Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
x-अक्ष पर बिंदु यों होते हैं जहाँ बहुपद का मान शून्य हो। इसलिए \(p(x)=0\) रखें: \(x-7=0\) से \(x=7\) मिलता है। अतः x-अक्ष पर छेदन बिंदु \((7,0)\) है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प \((-7,0)\) गलत है क्योंकि वहाँ \(x=-7\) होने पर \(p(x)=-14\) होता है, शून्य नहीं। परीक्षा-सुझाव: x-छेदन पाने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखें और उत्तर को \((x,0)\) के रूप में लिखें। / Points where the graph meets the x-axis are where the polynomial equals zero. Set \(p(x)=0\): \(x-7=0\) gives \(x=7\). So the x-intercept is \((7,0)\). The closest distractor \((-7,0)\) is wrong because at \(x=-7\), \(p(x)=-14\), not zero. Exam tip: find x-intercepts by solving \(p(x)=0\) and record the result as \((x,0)\).
x-अक्ष पर बिंदु पाने के लिए बहुपद को शून्य पर रखें: \(p(x)=0\) ⇒ \(x+4=0\) ⇒ \(x=-4\)। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((-4,0)\) है। नज़दीकी भ्रमित विकल्प (4,0) गलत है क्योंकि वह \(x=4\) देता है, जो समीकरण को संतुष्ट नहीं करता; (0,4) और (0,-4) y-अक्ष के प्रतिच्छेद हैं। परीक्षात्मक टिप: x-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(p(x)=0\) हल करें और उत्तर को \((x,0)\) के रूप में लिखें। / The x-intercept occurs where the function equals zero: set \(p(x)=0\) ⇒ \(x+4=0\) ⇒ \(x=-4\). Thus the intercept is \((-4,0)\). The distractor (4,0) is incorrect because it corresponds to \(x=4\), which does not satisfy the equation; (0,4) and (0,-4) are y-intercepts. Exam tip: find x-intercepts by solving \(p(x)=0\) and give the point as \((x,0)\).
शून्यक वह x-मूल होता है जहाँ बहुपद की मान शून्य हो और ग्राफ x-अक्ष को काटता है।\(p(x)=0\) रखकर \(2x-6=0\) मिलता है। इससे \(2x=6\) और \(x=3\) आता है, इसलिए शून्यक \(x=3\) है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्पों की जाँच: \(2\) केवल सहगुणक है (रूट नहीं), \(6\) स्थायी पद है (स्वत: रूट नहीं), और \(-3\) साइन की गलती है। परीक्षा टिप: हमेशा पहले \(p(x)=0\) रखें और हल करके मिलने वाला x-पमान जाँचें। / A zero (root) is the x-value where the polynomial equals zero and the graph meets the x-axis. Set \(p(x)=0\): \(2x-6=0\). Solving gives \(2x=6\) and \(x=3\), so the x-intercept is \(x=3\). Why other choices are wrong: 2 is the coefficient (not the root), 6 is the constant term (not the root), and -3 is a sign error. Exam tip: always set \(p(x)=0\) and solve for x, then optionally substitute back to verify.
बिंदु (6, 0) का अर्थ है कि x = 6 पर y का मान 0 है। चूँकि y = p(x), इसलिए जब x = 6 होगा तो p(6) = 0। सामान्य त्रुटि: कुछ छात्र x‑निर्देशांक 6 को p(6) समझ लेते हैं — यह गलत है क्योंकि x‑मान और फलन मान अलग होते हैं। टिप: किसी भी ग्राफ़ का x‑अक्ष पर अंतर्प्रवेश हमेशा फलन का मान 0 देता है (बहुपद के शून्य या मूल)। / The point (6, 0) means that at x = 6 the function value y is 0. Since y = p(x), we have p(6) = 0. Common mistake: confusing the x-coordinate 6 with the function value p(6). Exam tip: an intersection with the x-axis always gives a function value of 0 — this corresponds to a root/zero of the polynomial.
A. आलेख (-1, 0) से गुजरता है/The graph passes through (-1, 0)
Explanation
Simple Explanation
यदि p(-1)=0 का अर्थ है कि x=-1 पर बहुपद का मान शून्य है, यानी अक्षांश y=0; इसलिए बिंदु (-1,0) आलेख पर अवश्य है। यह शून्य (zero/root) x-अक्ष पर छेद दर्शाता है। विकल्प B गलत है क्योंकि (0,-1) तब होता जब p(0)=-1 हो — p(-1)=0 का उससे कोई संबंध नहीं। विकल्प C गलत है क्योंकि y-अक्ष पर प्रतिच्छेद x=0 पर होता है और यह p(0) के मान पर निर्भर करता है; p(-1)=0 होने से यह तय नहीं होता। विकल्प D गलत है क्योंकि केवल प्रथम श्रेणी के बहुपद (degree 1) ही सीधे रेखा बनाते हैं, अधिक डिग्री के बहुपद वक्र होते हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी बहुपद की जड़ p(a)=0 होने पर उसे x-अक्ष पर बिंदु (a,0) के रूप में याद रखें; y-अक्ष के लिए p(0) देखें। / p(-1)=0 means the polynomial evaluates to zero at x = -1, so the graph has the point (-1, 0). A root of a polynomial is an x-intercept. Option B is incorrect because (0, -1) would require p(0) = -1, which is unrelated to p(-1)=0. Option C is wrong since intersection with the y-axis occurs at x = 0 and depends on p(0); p(-1)=0 gives no information about that. Option D is false because only degree-1 polynomials are straight lines; higher-degree polynomials are curves. Exam tip: remember p(a)=0 corresponds to x-intercept (a,0); check p(0) for the y-intercept.
