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This theorem is related to writing numbers as products of prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
Every positive integer greater than 1 can be written as a product of primes.
Step 3
Exam Tip
In this chapter, connect it with factorisation and HCF. चरण 1: यह प्रमेय संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखने से जुड़ा है। चरण 2: हर 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 3: इस अध्याय में इसे गुणनखंडन और महत्तम समापवर्तक से जोड़कर पढ़ें।
Do not leave composite factors like 4 or 12 in the final prime factorisation. चरण 1: 48 को \(16\times3\) लिखा जा सकता है। चरण 2: \(16=2^4\), इसलिए \(48=2^4\times3\)। चरण 3: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में 4 या 12 जैसे संयुक्त गुणनखंड न छोड़ें।
8 and 9 are composite, so they are not the final prime form. चरण 1: \(72=8\times9\) लिखें। चरण 2: \(8=2^3\) और \(9=3^2\), इसलिए \(72=2^3\times3^2\)। चरण 3: 8 और 9 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम अभाज्य रूप नहीं हैं।
Changing the order in multiplication does not change the product.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(2\times3\times5\) and \(5\times3\times2\) both give 30.
Step 3
Exam Tip
In prime factorisation, the factors matter, not their order. चरण 1: गुणा में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। चरण 2: जैसे \(2\times3\times5\) और \(5\times3\times2\) दोनों 30 देते हैं। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन में क्रम महत्वपूर्ण नहीं, गुणनखंड महत्वपूर्ण हैं।
Count repeated prime factors to write their powers. चरण 1: \(96=32\times3\) लिखें। चरण 2: \(32=2^5\), इसलिए \(96=2^5\times3\)। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंडों को गिनकर उनकी घात लिखें।
First evaluate the powers: \(2^2=4\) and \(3^2=9\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\times9\times5=180\), so the number is 180.
Step 3
Exam Tip
Simplify powers first, then multiply. चरण 1: पहले घातों का मान निकालें: \(2^2=4\) और \(3^2=9\)। चरण 2: \(4\times9\times5=180\), इसलिए संख्या 180 है। चरण 3: पहले घात सरल करें, फिर गुणा करें।
9 and 21 are composite, so do not keep them in the final form. चरण 1: \(63=9\times7\) लिखें। चरण 2: \(9=3^2\), इसलिए \(63=3^2\times7\)। चरण 3: 9 और 21 संयुक्त हैं, इसलिए उन्हें अंतिम रूप में न रखें।
31 is divisible only by 1 and 31, while 27, 35, and 45 are composite.
Step 3
Exam Tip
For small numbers, checking divisibility by 2, 3, 5, and 7 is useful. चरण 1: अभाज्य संख्या के केवल दो धनात्मक भाजक होते हैं। चरण 2: 31 केवल 1 और 31 से विभाजित होती है, जबकि 27, 35 और 45 संयुक्त हैं। चरण 3: छोटी संख्याओं में 2, 3, 5 और 7 से जांच करना उपयोगी है।
A composite number has more than two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
\(77=7\times11\), so it is composite.
Step 3
Exam Tip
If a number can be written as a product of two smaller primes, it is composite. चरण 1: संयुक्त संख्या के दो से अधिक धनात्मक भाजक होते हैं। चरण 2: \(77=7\times11\), इसलिए यह संयुक्त संख्या है। चरण 3: यदि कोई संख्या दो छोटी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखी जा सके, तो वह संयुक्त है।
9 and 15 may form the product, but they are not prime factorisation. चरण 1: \(135=27\times5\) लिखें। चरण 2: \(27=3^3\), इसलिए \(135=3^3\times5\)। चरण 3: 9 और 15 सही गुणनफल बना सकते हैं, पर वे अभाज्य गुणनखंडन नहीं हैं।
In \(168=2^3\times3\times7\), the distinct primes are 2, 3, and 7.
