Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दो फलनों का योग बिंदुवार परिभाषित होता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((f+g)(x)=(x^2-1)+(2x+3)=x^2+2x+2\)। विकल्प B में अचर पदों \(-1\) और \(3\) का योग गलत लेकर \(4\) प्राप्त किया गया है, जबकि विकल्प C \(f-g\) से संबंधित है और विकल्प D \(g(f(x))\) का परिणाम है। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग, अंतर और संयोजन को अलग-अलग पहचानकर ही व्यंजक बनाइए। / The sum of two functions is defined pointwise: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \((f+g)(x)=(x^2-1)+(2x+3)=x^2+2x+2\). In option B, the constant terms \(-1\) and \(3\) have been combined incorrectly to obtain \(4\); option C corresponds to \(f-g\), while option D is the result of \(g(f(x))\). Exam tip: distinguish carefully between function addition, subtraction, and composition.
फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार, ((g-f)(x)=g(x)-f(x))। अतः ((g-f)(x)=x-2+4-(3x-5)=x-2+4-3x+5=x-2-3x+9), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में (-5) को सही ढंग से (+5) नहीं बनाया गया है। परीक्षा में कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न लगाकर पूरे दूसरे फलन के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / By definition, ((g-f)(x)=g(x)-f(x)). Therefore, ((g-f)(x)=x-2+4-(3x-5)=x-2+4-3x+5=x-2-3x+9), so option A is correct. In option C, the constant term is incorrectly treated as (-5) instead of (+5) after subtracting the whole function. Exam tip: when subtracting a function, distribute the negative sign to every term inside the parentheses.
फलनों के गुणनफल के लिए (fg)(x)=f(x)g(x) होता है। इसलिए (fg)(x)=(x+2)(x-3)=x-2-3x+2x-6=x-2-x-6। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में मध्य पद का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: (fg)(x) को f∘g(x) से भ्रमित न करें; गुणनफल में दोनों फलनों के मानों का गुणा किया जाता है। / For the product of two functions, (fg)(x)=f(x)g(x). Thus, (fg)(x)=(x+2)(x-3)=x-2-3x+2x-6=x-2-x-6, so option A is correct. In option B, the sign of the middle term is incorrect. Exam tip: Do not confuse (fg)(x), which denotes multiplication here, with composition f∘g(x).
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\) पर \(x\ne 2\)। सरल करने के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध न भूलें। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\) but \(x\ne 2\). Even after simplifying do not forget the original denominator restriction.
दोनों हर शून्य नहीं हो सकते इसलिए \(x\ne 1\) और \(x\ne -1\)। जोड़ में सामान्य प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है। / Both denominators cannot be zero so \(x\ne 1\) and \(x\ne -1\). For addition the common domain is the intersection of both domains.
वर्गमूल के लिए \(x-2\ge 0\) और \(5-x\ge 0\) चाहिए इसलिए \(2\le x\le 5\)। ऐसे प्रश्नों में दोनों शर्तें साथ लगाएँ। / For square roots we need \(x-2\ge 0\) and \(5-x\ge 0\) so \(2\le x\le 5\). In such questions apply both conditions together.
संयोजित फलन \(f\circ g\)(x) का अर्थ f(g(x)) है। इसलिए f(g(x))=(x-4)2+1=x-2-8x+16+1=x-2-8x+17 । विकल्प B में -4 का वर्ग करने पर बीच का पद गलत धनात्मक लिया गया है, जबकि विकल्प D में स्थिर पद में +1 नहीं जोड़ा गया। परीक्षा-युक्ति: f\circ g में पहले अंदर वाले फलन g को लागू करें। / The composite function \(f\circ g\)(x) means f(g(x)) . Hence, f(g(x))=(x-4)2+1=x-2-8x+16+1=x-2-8x+17 . In option B, the middle term has the wrong sign, while option D omits the added 1 from f(x) . Exam tip: in f\circ g , apply the inner function g first.
संयोजित फलन (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))) होता है। इसलिए (g(f(x))=g(2x+1)=(2x+1)2=4x-2+4x+1)। विकल्प C में मध्य पद (4x) छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: \(g\circ f\) में पहले (f) और उसके बाद (g) लगाया जाता है। / The composition (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))). Hence, (g(f(x))=g(2x+1)=(2x+1)2=4x-2+4x+1). Option C incorrectly omits the middle term (4x). Exam tip: In \(g\circ f\), apply (f) first and then apply (g).
गुणन से ((fg)(x)=1) मिलता है लेकिन मूल हरों से \(x\ne 1,-1\)। सरलीकरण प्रतिबंधों को मिटाता नहीं है। / Multiplication gives ((fg)(x)=1) but original denominators require \(x\ne 1,-1\). Simplification does not remove restrictions.
यदि \(x\ge 0\) तो (|x|-x=0) और यदि (x<0) तो (|x|-x=-x-x=-2x)। मापांक में चिन्ह के अनुसार केस बनाएं। / If \(x\ge 0\) then (|x|-x=0) and if (x<0) then (|x|-x=-x-x=-2x). For modulus use cases according to sign.
