Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सरल रूप \(\frac{x}{x+1}\) है, पर मूल हरों से \(x\ne 1,-1\) रहेगा। कटे हुए गुणनखंड का प्रतिबंध भी याद रखें। / The simplified form is \(\frac{x}{x+1}\), but original denominators keep \(x\ne 1,-1\). Remember restrictions from cancelled factors too.
फलनों का बीजीय संयोजन बिंदुवार किया जाता है: \((f+g-h)(x)=f(x)+g(x)-h(x)=2x+(x+3)-(x-1)\)। कोष्ठक खोलने पर \(2x+x+3-x+1=2x+4\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x\) पदों को गलत ढंग से जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: घटाए जा रहे फलन के प्रत्येक पद का चिह्न बदलना न भूलें। / The algebraic combination of functions is evaluated pointwise: \((f+g-h)(x)=f(x)+g(x)-h(x)=2x+(x+3)-(x-1)\). On removing the brackets, \(2x+x+3-x+1=2x+4\), so option A is correct. Option B results from combining the \(x\)-terms incorrectly. Exam tip: change the sign of every term inside a function that is being subtracted.
समीकरण \(x^2+2=2x^2\) से \(x^2=2\), इसलिए \(x=\pm\sqrt{2}\)। दोनों पक्षों को बराबर रखकर हल करें। / The equation \(x^2+2=2x^2\) gives \(x^2=2\), so \(x=\pm\sqrt{2}\). Equate both expressions and solve.
\(\frac{x^2-1}{x+1}=x-1\), अतः \(x=2\) पर मान (1) नहीं बल्कि \(\frac{3}{3}\) से (1) होता है। सही गणना में \(f(2)=3\) और \(g(2)=3\), इसलिए मान (1) है। / \(\frac{x^2-1}{x+1}=x-1\), so at \(x=2\) the value is (1). Directly, \(f(2)=3\) and \(g(2)=3\), so the value is (1).
दोनों वर्गमूल परिभाषित होने चाहिए, इसलिए \(x\ge -1\) और \(x\ge 3\)। साझा डोमेन \([3,\infty\)) है। / Both square roots must be defined, so \(x\ge -1\) and \(x\ge 3\). The common domain is \([3,\infty\)).
\(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\)। इसलिए \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2\), जहाँ \(x\ne -1\)। विकल्प B केवल \(g(x)\) है, भागफल नहीं। परीक्षा में भाग देने से पहले हर को शून्य करने वाले मान को डोमेन से हटाना याद रखें। / Factor the numerator as \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\). Thus, \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2\), provided \(x\ne -1\). Option B is only \(g(x)\), not the quotient. Exam tip: always exclude values that make the denominator zero, even after cancellation.
फलनों के रैखिक संयोजन के अनुसार \((2f-g)(x)=2f(x)-g(x)\)। इसलिए \(2f(x)=4x^2+2x\) और \((2f-g)(x)=(4x^2+2x)-(x^2-x)=3x^2+3x\)। अतः विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि घटाते समय \(g(x)\) के दोनों पदों के चिह्न बदलते हैं: \(-(x^2-x)=-x^2+x\)। / For a linear combination of functions, \((2f-g)(x)=2f(x)-g(x)\). Thus, \(2f(x)=4x^2+2x\), and \((2f-g)(x)=(4x^2+2x)-(x^2-x)=3x^2+3x\). Therefore, option A is correct. Remember to distribute the minus sign to both terms of \(g(x)\): \(-(x^2-x)=-x^2+x\).
((f+g)(x)=2x) और ((f-g)(x)=4), इसलिए गुणनफल (8x) है। संयुक्त अभिव्यक्ति को चरणों में हल करें। / ((f+g)(x)=2x) and ((f-g)(x)=4), so the product is (8x). Solve combined expressions step by step.
(x-2-4=(x-2)(x+2)), इसलिए \(x\ne 2,-2\)। गुणा के बाद कटाव दिखे तो भी मूल डोमेन न भूलें। / (x-2-4=(x-2)(x+2)), so \(x\ne 2,-2\). Even if cancellation appears after multiplication, do not forget the original domain.
दो फलनों का योग परिभाषित होता है: (f+g)(x)=f(x)+g(x)। इसलिए (f+g)(x)=(x²+1)+2x=x²+2x+1। विकल्प B में जोड़ के स्थान पर घटाव किया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: फलनों के योग में समान x के लिए दोनों फलनों के मान जोड़ें। / The sum of two functions is defined by (f+g)(x)=f(x)+g(x). Hence, (f+g)(x)=(x²+1)+2x=x²+2x+1. Option B is incorrect because it subtracts 2x instead of adding it. Exam tip: For the sum of functions, add their values at the same input x.