Step 3
Exam Tip
Even if a power is large, count that prime once in the distinct list. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड देखें, उनकी घात नहीं। चरण 2: \(168=2^3\times3\times7\) में अलग-अलग अभाज्य 2, 3 और 7 हैं। चरण 3: घात बड़ी होने पर भी उस अभाज्य को अलग सूची में एक बार गिनें।
25 is composite, so \(25\times5\) is not the final prime form. चरण 1: \(125=5\times25\) लिखें। चरण 2: \(25=5\times5\), इसलिए \(125=5^3\)। चरण 3: 25 संयुक्त है, इसलिए \(25\times5\) अंतिम अभाज्य रूप नहीं है।
For HCF, take the smaller powers of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The smaller power of (2) is 2 and of (3) is 1, so \(2^2\times3=12\).
Step 3
Exam Tip
Use smaller powers for HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक के लिए समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात लें। चरण 2: (2) की छोटी घात 2 और (3) की छोटी घात 1 है, इसलिए \(2^2\times3=12\)। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में छोटी घातों का प्रयोग करें।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest power of (2) is 3 and of (3) is 2, so \(2^3\times3^2=72\).
Step 3
Exam Tip
Use highest powers for LCM. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लें। चरण 2: (2) की बड़ी घात 3 और (3) की बड़ी घात 2 है, इसलिए \(2^3\times3^2=72\)। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घातों का प्रयोग करें।
\(8=2^3\) and \(27=3^3\), so \(216=2^3\times3^3\).
Step 3
Exam Tip
\(6^3\) gives the value, but 6 is not prime. चरण 1: \(216=8\times27\) लिखें। चरण 2: \(8=2^3\) और \(27=3^3\), इसलिए \(216=2^3\times3^3\)। चरण 3: \(6^3\) सही मान देता है, पर 6 अभाज्य नहीं है।
In a form with powers, it is easier to evaluate the power first. चरण 1: पहले \(2^4=16\) निकालें। चरण 2: \(16\times5=80\), इसलिए संख्या 80 है। चरण 3: घात वाले रूप में पहले घात का मान निकालना आसान रहता है।
A. सभी गुणनखंड अभाज्य संख्याएं हों/All factors should be prime numbers
Step 1
Concept
In prime factorisation, a number is written as a product of prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
So the final form should contain only prime factors.
Step 3
Exam Tip
If any composite factor remains, factorise it further. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखते हैं। चरण 2: इसलिए अंतिम रूप में केवल अभाज्य गुणनखंड होने चाहिए। चरण 3: यदि कोई संयुक्त गुणनखंड बचा हो, तो उसे और तोड़ें।
14 is composite, so \(7\times14\) is not the final prime factorisation. चरण 1: \(98=2\times49\) लिखें। चरण 2: \(49=7^2\), इसलिए \(98=2\times7^2\)। चरण 3: 14 संयुक्त है, इसलिए \(7\times14\) अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
The distinct prime factors are 2 and 11. चरण 1: \(88=8\times11\) लिखें। चरण 2: \(8=2^3\), इसलिए \(88=2^3\times11\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2 और 11 हैं।
Therefore, their only common positive factor is 1.
Step 3
Exam Tip
To identify co-prime numbers, look for common prime factors. चरण 1: सह-अभाज्य संख्याओं का अर्थ है कि उनका कोई समान गुणनखंड 1 के अलावा नहीं होता। चरण 2: इसलिए उनका समान धनात्मक गुणनखंड केवल 1 होता है। चरण 3: सह-अभाज्य पहचानने के लिए समान अभाज्य गुणनखंड खोजें।
They have no common prime factor, so they are co-prime.
Step 3
Exam Tip
If a common prime factor is found, the pair is not co-prime. चरण 1: \(9=3^2\) और \(16=2^4\) हैं। चरण 2: इनमें कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए ये सह-अभाज्य हैं। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंड मिलने पर युग्म सह-अभाज्य नहीं रहता।
The smaller powers are \(2^1\), \(3^1\), and \(5^1\), so the HCF is \(2\times3\times5=30\).
Step 3
Exam Tip
Take smaller powers for HCF. चरण 1: समान अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 5 हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^1\), \(3^1\) और \(5^1\) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times5=30\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात लें।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^2\), \(3^2\), and \(5^1\), so \(4\times9\times5=180\).
