Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(-3) से भाग देने पर दोनों असमानता चिन्ह पलटते हैं और \(-2<x\le 4\) मिलता है। परीक्षा में negative division के बाद क्रम को सही रखें। / Dividing by (-3) reverses both inequality signs and gives \(-2<x\le 4\). In exams keep the order correct after negative division.
अंतराल [-2,5) में -2 शामिल है, इसलिए उसके साथ \leq होगा। 5 के बाद गोल कोष्ठक है, इसलिए 5 शामिल नहीं है और वहाँ < होगा। अतः सही असमता \(-2 \le x < 5\) है। विकल्प D में 5 को शामिल कर लिया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग कोष्ठक का अर्थ शामिल और गोल कोष्ठक का अर्थ शामिल नहीं होता है। / In the interval [-2,5), -2 is included, so the inequality uses \leq at the left endpoint. The round bracket after 5 means that 5 is excluded, so the right side uses <. Therefore, the correct inequality is \(-2 \le x < 5\). Option D is incorrect because it includes 5. Exam tip: a square bracket includes the endpoint, while a round bracket excludes it.
विकल्प A में \(3x-6\leq 0\) से \(3x\leq 6\), अतः \(x\leq 2\) प्राप्त होता है। इसलिए हल समुच्चय \((- infty,2]\) है; \(2\) शामिल है क्योंकि असमता में बराबरी का चिन्ह है। विकल्प B से \(x<2\) मिलता है, इसलिए उसका दायाँ सिरा खुला होगा। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) या \(\geq\) होने पर संबंधित सीमा-बिंदु शामिल होता है। / For option A, \(3x-6\leq 0\) gives \(3x\leq 6\), and hence \(x\leq 2\). Therefore, the solution set is \((- infty,2]\), with \(2\) included because the inequality contains equality. Option B gives \(x<2\), so its right endpoint would be open. Exam tip: an inequality containing \(\leq\) or \(\geq\) includes the corresponding boundary point.
अंतराल \((- infty,-6]\) में -6 के बाद का कोष्ठक बंद है, इसलिए -6 इसमें शामिल है। अंतराल -6 से छोटे सभी वास्तविक मानों को भी शामिल करता है; अतः असमता \(x\leq -6\) होगी। विकल्प A में -6 शामिल नहीं है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: बंद कोष्ठक का अर्थ संबंधित सिरा शामिल और खुला कोष्ठक का अर्थ सिरा बाहर होता है। / In the interval \((- infty,-6]\), the closing bracket at -6 means that -6 is included. The interval also contains every real number less than -6, so the inequality is \(x\leq -6\). Option A is incorrect because \(x<-6\) excludes -6. Exam tip: a square bracket includes the endpoint, while a round bracket excludes it; infinity is never included.
खुले अंतराल \((2,7)\) में 2 और 7 दोनों अंतिम बिंदु शामिल नहीं होते, इसलिए \(2<x<7\) सही है। विकल्प A में दोनों सिरे, C में 2 और D में 7 शामिल है। परीक्षा में याद रखें: कोष्ठक \(()\) का अर्थ है कि संबंधित अंतिम बिंदु शामिल नहीं है। / In the open interval \((2,7)\), neither endpoint 2 nor endpoint 7 is included, so \(2<x<7\) is correct. Option A includes both endpoints, option C includes 2, and option D includes 7. Exam tip: round brackets indicate that the corresponding endpoint is excluded.
A. \(\left(-\infty,-4\right]\cup\left(1,\infty\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(x\leq -4\) का अंतराल \(\left(-\infty,-4\right]\) है, क्योंकि \(-4\) शामिल है। \(x>1\) का अंतराल \(\left(1,\infty\right)\) है, क्योंकि \(1\) शामिल नहीं है। ‘या’ दोनों अंतरालों का संघ दर्शाता है, इसलिए सही उत्तर \(\left(-\infty,-4\right]\cup\left(1,\infty\right)\) है। विकल्प B में दोनों सिरों की समावेशन स्थिति गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) या \(\geq\) के लिए वर्ग कोष्ठक और \(<\) या \(>\) के लिए गोल कोष्ठक लगाएँ। / The interval for \(x\leq -4\) is \(\left(-\infty,-4\right]\) because \(-4\) is included. The interval for \(x>1\) is \(\left(1,\infty\right)\) because \(1\) is excluded. The word “or” means the union of these two intervals, giving \(\left(-\infty,-4\right]\cup\left(1,\infty\right)\). Option B reverses the inclusion status of both finite endpoints. Exam tip: use square brackets for \(\leq\) or \(\geq\), and parentheses for strict inequalities.
अंतराल \([0,6)\) में 0 शामिल है क्योंकि 0 के पास वर्ग कोष्ठक है, जबकि 6 शामिल नहीं है क्योंकि 6 के पास गोल कोष्ठक है। 5 और \(\frac{1}{2}\), दोनों 0 और 6 के बीच हैं, इसलिए शामिल हैं। परीक्षा में याद रखें: वर्ग कोष्ठक का अर्थ शामिल और गोल कोष्ठक का अर्थ शामिल नहीं होता है। / In the interval \([0,6)\), 0 is included because it has a square bracket, whereas 6 is excluded because it has a round bracket. Both 5 and \(\frac{1}{2}\) lie between 0 and 6, so they are included. Exam tip: a square bracket means included, while a round bracket means excluded.
A. ( -3) पर बंद बिंदु बाईं ओर और (1) पर खुला बिंदु दाईं ओर/Closed dot at (-3) shaded left and open dot at (1) shaded right
Explanation
Simple Explanation
\(x\le -3\) में (-3) शामिल है और (x>1) में (1) शामिल नहीं है। परीक्षा में \(\le\) के लिए बंद और (>) के लिए खुला बिंदु याद रखें। / \(x\le -3\) includes (-3), while (x>1) does not include (1). In exams, remember closed dot for \(\le\) and open dot for (>).
गोल कोष्ठक खुला endpoint और वर्ग कोष्ठक बंद endpoint बताता है। परीक्षा में interval notation को inequality में बदलते समय यही नियम लगाएँ। / A round bracket means open endpoint and a square bracket means closed endpoint. In exams, use this rule while converting interval notation to inequality.
A. \(x\ge 5\) यानी (5) से दाईं ओर बंद बिंदु/\(x\ge 5\), closed dot at (5) shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल \(2x\ge 10\) से \(x\ge 5\) मिलता है। परीक्षा में पहले हल करें फिर दिशा और endpoint लगाएँ। / Solving gives \(2x\ge 10\), so \(x\ge 5\). In exams, solve first and then mark direction and endpoint.
