Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((f-g)(x)=x-2-7x+11=\(x-\frac{7}{2}\)2-\frac{5}{4}) नहीं, सही स्थिर मान से न्यूनतम \(-\frac{5}{4}\) है। विकल्पों में त्रुटि जांचें। / ((f-g)(x)=x-2-7x+11=\(x-\frac{7}{2}\)2-\frac{5}{4}), so the minimum is \(-\frac{5}{4}\). Check options carefully.
पहले हर से \(x\ne -2\) और दूसरे हर से \(x\ne 0\) मिलता है। योग का प्रांत दोनों प्रतिबंधों को साथ रखता है। / The first denominator gives \(x\ne -2\), and the second gives \(x\ne 0\). The domain of the sum keeps both restrictions.
((f+g)(x)=x-2+4x+4=(x+2)2), इसलिए शून्य (x=-2) पर है। पूर्ण वर्ग पहचान परीक्षा में उपयोगी है। / ((f+g)(x)=x-2+4x+4=(x+2)2), so the zero is at (x=-2). Perfect square identity is useful in exams.
\((f-g)(x)=\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}\)। समान हर लेने पर अंश \((x-1)^2-(x+1)^2\) मिलता है। इसका मान \((x^2-2x+1)-(x^2+2x+1)=-4x\) है और हर \((x+1)(x-1)=x^2-1\) है। इसलिए सही रूप \(\frac{-4x}{x^2-1}\) है। मूल फलनों के हर शून्य न हों, इसलिए \(x\ne\pm1\)। परीक्षा-युक्ति: घटाव में दूसरे भिन्न के पूरे अंश के आगे ऋण चिह्न लगाना न भूलें; इसी कारण विकल्प B गलत है। / \((f-g)(x)=\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}\). Taking the common denominator gives the numerator \((x-1)^2-(x+1)^2\). Expanding, this is \((x^2-2x+1)-(x^2+2x+1)=-4x\), while the denominator is \((x+1)(x-1)=x^2-1\). Hence the simplified form is \(\frac{-4x}{x^2-1}\). The domain excludes \(x=1\) and \(x=-1\), where the original functions are undefined. Exam tip: retain the minus sign before the entire second numerator; losing it leads to option B.
\(f(x)=\sqrt{x-1}\) के लिए \(x\ge 1\) आवश्यक है। लेकिन भागफल \(\frac{x-3}{\sqrt{x-1}}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। \(x=1\) पर हर \(0\) हो जाता है, इसलिए \(x>1\) होना चाहिए और प्रांत \((1,\infty)\) है। विकल्प B में \(x=1\) को गलती से शामिल किया गया है। परीक्षा-सुझाव: वर्गमूल और भाजक दोनों की शर्तें साथ-साथ जाँचें। / For \(f(x)=\sqrt{x-1}\), we need \(x\ge 1\). However, in the quotient \(\frac{x-3}{\sqrt{x-1}}\), the denominator must not be zero. At \(x=1\), the denominator is zero, so the actual condition is \(x>1\), giving the domain \((1,\infty)\). Option B incorrectly includes \(x=1\). Exam tip: For a quotient involving a square root, apply both the square-root condition and the non-zero-denominator condition.
(f(1)=-1) और (g(1)=4), इसलिए ((fg)(1)=-4)। उत्पाद फलन में मानों को गुणा करें, सूत्रों को नहीं जोड़ें। / (f(1)=-1) and (g(1)=4), so ((fg)(1)=-4). For a product function, multiply values, do not add formulas.
दोनों फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{x^2+1}(x^2+1)=1\) है। चूँकि \(x^2+1\) कभी शून्य नहीं होता, यह प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और इसका मान हमेशा 1 रहता है। इसलिए परिसर केवल \(\{1\}\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले फलनों का गुणनफल सरल करके स्थिर फलन पहचानें। / The product is \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{x^2+1}(x^2+1)=1\). Since \(x^2+1\) is never zero, the product is defined for every real \(x\), but its value is always 1. Hence, its range is only \(\{1\}\). Exam tip: simplify the product first and check whether it becomes a constant function.
पहले मूल से \(x\ge 0\) और दूसरे से \(x\le 1\) मिलता है। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद ( [0,1] ) है। / The first root gives \(x\ge 0\), and the second gives \(x\le 1\). Their intersection is ( [0,1] ).
((f+g)(x)=x-2+(p+2)x+5) का न्यूनतम (0) होने के लिए विविक्तकर (0) होगा। इसलिए ((p+2)2=20)। / For ((f+g)(x)=x-2+(p+2)x+5) to have minimum (0), its discriminant must be (0). Hence ((p+2)2=20).
(f(x)=x-2) पर (x=-2) हटता है, इसलिए अंतर (0) सभी \(x\ne -2\) पर है। प्रांत प्रतिबंध उत्तर का हिस्सा है। / (f(x)=x-2), but (x=-2) is excluded, so the difference is (0) for all \(x\ne -2\). Domain restriction is part of the answer.