Step 3
Exam Tip
Use highest powers for LCM. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लें। चरण 2: बड़ी घातें \(2^2\), \(3^2\) और \(5^1\) हैं, इसलिए \(4\times9\times5=180\)। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घातों का प्रयोग करें।
\(4=2^2\) and \(63=3^2\times7\), so \(252=2^2\times3^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
Do not keep composite factors in the final answer. चरण 1: \(252=4\times63\) लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(63=3^2\times7\), इसलिए \(252=2^2\times3^2\times7\)। चरण 3: अंतिम उत्तर में संयुक्त गुणनखंड न रखें।
To get the number from prime factorisation, multiply all factors. चरण 1: \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(9\times7=63\), इसलिए संख्या 63 है। चरण 3: दिए गए अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
18 and 9 are composite, so they are not the final prime form. चरण 1: \(162=2\times81\) लिखें। चरण 2: \(81=3^4\), इसलिए \(162=2\times3^4\)। चरण 3: 18 और 9 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम अभाज्य रूप नहीं हैं।
A. 1 न अभाज्य है न संयुक्त/1 is neither prime nor composite
Step 1
Concept
A prime number must have exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 has only one positive factor, 1, so it is neither prime nor composite.
Step 3
Exam Tip
Treating 1 as prime is a common exam mistake. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होने चाहिए। चरण 2: 1 का केवल एक धनात्मक भाजक 1 है, इसलिए वह न अभाज्य है न संयुक्त। चरण 3: 1 को अभाज्य मानना परीक्षा में आम गलती है।
It is important to identify the base and exponent separately. चरण 1: दिए गए रूप \(128=2^7\) को ध्यान से देखें। चरण 2: 2 के ऊपर लिखी घात 7 है। चरण 3: आधार और घात को अलग पहचानना जरूरी है।
14 is composite, so \(14\times11\) is not the final prime factorisation. चरण 1: \(154=2\times77\) लिखें। चरण 2: \(77=7\times11\), इसलिए \(154=2\times7\times11\)। चरण 3: 14 संयुक्त है, इसलिए \(14\times11\) अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
Use this relation directly for two numbers only. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(4\times84=336\)। चरण 3: यह संबंध दो संख्याओं के लिए ही सीधे प्रयोग करें।
1 is not written as a factor in prime factorisation. चरण 1: 121 एक पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(121=11\times11=11^2\)। चरण 3: 1 को अभाज्य गुणनखंडन में गुणनखंड के रूप में नहीं लिखा जाता।
\(99=9\times11=3^2\times11\), so the distinct prime factors are 2, 3, and 11.
Step 3
Exam Tip
Write repeated 3 only once in the distinct list. चरण 1: \(198=2\times99\) लिखें। चरण 2: \(99=9\times11=3^2\times11\), इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 11 हैं। चरण 3: दोहराए गए 3 को अलग सूची में एक बार ही लिखें।
For HCF, take only common prime factors. चरण 1: समान अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। चरण 2: उनका गुणनफल \(2\times3=6\) है, इसलिए महत्तम समापवर्तक 6 है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लें।
LCM includes all necessary prime factors from both numbers. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए सभी अभाज्य गुणनखंड लें। चरण 2: \(2\times3\times5\times7=210\)। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में दोनों संख्याओं के सभी जरूरी अभाज्य गुणनखंड शामिल होते हैं।
25 and 10 are composite, so do not keep them in the final prime form. चरण 1: \(250=2\times125\) लिखें। चरण 2: \(125=5^3\), इसलिए \(250=2\times5^3\)। चरण 3: 25 और 10 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में न रखें।
To get the number from prime factorisation, simplify powers first. चरण 1: \(2^3=8\) निकालें। चरण 2: \(8\times7=56\), इसलिए संख्या 56 है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए घातों को पहले सरल करें।
First evaluate the power, then multiply. चरण 1: \(2^5=32\) निकालें। चरण 2: \(32\times3=96\), इसलिए संख्या 96 है। चरण 3: पहले घात का मान निकालें और फिर गुणा करें।
In prime factorisation, every factor must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
In \(6\times5\), 6 is not prime.
Step 3
Exam Tip
If a composite factor appears, break it further into prime factors. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में हर गुणनखंड अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: \(6\times5\) में 6 अभाज्य नहीं है। चरण 3: संयुक्त गुणनखंड दिखे तो उसे आगे अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें।
\(16=2^4\) and 11 is prime, so \(176=2^4\times11\).
