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A. (R) तुल्य संबंध है/(R) is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि (a-a=0), सममिति और संक्रमणीयता सभी पूरी होती हैं। परीक्षा में भाग्यता वाले संबंधों में तीनों गुण जरूर जांचें। / Since (a-a=0), symmetry and transitivity also hold. In exams, always test all three properties for divisibility relations.
(b=1,2,3) पर क्रमशः (a=5,3,1) मिलता है, इसलिए (3) युग्म हैं। ऐसी गिनती में हर संभव (b) रखकर (a) को समुच्चय में जांचें। / For (b=1,2,3), we get (a=5,3,1), so there are (3) pairs. In such counting, substitute each possible (b) and check whether (a) belongs to the set.
क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं लेकिन ((1,3)) नहीं है। संक्रमणीयता में ऐसे युग्म तुरंत खोजें। / Because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent. For transitivity, quickly search such chained pairs.
(1) और (6) का शेषफल (5) से भाग देने पर समान है। इसलिए ([1]={1,6}) है। / (1) and (6) have the same remainder when divided by (5). Therefore ([1]={1,6}).
कुल संबंधों की संख्या \(2^{n^2}\) होती है। यहां (n=5) इसलिए उत्तर \(2^{25}\) है। / The number of relations is \(2^{n^2}\). Here (n=5), so the answer is \(2^{25}\).
स्वतुल्य संबंध में (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। शेष (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / A reflexive relation must contain (4) diagonal pairs. The remaining (16-4=12) pairs are optional, so the count is \(2^{12}\).
A. स्वतुल्य और संक्रमणीय लेकिन सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(a\le a\) और \(a\le b,\ b\le c\) से \(a\le c\) मिलता है। पर ((1,2)) होने पर ((2,1)) नहीं होता। / Because \(a\le a\), and \(a\le b,\ b\le c\) implies \(a\le c\). But ((1,2)) does not force ((2,1)).
विकर्ण के (3) युग्म और अविकर्ण युग्मों के (3) जोड़े स्वतंत्र हैं। इसलिए कुल संख्या \(2^{3+3}=2^6\) है। / There are (3) diagonal pairs and (3) unordered off-diagonal pairs. Hence the total count is \(2^{3+3}=2^6\).
मापांक (3) के अनुसार शेषफल (0,1,2) होते हैं। इसलिए (3) तुल्यता वर्ग बनते हैं। / Modulo (3) gives the remainders (0,1,2). Hence (3) equivalence classes are formed.
यह समान सम-विषम प्रकृति को जोड़ता है, इसलिए स्वतुल्य, सममित और संक्रमणीय है। ऐसे प्रश्नों में शेषफल की सोच बहुत उपयोगी होती है। / It relates integers of the same parity, so it is reflexive, symmetric, and transitive. Thinking in remainders is very useful here.
A. स्वतुल्य और संक्रमणीय लेकिन सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Explanation
Simple Explanation
हर (a) अपने को भाग देता है और भाग्यता संक्रमणीय होती है। पर \(1\mid 2\) है लेकिन \(2\mid 1\) नहीं है। / Every (a) divides itself and divisibility is transitive. But \(1\mid 2\) while \(2\nmid 1\).
A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
यदि (a+b=5) है तो (b+a=5) भी है, इसलिए सममित है। लेकिन ((1,1)) नहीं है, इसलिए स्वतुल्य नहीं है। / If (a+b=5), then (b+a=5), so it is symmetric. But ((1,1)) is absent, so it is not reflexive.
A. यह सममित और संक्रमणीय है लेकिन स्वतुल्य नहीं/It is symmetric and transitive but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
रिक्त संबंध में सममिति और संक्रमणीयता रिक्त रूप से सत्य होती हैं। लेकिन ((a,a)) युग्म नहीं हैं, इसलिए स्वतुल्यता नहीं है। / Symmetry and transitivity are vacuously true for the empty relation. But diagonal pairs ((a,a)) are missing, so it is not reflexive.
A. यह तुल्य संबंध है/It is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक संबंध में सभी संभव युग्म होते हैं। इसलिए स्वतुल्यता, सममिति और संक्रमणीयता तीनों पूरी होती हैं। / The universal relation contains all possible ordered pairs. Hence reflexivity, symmetry, and transitivity all hold.
क्योंकि (|a-b|=|b-a|), इसलिए संबंध सममित है। पर ((a,a)) नहीं होते, इसलिए यह तुल्य संबंध नहीं है। / Since (|a-b|=|b-a|), the relation is symmetric. But ((a,a)) is absent, so it is not an equivalence relation.
