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फैक्टोरियल की परिभाषा से \(8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdots1\) तथा \(6!=6\cdot5\cdots1\) है। इसलिए \(8!=8\cdot7\cdot6!\), अतः विकल्प A सही है। \(8\cdot6!\) में गुणनखंड \(7\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: \(n!\) को \((n-r)!\) के रूप में लिखते समय बीच के सभी गुणनखंडों को शामिल करें। / By the definition of factorial, \(8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdots1\), while \(6!=6\cdot5\cdots1\). Hence, \(8!=8\cdot7\cdot6!\), so option A is correct. In \(8\cdot6!\), the factor \(7\) is missing. Exam tip: When expressing \(n!\) in terms of \((n-r)!\), include every intervening factor.
क्योंकि \(10!=10\cdot9\cdot8!\), इसलिए \(\frac{10!}{8!\cdot2!}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot2}=\frac{90}{2}=45\)। अतः सही उत्तर 45 है। 90 निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन उसमें \(2!\) से भाग देना छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Since \(10!=10\cdot9\cdot8!\), \(\frac{10!}{8!\cdot2!}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot2}=\frac{90}{2}=45\). Hence, 45 is correct. The close distractor 90 results from forgetting to divide by \(2!\). Exam tip: expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors.
क्योंकि \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!}=(n+2)(n+1)\)। अतः विकल्प C सही है। \(n+2\) केवल एक गुणनखंड है; इसमें \((n+1)\) गुणनखंड छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर लिखें, फिर समान पदों को काटें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), we get \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Therefore, option C is correct. \(n+2\) is only one factor and misses the factor \((n+1)\). Exam tip: In a factorial ratio, expand the larger factorial up to the smaller one and then cancel common factors.
\(11!\) में से \(8!\) कट जाता है: \(\frac{11!}{8!\cdot3!}=\frac{11\cdot10\cdot9}{3\cdot2\cdot1}=\frac{990}{6}=165\)। इसलिए सही विकल्प 165 है। \(180\) जैसा उत्तर प्रायः \(3!\) से सही भाग न देने पर आता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Cancel \(8!\) from \(11!\): \(\frac{11!}{8!\cdot3!}=\frac{11\cdot10\cdot9}{3\cdot2\cdot1}=\frac{990}{6}=165\). Hence, 165 is the correct option. An answer such as 180 can result from not dividing correctly by \(3!\). Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors.
क्योंकि \(18!=18\cdot17\cdot16!\), इसलिए \(\frac{18!}{16!\cdot2}=\frac{18\cdot17\cdot16!}{16!\cdot2}=\frac{18\cdot17}{2}=9\cdot17=153\)। अतः सही उत्तर 153 है। 144 केवल \(18\times 16/2\) करने पर आएगा, जिसमें 17 का गुणनखंड छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Since \(18!=18\cdot17\cdot16!\), \(\frac{18!}{16!\cdot2}=\frac{18\cdot17\cdot16!}{16!\cdot2}=\frac{18\cdot17}{2}=9\cdot17=153\). Therefore, the correct answer is 153. The value 144 would result from using \(18\times16/2\), which incorrectly omits the factor 17. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel common factors.
\(6!=720\) तथा \(3!=6\) होता है। इसलिए \(\frac{6!}{3!\cdot3!}=\frac{720}{6\cdot6}=\frac{720}{36}=20\)। विकल्प 15 तब मिलता है जब संयोजन के सूत्र में गलत पदों का प्रयोग किया जाए। परीक्षा टिप: पहले फैक्टोरियल के मान लिखें, फिर हर के गुणनफल से भाग दें। / \(6!=720\) and \(3!=6\). Therefore, \(\frac{6!}{3!\cdot3!}=\frac{720}{6\cdot6}=\frac{720}{36}=20\). The value 15 can result from using incorrect terms in a combination formula. Exam tip: evaluate the factorials first, then divide by the product in the denominator.
\(3!=6\), \(2!=2\) और \(1!=1\)। अतः अंश \(6+2+1=9\) है। साथ ही \(0!=1\), इसलिए \(\frac{9}{1}=9\)। विकल्प 8 तब मिल सकता है जब \(1!\) को गलती से 0 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: \(0!=1\) और \(1!=1\) दोनों को हमेशा याद रखें। / \(3!=6\), \(2!=2\), and \(1!=1\). Therefore, the numerator is \(6+2+1=9\). Also, \(0!=1\), so \(\frac{9}{1}=9\). Option 8 may result from incorrectly taking \(1!\) as 0. Exam tip: Always remember that both \(0!\) and \(1!\) are equal to 1.
