Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(a=1) पर (3), (a=2) पर (2), और (a=3) पर (1) विकल्प मिलते हैं। कुल (6) है और असमता में क्रम ध्यान से देखें। / For (a=1) there are (3), for (a=2) there are (2), and for (a=3) there is (1) choice. Total is (6), and the order in inequality matters.
(a=2) पर केवल (9), (a=3) पर (4,10), और (a=5) पर (4,6,9) में से (4,6,9) मिलते हैं, कुल (6) है। अतः दिए विकल्पों में सही संख्या होनी चाहिए (6), इसलिए विकल्प नहीं मिलते। / For (a=2), only (9); for (a=3), (4,10); for (a=5), (4,6,9), giving total (6). Therefore the correct count should be (6), so the listed options do not match.
(n\(A\times B\)=12) और समान भाग (\(A\cap B\)\times\(A\cap B\)) के (4) युग्म हैं। इसलिए अंतर में (12-4=8) युग्म होंगे। / (n\(A\times B\)=12), and the common part (\(A\cap B\)\times\(A\cap B\)) has (4) pairs. So the difference has (12-4=8) pairs.
\(B=\{-2,2\}\) है और युग्म ((2,-2)) तथा ((-2,2)) मिलते हैं। समीकरण लगाते समय दोनों निर्देशांक का समुच्चय अलग रखें। / \(B=\{-2,2\}\), and the pairs are ((2,-2)) and ((-2,2)). Keep the sets of both coordinates separate while applying the equation.
कार्तीय गुणन दूसरे घटक में संघ पर वितरित होता है। सूत्र (A\times\(B\cup C\)=\(A\times B\)\cup\(A\times C\)) याद रखें। / Cartesian product distributes over union in the second component. Remember (A\times\(B\cup C\)=\(A\times B\)\cup\(A\times C\)).
B. \(A=\varnothing\) या \(B=\varnothing\)/\(A=\varnothing\) or \(B=\varnothing\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन खाली तभी होगा जब कम से कम एक समुच्चय खाली हो। दोनों का खाली होना जरूरी नहीं है। / The Cartesian product is empty when at least one of the sets is empty. Both sets need not be empty.
पहले समुच्चय के संघ की संख्या ज्ञात करें: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=4+5-2=7\)। अब \(n(A\cap B)=2\) है। कार्तीय गुणनफल के लिए \(n(X\times Y)=n(X)n(Y)\), इसलिए \(n\big((A\cap B)\times(A\cup B)\big)=2\times7=14\)। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: संघ की संख्या निकालते समय प्रतिच्छेद की संख्या एक बार घटाना न भूलें। / First find the cardinality of the union: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=4+5-2=7\). Since \(n(A\cap B)=2\), use the Cartesian-product formula \(n(X\times Y)=n(X)n(Y)\): \(n\big((A\cap B)\times(A\cup B)\big)=2\times7=14\). Therefore, option C is correct. Exam tip: when finding the cardinality of a union, subtract the intersection once to avoid double-counting.
(a=1,2,3,4,5) पर क्रमशः (4,3,3,2,2) विकल्प मिलते हैं। कुल (14) है, इसलिए हर (a) के लिए (b) गिनें। / For (a=1,2,3,4,5), the numbers of choices are (4,3,3,2,2). Total is (14), so count (b) for each (a).
हर \(a\in A\) के लिए (b=2a) लेने पर तीनों (b) समुच्चय (B) में हैं। क्रमित युग्म का पहला घटक (A) से ही होना चाहिए। / For each \(a\in A\), (b=2a) lies in (B). The first coordinate must come from (A).
\(a\) के प्रत्येक मान के लिए \(b=a^2\) निकालें: \(0^2=0\), \(1^2=1\), \(2^2=4\) और \(3^2=9\)। ये सभी मान \(B\) में हैं, इसलिए क्रमित युग्म \((0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\) मिलते हैं। अतः कुल \(4\) युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में \(A\) के प्रत्येक अवयव का नियम के अनुसार प्रतिबिंब निकालकर जाँचें कि वह \(B\) में है या नहीं। / For each value of \(a\), calculate \(b=a^2\): \(0^2=0\), \(1^2=1\), \(2^2=4\), and \(3^2=9\). Every resulting value belongs to \(B\), giving the ordered pairs \((0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\). Therefore, the total number of pairs is \(4\). Exam tip: Apply the given rule to every element of \(A\) and count only those results that lie in \(B\).