विकर्ण के (3) युग्म अनिवार्य हैं। अविकर्ण के (3) जोड़े स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^3\) है। / The (3) diagonal pairs are compulsory. The (3) off-diagonal unordered pairs are optional, so the count is \(2^3\).
(a+a=2a) हमेशा सम होता है, इसलिए ((a,a)) संबंध में नहीं है। संबंध सममित है, पर स्वतुल्य नहीं है। / (a+a=2a) is always even, so ((a,a)) is not in the relation. The relation is symmetric but not reflexive.
सभी विकर्ण युग्म हैं, उल्टे युग्म भी हैं और ((1,3),(3,1)) से जरूरी विकर्ण युग्म मौजूद हैं। इसलिए यह तुल्य संबंध है। / All diagonal pairs are present, reverse pairs are present, and the needed diagonal pairs from ((1,3),(3,1)) are present. So it is an equivalence relation.
यदि \(2\mid 6\) और \(6\mid 12\), तो \(2\mid 12\) होता है। संक्रमणीयता में पहला और अंतिम पद जोड़ें। / If \(2\mid 6\) and \(6\mid 12\), then \(2\mid 12\). In transitivity, connect the first and last elements.
A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि (a+b=b+a), संबंध सममित है। पर ((4,4)) नहीं है क्योंकि \(8\le 6\) असत्य है। / Because (a+b=b+a), the relation is symmetric. But ((4,4)) is absent since \(8\le 6\) is false.
इस समुच्चय में \(a^2=b^2\) से (a=b) मिलता है। समानता पर आधारित संबंध तुल्य संबंध होता है। / In this set, \(a^2=b^2\) implies (a=b). A relation based on equality is an equivalence relation.
((-2)2=22), इसलिए (-2) और (2) एक ही वर्ग में हैं। वर्ग बनाते समय समान मान देने वाले अवयव चुनें। / Since ((-2)2=22), (-2) and (2) are in the same class. While forming a class, choose elements giving the same value.
A. स्वतुल्य और सममित लेकिन संक्रमणीय नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
(|a-a|=0) और (|a-b|=|b-a|), इसलिए स्वतुल्य और सममित है। लेकिन ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है। / Since (|a-a|=0) and (|a-b|=|b-a|), it is reflexive and symmetric. But ((1,2)) and ((2,3)) are present while ((1,3)) is absent.
A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं और संक्रमणीय नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Explanation
Simple Explanation
\(a\ne b\) से \(b\ne a\) मिलता है, इसलिए सममित है। पर ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है। / From \(a\ne b\), we get \(b\ne a\), so it is symmetric. But ((1,2)) and ((2,1)) would need ((1,1)), which is absent.
(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), इसलिए संबंध सममित है। लेकिन सभी ((a,a)) शामिल नहीं हैं क्योंकि (\gcd(2,2)=2)। / Since (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), the relation is symmetric. But all ((a,a)) are not included because (\gcd(2,2)=2).
स्वतुल्यता के लिए (3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं और ((1,2)) निषिद्ध है। बचे (9-3-1=5) युग्म स्वतंत्र हैं। / For reflexivity, (3) diagonal pairs are compulsory and ((1,2)) is forbidden. The remaining (9-3-1=5) pairs are optional.
सममित संबंध में हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होता है। इसलिए \(R^{-1}=R\) होता है। / In a symmetric relation, every ((a,b)) comes with ((b,a)). Hence \(R^{-1}=R\).
युग्म ((2,4),(3,3),(4,2)) मिलते हैं। क्रमित युग्मों की गिनती में दिशा का ध्यान रखें। / The pairs are ((2,4),(3,3),(4,2)). While counting ordered pairs, keep the order in mind.
सही युग्म ((3,5),(4,4),(4,5),(5,3),(5,4),(5,5)) हैं। शर्त वाली गिनती में प्रत्येक (a) के लिए संभव (b) गिनें। / The valid pairs are ((3,5),(4,4),(4,5),(5,3),(5,4),(5,5)). For conditional counting, count possible (b) for each (a).
(1) और (2) आपस में संबंधित हैं, जबकि (3) केवल स्वयं से संबंधित है। इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) हैं। / (1) and (2) are related to each other, while (3) is related only to itself. Hence the classes are ({1,2}) and ({3}).
विभाजन में उपसमुच्चय अरिक्त, परस्पर असंयुक्त और पूरा समुच्चय बनाते हैं। केवल ({{1,3},{2}}) ये शर्तें पूरी करता है। / In a partition, subsets are non-empty, disjoint, and cover the whole set. Only ({{1,3},{2}}) satisfies these conditions.