y-अक्ष पर कटान बिंदु \((0,5)\) का मतलब है कि बहुपद का मान \(x=0\) पर \(p(0)=5\) है। शून्यक होने के लिए आवश्यक है कि \(p(0)=0\) हो। इसलिए \(x=0\) शून्यक नहीं है। विकल्प B गलत है क्योंकि किसी भी बिंदु का y-अक्ष पर होना उसे शून्यक नहीं बनाता; शून्यक वह x-मूल्य है जहाँ y=0 होता है। विकल्प C सही की व्याख्या देता है पर A अधिक सटीक है क्योंकि यहां दिया गया विशिष्ट मान \(p(0)=5\) है। विकल्प D गलत है क्योंकि y-अक्ष कटान हमें सीधे \(p(0)\) देता है, अत: अतिरिक्त अभिव्यक्ति की आवश्यकता नहीं है। टिप: किसी भी ग्राफ़ पर y-अक्ष कटान \\((0,y_0)\\) देखें — वह तुरंत बताता है \(p(0)=y_0\)। / The y-intercept \((0,5)\) means the polynomial evaluates to \(p(0)=5\). A zero (root) requires \(p(0)=0\), so \(x=0\) is not a root. Option B is incorrect because being on the y-axis does not imply the function value is zero. Option C states the correct idea that zeros occur where the graph meets the x-axis (y=0), but A is the best answer here since the specific value \(p(0)=5\) is given. Option D is incorrect because the y-intercept already gives the required value \(p(0)\). Exam tip: the y-intercept \((0,y_0)\) always tells you \(p(0)=y_0\); roots are where \(y_0=0\).
स्पर्श बिंदु का (x)-निर्देशांक (2) है इसलिए शून्यक (2) है। टिप: स्पर्श बिंदु को भी गिनें। / The (x)-coordinate of the touching point is (2) so the zero is (2). Tip: count a touching point too.
आलेख पूरा (x)-अक्ष से ऊपर रह सकता है इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: कटान न हो तो शून्यक न लिखें। / The graph can stay above the (x)-axis so there is no real zero. Tip: if there is no intersection do not write a zero.
यदि किसी बहुपद का शून्यक a है तो बहुपद a पर शून्य देता है, अर्थात् उस बिंदु पर y=0 होगा — इसलिए वह बिंदु \,\((a,0)\) होता है। शून्यक 1 और 4 के लिए कटान बिंदु \,\((1,0)\) और \,\((4,0)\) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह y-अक्ष के उपर के बिंदु दिखाता है (x=0); C गलत है क्योंकि वहाँ y≠0 होने पर x-अक्ष पर कटान नहीं होता; D गलत है क्योंकि संकेत उल्टे दिए गए हैं। परीक्षा टिप: शून्यक को हमेशा x-निर्देशांक समझें — x=a पर y=0। / If a polynomial has a zero a, the graph takes the value 0 at x=a, so the intersection point with the x-axis is (a,0). For zeros 1 and 4 the graph meets the x-axis at (1,0) and (4,0). Option B lists points on the y-axis (x=0), C lists points with y≠0 so they are not x-intercepts, and D has the wrong signs. Exam tip: a zero gives the x-coordinate of the intercept; set y=0 to find the points.
x-अक्ष पर काटने वाले बिंदु के x‑मान ही बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक −5 और 2 हैं, अतः उनका योग (−5)+2 = −3। विकल्प B (3) उस स्थिति में गलत होगा जब केवल मानों का चिह्न उल्टा ले लिया गया हो; विकल्प C (7) तब आता है जब मात्र परिमाणों को जोड़ा गया हो (|−5|+|2|), अतः वे गलत हैं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर मिलने वाले बिंदुओं से सीधे x‑समन्वय लें और जोड़ें। / The x-coordinates of the points where the graph meets the x-axis are the zeroes. Here the zeroes are −5 and 2, so the sum is (−5)+2 = −3. Option B (3) would be a sign error; option C (7) corresponds to adding absolute values (|−5|+|2|) and is therefore incorrect. Exam tip: directly take the x-values of the intercepts as the roots and add them.
