Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(|A\times B|=2\cdot3=6\) और फिर \(6\cdot3=18\)। नेस्टेड गुणनफल में भी कार्डिनलिटी गुणा होती है। / \(|A\times B|=2\cdot3=6\), and then \(6\cdot3=18\). Cardinality also multiplies in nested products.
कुल (25) युग्म हैं और विकर्ण युग्म (5) हैं, इसलिए (25-5=20)। विकर्ण हटाने पर \(a\ne b\) वाले युग्म बचते हैं। / There are (25) total pairs and (5) diagonal pairs, so (25-5=20). Removing the diagonal leaves pairs with \(a\ne b\).
दो संख्याओं का योग 2 से तभी विभाज्य होता है जब दोनों की समता समान हो—अर्थात दोनों सम या दोनों विषम हों। सम संख्याएँ: \(A\) में 3 और \(B\) में 2, इसलिए \(3\times2=6\) युग्म। विषम संख्याएँ भी दोनों समुच्चयों में क्रमशः 3 और 2 हैं, इसलिए \(3\times2=6\) युग्म। कुल \(6+6=12\), अतः सही विकल्प B है। विषम-सम या सम-विषम युग्मों का योग विषम होगा। परीक्षा-युक्ति: विभाज्यता के ऐसे प्रश्नों में पहले सम और विषम अवयवों की संख्या अलग-अलग गिनें। / The sum of two integers is divisible by 2 exactly when both integers have the same parity—both even or both odd. There are 3 even elements in \(A\) and 2 in \(B\), giving \(3\times2=6\) pairs. Similarly, there are 3 odd elements in \(A\) and 2 in \(B\), giving another \(3\times2=6\) pairs. Thus, the total is \(6+6=12\), so option B is correct. Mixed-parity pairs have an odd sum and must not be counted. Exam tip: For parity-based counting, first separate the elements of each set into even and odd groups.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (3,2,1,0) मान मिलते हैं, कुल (6)। शर्त को हर पहले अवयव पर लगाएँ। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (3,2,1,0), totaling (6). Apply the condition to each first component.
\(|B|=\frac{24}{4}=6\), इसलिए \(|B\times C|=6\cdot7=42\)। पहले अज्ञात समुच्चय की कार्डिनलिटी निकालें। / Since \(|B|=\frac{24}{4}=6\), \(|B\times C|=6\cdot7=42\). First find the unknown cardinality.
कुल (12) युग्म हैं, (2) युग्म रखने और (1) युग्म हटाने के बाद (9) स्वतंत्र युग्म बचते हैं। इसलिए संख्या \(2^9=512\) है। / There are (12) pairs, and after forcing (2) in and (1) out, (9) pairs remain free. Hence the number is \(2^9=512\).
\(|A\times B|=10\), इसलिए ठीक (5) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{10}{5}=252\) हैं। ठीक संख्या के लिए संयोजन लगाएँ। / \(|A\times B|=10\), so choosing exactly (5) pairs gives \(\binom{10}{5}=252\). Use combinations for exact-size subsets.
शर्त से ((8,3)) और ((5,4)) मिलते हैं, इसलिए (|R|=2)। समीकरण में (b) के संभावित मान व्यवस्थित रूप से जाँचें। / The condition gives ((8,3)) and ((5,4)), so (|R|=2). Check possible (b)-values systematically.
युग्म ((0,5),(3,4),(4,3),(5,0)) हैं, इसलिए संख्या (4) है। क्रमित युग्मों में उलटे युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((0,5),(3,4),(4,3),(5,0)), so the count is (4). Reversed ordered pairs are counted separately.
(a=1) पर (5), (a=2) पर (2), और (a=3) पर (1) युग्म मिलते हैं, कुल (8)। समानता (a=b) को शामिल न करें। / For (a=1), there are (5) pairs; for (a=2), (2); and for (a=3), (1), totaling (8). Do not include (a=b).