Step 3
Exam Tip
Since 16 is composite, write it as \(2^4\) in the final form. चरण 1: \(176=16\times11\) लिखें। चरण 2: \(16=2^4\) और 11 अभाज्य है, इसलिए \(176=2^4\times11\)। चरण 3: 16 संयुक्त है, इसलिए अंतिम रूप में \(2^4\) लिखें।
They have no common prime factor, so they are co-prime.
Step 3
Exam Tip
Co-prime numbers have HCF 1. चरण 1: \(22=2\times11\) और \(35=5\times7\)। चरण 2: इनमें कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए वे सह-अभाज्य हैं। चरण 3: सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है।
4 and 16 are composite, so \(4^4\) or \(16^2\) are not final prime forms. चरण 1: 256 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: \(256=2^8\), इसलिए यही अभाज्य गुणनखंडन है। चरण 3: 4 और 16 संयुक्त हैं, इसलिए \(4^4\) या \(16^2\) अंतिम अभाज्य रूप नहीं हैं।
The smaller powers are \(2^1\), \(3^1\), and \(7^1\), so \(2\times3\times7=42\).
Step 3
Exam Tip
Take smaller powers for HCF. चरण 1: समान अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 7 हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^1\), \(3^1\) और \(7^1\) हैं, इसलिए \(2\times3\times7=42\)। चरण 3: महत्तम समापवर्तक के लिए छोटी घात लें।
LCM includes the highest powers of all prime factors. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए बड़ी घातें लें। चरण 2: \(2^2\times3^2\times7=4\times9\times7=252\)। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात आती है।
A number divisible by both 3 and 5 is divisible by 15.
Step 2
Why this answer is correct
The digit sum of 45 is 9, so it is divisible by 3, and it ends in 5, so it is also divisible by 5.
Step 3
Exam Tip
Small divisibility rules help in factorisation. चरण 1: 3 और 5 दोनों से विभाज्य संख्या 15 से विभाज्य होती है। चरण 2: 45 का अंकों का योग 9 है, इसलिए यह 3 से विभाज्य है और अंतिम अंक 5 है, इसलिए 5 से भी विभाज्य है। चरण 3: विभाज्यता के छोटे नियम गुणनखंडन में मदद करते हैं।
In questions with powers, simplify the powers first. चरण 1: \(2^3=8\) और \(5^2=25\) निकालें। चरण 2: \(8\times3\times25=600\)। चरण 3: कई घातों वाले प्रश्नों में पहले घात सरल करें।
A. 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्याएं/Positive integers greater than 1
Step 1
Concept
This theorem is stated for positive integers greater than 1.
Step 2
Why this answer is correct
Every such number can be prime factorised.
Step 3
Exam Tip
1 is not included in the usual prime factorisation statement. चरण 1: यह प्रमेय 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्याओं के लिए कहा जाता है। चरण 2: ऐसी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन किया जा सकता है। चरण 3: 1 को सामान्य अभाज्य गुणनखंडन में शामिल नहीं किया जाता।
\(33=3\times11\) and \(10=2\times5\), so \(330=2\times3\times5\times11\).
Step 3
Exam Tip
In the final form, all factors must be prime. चरण 1: \(330=33\times10\) लिखें। चरण 2: \(33=3\times11\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(330=2\times3\times5\times11\)। चरण 3: अंतिम रूप में सभी गुणनखंड अभाज्य होने चाहिए।
To get the original number, multiply all prime factors. चरण 1: दिए गए अभाज्य गुणनखंडों को गुणा करें। चरण 2: \(2\times5\times11=110\), इसलिए संख्या 110 है। चरण 3: मूल संख्या पाने के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणा करें।
\(27=3^3\) and \(10=2\times5\), so \(270=2\times3^3\times5\).
Step 3
Exam Tip
Write repeated prime factors using powers. चरण 1: \(270=27\times10\) लिखें। चरण 2: \(27=3^3\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(270=2\times3^3\times5\)। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंडों को घात के रूप में लिखें।
A. उनका लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है/Their LCM is equal to their product
Step 1
Concept
Co-prime numbers have HCF 1.
Step 2
Why this answer is correct
For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the LCM of co-prime numbers is equal to their product. चरण 1: सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। चरण 2: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 3: इसलिए सह-अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है।