\((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) का उपयोग करें। अतः अंश \((n+3)(n+2)!-(n+2)!=[(n+3)-1](n+2)!=(n+2)(n+2)!\) होगा। अब \((n+2)!\) से भाग देने पर परिणाम \(n+2\) मिलता है। \(n+3\) चुनना गलत है, क्योंकि दूसरे पद \((n+2)!\) को घटाने पर गुणांक में 1 कम हो जाता है। परीक्षा टिप: अलग-अलग फैक्टोरियल वाले पदों में छोटे फैक्टोरियल को common लें। / Use \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\). The numerator becomes \((n+3)(n+2)!-(n+2)!=[(n+3)-1](n+2)!=(n+2)(n+2)!\). Dividing by \((n+2)!\) gives \(n+2\). Choosing \(n+3\) would ignore the subtraction of the second factorial term. Exam tip: when factorial terms differ by one factor, factor out the smaller factorial.
क्योंकि \(5040=7!\), अतः \(a=7\)। इसलिए \((a-4)!=(7-4)!=3!=6\)। विकल्प 24, अर्थात \(4!\), तब मिलता यदि \((a-4)!\) में \(a-4\) को गलती से 4 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले दिए गए फैक्टोरियल से चर का मान ज्ञात करें, फिर शेष व्यंजक में उसे प्रतिस्थापित करें। / Since \(5040=7!\), we get \(a=7\). Therefore, \((a-4)!=(7-4)!=3!=6\). The option 24, which is \(4!\), may result from incorrectly taking \(a-4\) as 4. Exam tip: first determine the variable from the given factorial, then substitute it into the required expression.
क्योंकि \((n+1)!=(n+1)\,n\,(n-1)(n-2)!\), इसलिए \((n-2)!\) से भाग देने पर \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\) प्राप्त होता है। विकल्प A में \((n-1)\) गुणनखंड छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में अंश को हर के फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पद काटें। / Since \((n+1)!=(n+1)\,n\,(n-1)(n-2)!\), dividing by \((n-2)!\) gives \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\). Option A misses the factor \((n-1)\). Exam tip: In factorial division, expand the numerator only up to the factorial in the denominator and then cancel common factors.
\(7!=7\cdot6\cdot5\cdot4!\) लिखने पर \(\frac{7!}{4!}=\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!}=7\cdot6\cdot5\) मिलता है। विकल्प B में \(4\) अतिरिक्त है, क्योंकि \(4!\) हर में कट चुका है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!}\) में, जब \(n>r\), तब \(n\) से \(r+1\) तक के गुणनखंड लिखें। / Write \(7!=7\cdot6\cdot5\cdot4!\). Therefore, \(\frac{7!}{4!}=\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!}=7\cdot6\cdot5\). Option B incorrectly includes an extra \(4\), since \(4!\) has already been cancelled from the denominator. Exam tip: for \(\frac{n!}{r!}\), where \(n>r\), write the factors from \(n\) down to \(r+1\).
\(n!\) को काटने पर \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) मिलता है। अतः \((n+2)(n+1)=56\)। 56 के क्रमागत गुणनखंड \(7\) और \(8\) हैं, इसलिए \(n+1=7\) तथा \(n=6\)। \(n=-9\) बीजीय मूल हो सकता है, लेकिन ऋणात्मक पूर्णांक के लिए फैक्टोरियल परिभाषित नहीं होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भिन्न में पहले छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके उसे काटें। / Cancelling \(n!\) gives \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Hence, \((n+2)(n+1)=56\). The consecutive factors of 56 are \(7\) and \(8\), so \(n+1=7\) and \(n=6\). Although \(n=-9\) is an algebraic root, factorials are not defined for negative integers. Exam tip: In such factorial fractions, expand up to the smaller factorial and cancel first.
क्योंकि \((n+1)!=(n+1)\,n\,(n-1)!\), अतः \((n-1)!\) से भाग देने पर \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\) मिलता है। विकल्प D में \(n\) गुणनखंड छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान गुणनखंड काटें। / Since \((n+1)!=(n+1)\,n\,(n-1)!\), dividing by \((n-1)!\) gives \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\). In option D, the factor \(n\) is missing. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial up to the smaller factorial and then cancel common factors.
\(3!=3\times2\times1=6\) तथा \(4!=4\times3\times2\times1=24\)। अतः \(3!\cdot4!=6\times24=144\)। 120, \(5!\) का मान है, इसलिए वह इस गुणनफल के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालकर फिर गुणा करें। / \(3!=3\times2\times1=6\) and \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Therefore, \(3!\cdot4!=6\times24=144\). Note that 120 is the value of \(5!\), so it is not the required product. Exam tip: evaluate each factorial first, then multiply the results.
\(8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5!\) और \(3!=6\) होता है। अतः \(\frac{8!}{5!\cdot3!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot6}=8\cdot7=56\)। इसलिए सही उत्तर 56 है। 48 प्राप्त करना सामान्यतः \(3!\) से सही ढंग से भाग न देने के कारण होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल को काटकर शेष गुणनफल लिखें। / Since \(8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5!\) and \(3!=6\), \(\frac{8!}{5!\cdot3!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot6}=8\cdot7=56\). Therefore, 56 is correct. The value 48 can result from not dividing correctly by \(3!\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial first and then multiply the remaining factors.
