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यहां (A') में (6) तत्व हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A')|=26=64)। परीक्षा में complement हमेशा (U) के सापेक्ष निकालें। / Here (A') has (6) elements, so (|\mathcal{P}(A')|=26=64). In exams, always find complement with respect to (U).
(|\mathcal{P}(A)|=256=28), इसलिए (|A|=8) और (|A'|=8)। non-empty subsets की संख्या \(2^8-1=255\) है। / Since (|\mathcal{P}(A)|=256=28), (|A|=8) and (|A'|=8). The number of non-empty subsets is \(2^8-1=255\).
(|\mathcal{P}(A)|=64=26), इसलिए (|A|=6) और (|A'|=8)। अतः (|\mathcal{P}(A')|=28)। / Since (|\mathcal{P}(A)|=64=26), (|A|=6) and (|A'|=8). Hence (|\mathcal{P}(A')|=28).
\(A\cap B={4,10}\), इसलिए (\(A\cap B\)') में (9) तत्व हैं। अतः (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=29=512)। / \(A\cap B={4,10}\), so (\(A\cap B\)') has (9) elements. Hence (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=29=512).
समुच्चय (A) में (3) अलग-अलग तत्व हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=23=8)। परीक्षा में \(\varnothing\), (1), और ({1}) को अलग मानें। / The set (A) has (3) distinct elements, so (|\mathcal{P}(A)|=23=8). In exams, treat \(\varnothing\), (1), and ({1}) as different.
(a) fixed है और (b) excluded है, इसलिए बाकी (3) तत्व (5) तत्वों से चुनने होंगे। संख्या \(\binom{5}{3}=10\) है। / (a) is fixed and (b) is excluded, so the remaining (3) elements must be chosen from (5) elements. The number is \(\binom{5}{3}=10\).
ऐसे subsets की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। परीक्षा में fixed size subsets के लिए \(\binom{n}{r}\) लगाएं। / The number of such subsets is \(\binom{4}{2}=6\). In exams, use \(\binom{n}{r}\) for fixed-size subsets.
\(A\cup B={1,2,3,4,5}\), इसलिए complement में (3) तत्व हैं। अतः (|\mathcal{P}(\(A\cup B\)')|=23=8)। / \(A\cup B={1,2,3,4,5}\), so the complement has (3) elements. Hence (|\mathcal{P}(\(A\cup B\)')|=23=8).
क्योंकि \(A\in\mathcal{P}(A)\), इसलिए \(A\in\mathcal{P}(B)\) और \(A\subseteq B\)। इसी तरह \(B\subseteq A\), इसलिए (A=B)। / Since \(A\in\mathcal{P}(A)\), \(A\in\mathcal{P}(B)\) and \(A\subseteq B\). Similarly \(B\subseteq A\), so (A=B).
(|A|=9-4=5), इसलिए (A) के proper subsets \(2^5-1=31\) हैं। परीक्षा में proper subset के लिए पूरा set हटाएं। / (|A|=9-4=5), so proper subsets of (A) are \(2^5-1=31\). In exams, exclude the whole set for proper subsets.
(1) fixed है और (2) excluded है, इसलिए बाकी (3) तत्वों से \(2^3=8\) subsets बनेंगे। परीक्षा में compulsory और forbidden elements अलग करें। / (1) is fixed and (2) is excluded, so the remaining (3) elements give \(2^3=8\) subsets. In exams, separate compulsory and forbidden elements.
(p) और (q) हटाने पर (4) तत्व बचते हैं, इसलिए \(2^4=16\) subsets होंगे। परीक्षा में neither condition में दोनों तत्व हटाएं। / After removing (p) and (q), (4) elements remain, so there are \(2^4=16\) subsets. In exams, remove both elements for a neither condition.
जब \(|A|=n\geq1\), even cardinality subsets की संख्या \(2^{n-1}\) होती है। यहां \(2^6=64\) है। / When \(|A|=n\geq1\), the number of even cardinality subsets is \(2^{n-1}\). Here it is \(2^6=64\).
(6) fixed है, इसलिए बाकी (5) तत्वों में even संख्या चुननी होगी। ऐसे choices \(2^{5-1}=16\) हैं। / (6) is fixed, so an even number must be chosen from the remaining (5) elements. Such choices are \(2^{5-1}=16\).
({2,3}) स्वयं (A) का तत्व है, इसलिए ({{2,3}}) (A) का subset है। परीक्षा में nested element को एक object मानें। / ({2,3}) itself is an element of (A), so ({{2,3}}) is a subset of (A). In exams, treat a nested element as one object.
(\mathcal{P}(A)) में (1) सदस्य और (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में (2) सदस्य हैं। इसलिए अगले power set में \(2^2=4\) सदस्य होंगे। / (\mathcal{P}(A)) has (1) member and (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has (2) members. Hence the next power set has \(2^2=4\) members.
