Practice focused topic-wise MCQs with answers and explanations for quick revision and exam preparation.
Difficulty select karke sirf is topic ke focused MCQs practice karein. Score, timer aur explanations student-friendly flow me milenge.
Showing 551-560 of 609 questions.
The simplified value of \(^{15}C_{7}+^{15}C_{8}\) is equal to what?
D. \(2,^{15}C_{7}\)
क्योंकि \(^{15}C_{8}=^{15}C_{7}\), योग \(2,^{15}C_{7}\) है। पास्कल से यह \(^{16}C_{8}\) भी है। / Since \(^{15}C_{8}=^{15}C_{7}\), the sum is \(2,^{15}C_{7}\). By Pascal's rule it is also \(^{16}C_{8}\).
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How many total ways are there to choose (3) or (4) objects from (10) distinct objects?
A. 330
3 वस्तुएँ चुनने के तरीके \(\binom{10}{3}=120\) हैं और 4 वस्तुएँ चुनने के तरीके \(\binom{10}{4}=210\) हैं। कोई चयन एक साथ 3 और 4 वस्तुओं का नहीं हो सकता, इसलिए दोनों स्थितियाँ परस्पर अपवर्जी हैं और उनके तरीके जोड़े जाते हैं: \(120+210=330\)। अतः सही उत्तर 330 है। 340 जैसी संख्या तब नहीं मिलेगी क्योंकि संयोजन-संख्याओं का योग ठीक 330 है। परीक्षा टिप: “या” वाली परस्पर अपवर्जी चयन-स्थितियों में अलग-अलग मामलों के तरीकों को जोड़ें। / The number of ways to choose 3 objects is \(\binom{10}{3}=120\), and the number of ways to choose 4 objects is \(\binom{10}{4}=210\). A selection cannot contain both exactly 3 and exactly 4 objects, so these cases are mutually exclusive and their counts are added: \(120+210=330\). Therefore, the correct answer is 330. A value such as 340 is incorrect because the required combination counts add exactly to 330. Exam tip: For mutually exclusive cases joined by “or,” add the number of ways in the separate cases.
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A. 792
जिस निश्चित छात्र को नहीं चुनना है, उसे पहले ही समूह से हटा दें। तब शेष 12 छात्रों में से 5 छात्रों का चयन करना है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{12}{5}=792\) है। विकल्प 924, \(\binom{12}{6}\) के बराबर है, इसलिए यहाँ लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: “न चुना जाए” वाली शर्त में उस व्यक्ति को हटाकर शेष समूह पर संयोजन लगाएँ। / Exclude the fixed student first. We then select 5 students from the remaining 12, so the number of selections is \(\binom{12}{5}=792\). Option 924 equals \(\binom{12}{6}\), so it does not apply here. Exam tip: for a person who must not be selected, remove that person and form the combination from the remaining group.
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C. (455)
कुल \(^{12}C_{4}=495\) से सभी लाल \(^{5}C_{4}=5\) और सभी काली \(^{7}C_{4}=35\) हटाएं। उत्तर (455)। / Subtract all-red \(^{5}C_{4}=5\) and all-black \(^{7}C_{4}=35\) from total \(^{12}C_{4}=495\). Answer (455).
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Choose (4) digits from \(1,2,\ldots,9\) such that their sum is even. How many selections are there?
C. (64)
सम योग के लिए विषम अंकों की संख्या (0,2,4) होनी चाहिए। गणना \(^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}=66\) है। / For an even sum, the number of odd digits must be (0,2,4). Count \(^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}=66\).
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Choose (3) numbers from (1) to (12) such that their sum is odd. How many selections are possible?
B. (110)
(6) विषम और (6) सम संख्याएं हैं। विषम योग के लिए (1) या (3) विषम चुनें, संख्या \(^{6}C_{1}{}^{6}C_{2}+^{6}C_{3}=110\)। / There are (6) odd and (6) even numbers. For odd sum choose (1) or (3) odd numbers, giving \(^{6}C_{1}{}^{6}C_{2}+^{6}C_{3}=110\).
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C. (55)
कुल \(^{11}C_{2}=55\) से केवल वृत्त \(^{5}C_{2}=10\) घटाने चाहिए। सही संख्या (45) है। / Subtract circle-only selections \(^{5}C_{2}=10\) from total \(^{11}C_{2}=55\). The correct count is (45).
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A. (126)
विशेष खिलाड़ियों की संख्या (0,1,2) हो सकती है, पर (7) अन्य ही हैं। योग \(^{4}C_{0}{}^{7}C_{7}+^{4}C_{1}{}^{7}C_{6}+^{4}C_{2}{}^{7}C_{5}=155\) है। / The number of special players can be (0,1,2), with (7) ordinary players available. Sum \(^{4}C_{0}{}^{7}C_{7}+^{4}C_{1}{}^{7}C_{6}+^{4}C_{2}{}^{7}C_{5}=155\).
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If \(^{n}C_{r}=^{n}C_{r+1}\), what is the relation between (n) and (r)?
B. \(n=2r+1\)
दिया है \(^{n}C_r=^{n}C_{r+1}\)। क्रमागत संयोजनों का अनुपात लें: \(\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_r}=\frac{n-r}{r+1}\)। समानता के लिए यह अनुपात 1 होगा, अतः \(n-r=r+1\), इसलिए \(n=2r+1\)। विकल्प \(n=2r\) में सामान्यतः दो क्रमागत संयोजन बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) सममिति का उपयोग करके भी सीधे \(r+1=n-r\) लिखा जा सकता है। / Given \(^{n}C_r=^{n}C_{r+1}\). Using the ratio of consecutive combinations, \(\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_r}=\frac{n-r}{r+1}\). For the two combinations to be equal, this ratio must be 1. Hence \(n-r=r+1\), so \(n=2r+1\). The relation \(n=2r\) does not generally make two consecutive combinations equal. Exam tip: use the symmetry \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) to write \(r+1=n-r\) directly.
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If \(^{n}C_{2}=105\), what is the value of \(^{n}C_{3}\)?
C. 455
दिया है कि \(^{n}C_2=105\)। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=105\), इसलिए \(n(n-1)=210\) और \(n=15\) मिलता है। अब \(^{15}C_3=\frac{15\times14\times13}{3\times2\times1}=455\)। इसलिए सही उत्तर 455 है। 364, \(^{14}C_3\) का मान है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पहले \(^{n}C_2\) से \(n\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक संयोजन निकालें। / Given \(^{n}C_2=105\), we have \(\frac{n(n-1)}{2}=105\). Thus, \(n(n-1)=210\), which gives \(n=15\). Therefore, \(^{15}C_3=\frac{15\times14\times13}{3\times2\times1}=455\). Hence, 455 is correct. The nearby distractor 364 is \(^{14}C_3\), not \(^{15}C_3\). Exam tip: first determine \(n\) from \(^{n}C_2\), then calculate the required combination.
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