाज्य मान (3,5,7) आते हैं; वैध युग्म ((1,2),(2,3),(2,5),(3,2)) और ((1,4)) नहीं है, इसलिए सही कुल (4) है। विकल्प जांचते समय केवल उपलब्ध तत्वों का प्रयोग करें। / Prime sums possible are (3,5,7); the valid pairs are ((1,2),(2,3),(2,5),(3,2)), and ((1,4)) is not allowed, so the correct total is (4). Use only available elements while checking options.
प्रत्येक a के लिए उन b मानों की गणना करें जिनके लिए a+b≤5 है। a=1 पर b के 3 मान, a=2 पर 3 मान, a=3 पर 2 मान और a=4 पर 1 मान संभव हैं। इसलिए कुल क्रमित युग्मों की संख्या 3+3+2+1=9 है। ध्यान रखें कि कार्तीय गुणनफल में क्रम महत्वपूर्ण होता है और प्रत्येक युग्म (a,b) के रूप में लिया जाता है। / Count the possible values of b for each value of a such that a+b≤5. For a=1, there are 3 choices of b; for a=2, 3 choices; for a=3, 2 choices; and for a=4, 1 choice. Thus, the total number of ordered pairs is 3+3+2+1=9. Exam tip: In a Cartesian product, order matters, so each pair is counted as (a,b).
जब a=1, तब B के सभी 4 अवयव 1 के गुणज हैं, इसलिए 4 युग्म मिलते हैं। जब a=2, तब केवल 6 और 12, 2 के गुणज हैं, इसलिए 2 युग्म मिलते हैं। जब a=3, तब 3, 6, 9 और 12 सभी 3 के गुणज हैं, इसलिए 4 युग्म मिलते हैं। अतः कुल युग्म 4+2+4=10 हैं। परीक्षा में प्रत्येक a के लिए B में उसके गुणज अलग-अलग गिनना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For a=1, all 4 elements of B are multiples of 1, giving 4 pairs. For a=2, only 6 and 12 are multiples of 2, giving 2 pairs. For a=3, all four elements 3, 6, 9 and 12 are multiples of 3, giving 4 pairs. Therefore, the total number of pairs is 4+2+4=10. In an exam, count the suitable values of b separately for each value of a to avoid missing or repeating a pair.