क्योंकि 120 = 5!, इसलिए n = 5 होगा। अतः (n-2)! = (5-2)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6। विकल्प 24, 4! का मान है; यह तब मिलता जब n-1! पूछा जाता। परीक्षा टिप: पहले दिए गए फैक्टोरियल से n ज्ञात करें, फिर मांगी गई फैक्टोरियल अभिव्यक्ति में उसका मान रखें। / Since 120 = 5!, we get n = 5. Therefore, (n-2)! = (5-2)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6. The value 24 is 4!, which would arise if (n-1)! were asked. Exam tip: First identify n from the given factorial, then substitute it into the required factorial expression.
\(7!=7\times6\times5\times4!\) है। अतः \(\frac{7!}{3!\cdot4!}=\frac{7\times6\times5}{3!}=\frac{7\times6\times5}{6}=35\)। इसलिए सही विकल्प 35 है। 42 प्राप्त करना एक सामान्य गलती है, जो \(3!=6\) से सही भाग न देने पर हो सकती है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर शेष गुणन करें। / Since \(7!=7\times6\times5\times4!\), \(\frac{7!}{3!\cdot4!}=\frac{7\times6\times5}{3!}=\frac{7\times6\times5}{6}=35\). Therefore, 35 is the correct option. Getting 42 is a common error caused by not dividing correctly by \(3!=6\). Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms first and then multiply the remaining factors.
यहाँ \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) तथा \(2!=2\) है। अतः \(\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60\)। साथ ही \(1!=1\), इसलिए \(\frac{5!}{2!}+1!=60+1=61\)। विकल्प 60 में \(1!\) को जोड़ना छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालकर फिर संक्रियाएँ करें। / Here, \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) and \(2!=2\). Therefore, \(\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60\). Also, \(1!=1\), so \(\frac{5!}{2!}+1!=60+1=61\). Option 60 results from forgetting to add \(1!\). Exam tip: Evaluate each factorial first, then perform the remaining operations.
फैक्टोरियल के अनुसार \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\)। अतः \(n!\) से भाग देने पर \(n!\) कट जाता है और \((n+3)(n+2)(n+1)\) प्राप्त होता है। विकल्प A में \((n+1)\) गुणनखंड छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में ऊपर वाले फैक्टोरियल को नीचे वाले फैक्टोरियल तक लिखकर समान पदों को काटें। / Using factorial notation, \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\). Dividing by \(n!\) cancels \(n!\), leaving \((n+3)(n+2)(n+1)\). Option A misses the factor \((n+1)\). Exam tip: In a factorial quotient, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and then cancel common factors.
क्योंकि \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), इसलिए अंश \((n+2)(n+1)!+(n+1)!\) होगा। \((n+1)!\) को उभयनिष्ठ लेने पर यह \([(n+2)+1](n+1)!=(n+3)(n+1)!\) बनता है। अब \((n+1)!\) से भाग देने पर उत्तर \(n+3\) मिलता है। \(n+2\) विकल्प में दूसरे पद \((n+1)!\) का योगदान छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), the numerator becomes \((n+2)(n+1)!+(n+1)!\). Taking \((n+1)!\) common gives \([(n+2)+1](n+1)!=(n+3)(n+1)!\). Dividing by \((n+1)!\) gives \(n+3\). Option \(n+2\) misses the contribution of the second term, \((n+1)!\). Exam tip: in factorial expressions, factor out the smaller factorial first.
यहाँ दिए गए व्यंजक में आशय \(r! = 24\) है। क्योंकि \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\), अतः \(r=4\)। इसलिए \((r+1)! = 5! = 5 \times 4! = 5 \times 24 = 120\)। \(720\), \(6!\) का मान है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \((n+1)!=(n+1)\,n!\) का उपयोग करके ऐसे प्रश्न जल्दी हल करें। / The intended meaning of the given expression is \(r! = 24\). Since \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\), we get \(r=4\). Therefore, \((r+1)! = 5! = 5 \times 4! = 5 \times 24 = 120\). The value \(720\) is \(6!\), so it is not correct. Exam tip: Use \((n+1)!=(n+1)\,n!\) to solve such questions quickly.
फैक्टोरियल के गुण के अनुसार \((n+1)!=(n+1)\times n!\)। अतः अंश और हर समान हैं, इसलिए \(\frac{(n+1)!}{(n+1)n!}=1\)। \(n+1\) उत्तर नहीं है, क्योंकि वह विस्तार करने पर अंश का केवल एक गुणनखंड है; \(n!\) भी हर में उपस्थित है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाली भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को \(n!\) के रूप में विस्तार करके काटें। / Using the factorial identity, \((n+1)!=(n+1)\times n!\). Therefore, the numerator and denominator are equal, so \(\frac{(n+1)!}{(n+1)n!}=1\). \(n+1\) is not the answer because it is only one factor in the expanded numerator; \(n!\) is also present in the denominator. Exam tip: In factorial fractions, first expand the larger factorial in terms of the smaller one and then cancel common factors.