प्रत्येक वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म आते हैं। संख्या \(2^2+2^2=8\) है। / All ordered pairs within each class are included. The number is \(2^2+2^2=8\).
A. यह तुल्य संबंध है/It is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
यह समान सम-विषम वर्गों को जोड़ता है। इसलिए स्वतुल्य, सममित और संक्रमणीय है। / It connects numbers of the same parity. Hence it is reflexive, symmetric, and transitive.
A. \(R\cap S\) स्वतुल्य है/\(R\cap S\) is reflexive
Explanation
Simple Explanation
दोनों में हर ((a,a)) मौजूद है, इसलिए प्रतिच्छेद में भी हर ((a,a)) रहेगा। स्वतुल्यता प्रतिच्छेद में सुरक्षित रहती है। / Every ((a,a)) is present in both, so every ((a,a)) remains in the intersection. Reflexivity is preserved under intersection.
किसी भी युग्म के साथ उसका उल्टा उसी संबंध में होगा, इसलिए संघ में भी होगा। सममिति संघ में सुरक्षित रहती है। / The reverse of every pair is present in the same relation, so it is also present in the union. Symmetry is preserved under union.
उदाहरण में \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों संक्रमणीय हैं, पर संघ में ((1,3)) नहीं है। इसलिए संघ हमेशा संक्रमणीय नहीं होता। / For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are transitive, but their union lacks ((1,3)). Hence the union is not always transitive.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) जरूरी है। बाकी विकर्ण युग्म पहले से मौजूद हैं। / From ((1,2)) and ((2,3)), the pair ((1,3)) is required. The needed diagonal pairs are already present.
A. स्वतुल्य और संक्रमणीय लेकिन सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Explanation
Simple Explanation
\(a\ge a\) और \(a\ge b,\ b\ge c\) से \(a\ge c\) मिलता है। पर ((2,1)) से ((1,2)) नहीं मिलता। / \(a\ge a\), and \(a\ge b,\ b\ge c\) implies \(a\ge c\). But ((2,1)) does not imply ((1,2)).
A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
(ab=ba), इसलिए सममित है। लेकिन ((1,1)) शामिल नहीं है क्योंकि \(1\cdot1\) सम नहीं है। / Since (ab=ba), it is symmetric. But ((1,1)) is not included because \(1\cdot1\) is not even.
(\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)), इसलिए संबंध सममित है। सभी विकर्ण युग्म नहीं आते, जैसे (\operatorname{lcm}(2,2)=2)। / Since (\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)), the relation is symmetric. Not all diagonal pairs occur, for example (\operatorname{lcm}(2,2)=2).
A. सममित लेकिन स्वतुल्य नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
योग क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममित है। पर ((4,4)) नहीं है क्योंकि (8) अभाज्य नहीं है। / The sum does not change when order changes, so it is symmetric. But ((4,4)) is absent because (8) is not prime.
((1,2)) और ((2,4)) हैं लेकिन ((1,4)) नहीं है। इसलिए संक्रमणीयता असफल है। / ((1,2)) and ((2,4)) are present, but ((1,4)) is absent. Hence transitivity fails.
A. स्वतुल्य और सममित लेकिन संक्रमणीय नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
(a=b) से स्वतुल्यता और (a+b=5) से सममिति मिलती है। पर ((1,4)) और ((4,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो नहीं है। / The condition (a=b) gives reflexivity and (a+b=5) gives symmetry. But ((1,4)) and ((4,2)) would require ((1,2)), which is absent.
A. यह तुल्य संबंध है/It is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
सभी विकर्ण युग्म हैं और ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है। संक्रमणीयता के लिए बने सभी आवश्यक युग्म भी मौजूद हैं। / All diagonal pairs are present and ((2,1)) accompanies ((1,2)). All pairs needed for transitivity are also present.
A. वे (A) का विभाजन बनाते हैं/They form a partition of (A)
Explanation
Simple Explanation
तुल्यता वर्ग अरिक्त, परस्पर असंयुक्त और पूरे (A) को ढकते हैं। यही विभाजन की परिभाषा है। / Equivalence classes are non-empty, disjoint, and cover all of (A). This is exactly the definition of a partition.
योग सम होने के लिए दोनों संख्याएं समान सम-विषम प्रकृति की होंगी। (2) विषम और (2) सम अवयवों से \(2^2+2^2=8\) युग्म मिलते हैं। / For an even sum, both numbers must have the same parity. With (2) odd and (2) even elements, the count is \(2^2+2^2=8\).
(1) और (5) दोनों का शेषफल (4) से भाग देने पर (1) है। इसलिए ([1]={1,5}) है। / Both (1) and (5) leave remainder (1) when divided by (4). Hence ([1]={1,5}).