यदि (|A|=n), तो (|\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))|=2^{2^n})। \(256=2^8=2^{2^3}\), इसलिए (n=3)। / If (|A|=n), then (|\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))|=2^{2^n}). Since \(256=2^8=2^{2^3}\), (n=3).
क्योंकि \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\), इसलिए अंतर \(2^6-2^3=64-8=56\) है। परीक्षा में nested power sets में सीधे घटाएं। / Since \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\), the difference is \(2^6-2^3=64-8=56\). In exams, subtract directly for nested power sets.
(\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। परीक्षा में common subsets की identity याद रखें। / (\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), so the number is \(2^4=16\). In exams, remember the identity for common subsets.
दोनों power sets में common member केवल \(\varnothing\) है। इसलिए \(2^4+2^3-1=16+8-1=23\)। / The only common member of the two power sets is \(\varnothing\). Therefore \(2^4+2^3-1=16+8-1=23\).
(A-B={1,7,9}), इसलिए उसके complement में (6) तत्व हैं। अतः power set size \(2^6=64\) है। / (A-B={1,7,9}), so its complement has (6) elements. Hence the power set size is \(2^6=64\).
कम से कम (6) तत्वों वाले subsets की संख्या \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=7+1=8\) है। परीक्षा में at least का मतलब सभी बड़े sizes जोड़ना है। / The number of subsets with at least (6) elements is \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=7+1=8\). In exams, at least means adding all larger sizes.
संख्या \(\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}=1+8+28=37\) है। परीक्षा में at most में (0) size वाला subset भी जोड़ें। / The number is \(\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}=1+8+28=37\). In exams, include the subset of size (0) in at most.
(a,b) में से ठीक एक चुनने के (2) तरीके हैं और बाकी (3) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2\cdot2^3=16\)। / There are (2) ways to choose exactly one of (a,b), and the remaining (3) elements are free. Hence \(2\cdot2^3=16\).
(1) fixed और (6) excluded है, इसलिए (2) तत्व ({2,3,4,5}) से चुनेंगे। संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। / (1) is fixed and (6) is excluded, so choose (2) elements from ({2,3,4,5}). The number is \(\binom{4}{2}=6\).
Disjoint subsets केवल ({3,4,5}) से बनेंगे, इसलिए \(2^3=8\) हैं। परीक्षा में disjoint condition के लिए forbidden elements हटा दें। / Disjoint subsets are formed only from ({3,4,5}), so there are \(2^3=8\). In exams, remove forbidden elements for a disjoint condition.
(A) fixed है और (U-A) के (5) तत्व optional हैं। इसलिए संख्या \(2^5=32\) है। / (A) is fixed and the (5) elements of (U-A) are optional. Therefore the number is \(2^5=32\).
(A'={1,3,5,7}) में (4) तत्व हैं, इसलिए उसके subsets \(2^4=16\) हैं। परीक्षा में यह (\mathcal{P}(A')) की cardinality है। / (A'={1,3,5,7}) has (4) elements, so its subsets are \(2^4=16\). In exams, this is the cardinality of (\mathcal{P}(A')).
Singleton members ({1},{2},{3},{4}) हैं, इसलिए संख्या (4) है। परीक्षा में \(\varnothing\) singleton नहीं होता। / The singleton members are ({1},{2},{3},{4}), so the number is (4). In exams, \(\varnothing\) is not a singleton.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^4=16\) सदस्य हैं, इसलिए उसके power set में (16) singleton members होंगे। परीक्षा में singleton members की संख्या base set की cardinality होती है। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) members, so its power set has (16) singleton members. In exams, the number of singleton members equals the cardinality of the base set.
क्योंकि \({1}\in\mathcal{P}(A)\) और \({2}\in\mathcal{P}(A)\), इसलिए दिया गया set (\mathcal{P}(A)) का subset है। परीक्षा में outer braces को ध्यान से पढ़ें। / Since \({1}\in\mathcal{P}(A)\) and \({2}\in\mathcal{P}(A)\), the given set is a subset of (\mathcal{P}(A)). In exams, read the outer braces carefully.
({1}) (A) का subset है, इसलिए \({1}\in\mathcal{P}(A)\) सत्य है। पर \({1}\subseteq\mathcal{P}(A)\) के लिए \(1\in\mathcal{P}(A)\) चाहिए, जो गलत है। / ({1}) is a subset of (A), so \({1}\in\mathcal{P}(A)\) is true. But \({1}\subseteq\mathcal{P}(A)\) would require \(1\in\mathcal{P}(A)\), which is false.
(1) से (15) तक (3) से विभाज्य (5) संख्याएं हैं, इसलिए (|A'|=10)। अतः (|\mathcal{P}(A')|=2^{10})। / There are (5) numbers divisible by (3) from (1) to (15), so (|A'|=10). Hence (|\mathcal{P}(A')|=2^{10}).
(1) से (20) तक primes (8) हैं, इसलिए (|A'|=12)। Non-empty subsets \(2^{12}-1=4095\) हैं। / There are (8) primes from (1) to (20), so (|A'|=12). The non-empty subsets are \(2^{12}-1=4095\).
समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2,3\}\) में (6) तत्व हैं। इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=26=64)। / The set \(A=\{-2,-1,0,1,2,3\}\) has (6) elements. Therefore (|\mathcal{P}(A)|=26=64).
(A') में even numbers (6) हैं, इसलिए (3)-element subsets की संख्या \(\binom{6}{3}=20\) है। परीक्षा में पहले (A') की size निकालें। / (A') contains (6) even numbers, so the number of (3)-element subsets is \(\binom{6}{3}=20\). In exams, first find the size of (A').
क्योंकि (|A'|=2m-m=m), इसलिए दोनों power sets की cardinality \(2^m\) होगी। परीक्षा में complement की size पहले निकालें। / Since (|A'|=2m-m=m), both power sets have cardinality \(2^m\). In exams, first find the size of the complement.
(|\mathcal{P}(A')|=1024=2^{10}), इसलिए (|A'|=10) और (|A|=8)। अतः (|\mathcal{P}(A)|=28)। / (|\mathcal{P}(A')|=1024=2^{10}), so (|A'|=10) and (|A|=8). Hence (|\mathcal{P}(A)|=28).
(\mathcal{P}(A)) में \(2^4=16\) members हैं। (A) को हटाने पर (16-1=15) बचेंगे। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) members. Excluding (A) itself leaves (16-1=15).
Cardinality (2) से विभाज्य होने का अर्थ even cardinality है। (6)-element set के even subsets \(2^{6-1}=32\) होते हैं। / Cardinality divisible by (2) means even cardinality. A (6)-element set has \(2^{6-1}=32\) even subsets.
({1,2}) fixed है और (5) excluded है, इसलिए (3,4) optional हैं। संख्या \(2^2=4\) है। / ({1,2}) is fixed and (5) is excluded, so (3,4) are optional. The number is \(2^2=4\).
कुल subsets \(2^5=32\) हैं और (a,b) दोनों न रखने वाले \(2^3=8\) हैं। इसलिए उत्तर (32-8=24) है। / Total subsets are \(2^5=32\), and subsets containing neither (a,b) are \(2^3=8\). Therefore the answer is (32-8=24).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') और \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\) है। complement में (2) तत्व हैं, इसलिए \(2^2=4\)। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)') and \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\). The complement has (2) elements, so \(2^2=4\).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') और \(A\cap B={4,5}\) है। complement में (7) तत्व हैं, इसलिए \(2^7=128\)। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)') and \(A\cap B={4,5}\). The complement has (7) elements, so \(2^7=128\).
({1,2}) fixed है, इसलिए बाकी (2) तत्व ({3,4,5,6}) से चुनने हैं। संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। / ({1,2}) is fixed, so choose the remaining (2) elements from ({3,4,5,6}). The number is \(\binom{4}{2}=6\).
यदि किसी समुच्चय के सदस्यों की संख्या \(|A|=n\) हो तो उसके शक्ति समुच्चय की कुल संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=5\) है, इसलिए \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\)। शक्ति समुच्चय में हमेशा \(A\) और \(\varnothing\) दोनों उपस्थित रहते हैं; इन्हें निकालने पर बचते हैं \(32-2=30\) सदस्य। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(31\) तब होता यदि केवल एक ही (या केवल शून्य) निकालना हो; \(32\) वह विकल्प है जिसमें कोई निकालना नहीं हुआ। परीक्षा सुझाव: शक्ति समुच्चय के आकार का सूत्र \(2^{|A|}\) याद रखें और हटाने से पहले कुल गिनती अवश्य लें। / For any set with \(|A|=n\), the power set has \(2^n\) elements. Here \(n=5\), so \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\). The power set always contains both \(A\) and \(\varnothing\); removing them leaves \(32-2=30\) elements. The common distractor 31 would correspond to removing only one of them; 32 corresponds to removing none. Exam tip: first compute \(2^{|A|}\) then subtract the exact number of excluded subsets.
\(|A\cup B|=6\) और \(|A\cap B|=2\), इसलिए \(2^6-2^2=64-4=60\)। परीक्षा में पहले union और intersection की size निकालें। / \(|A\cup B|=6\) and \(|A\cap B|=2\), so \(2^6-2^2=64-4=60\). In exams, first find the sizes of union and intersection.
(|U|=|A|+|A'|=4+5=9), इसलिए (|\mathcal{P}(U)|=29=512)। परीक्षा में (A) और (A') मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / (|U|=|A|+|A'|=4+5=9), so (|\mathcal{P}(U)|=29=512). In exams, (A) and (A') together form the whole (U).
Fixed (4)-element subset से disjoint member केवल शेष (6) तत्वों से बनेगा। इसलिए संख्या \(2^6=64\) है। / A member disjoint from the fixed (4)-element subset can be formed only from the remaining (6) elements. Therefore the number is \(2^6=64\).
