यदि \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में कोई \(p^2=2q^2\) से \(q^2\) सम लिखता है, तो यह क्यों जल्दबाजी है?
If someone writes \(q^2\) is even directly from \(p^2=2q^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\), why is this a rushed step?
#sqrt2 proof
#proof order
#class 10
A पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है / First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
B क्योंकि \(q^2\) कभी सम नहीं हो सकता / Because \(q^2\) can never be even
C क्योंकि (q=0) होता है / Because (q=0)
D क्योंकि (2) अभाज्य नहीं है / Because (2) is not prime
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Correct Answer
A. पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है / First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से तुरंत \(p^2\) सम मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), we immediately get \(p^2\) even.
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p=2k) रखकर ही \(q^2=2k^2\) मिलता है। / Only after substituting (p=2k) do we get \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
क्रम छोड़ने से प्रमाण कमजोर हो जाता है। / Skipping the order makes the proof weak.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलना किस तरह की गलती को उजागर करता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), both (p) and (q) being divisible by (5) exposes what issue?
#sqrt5 proof
#lowest form
#error
#class 10
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
B (q) शून्य था / (q) was zero
C \(\sqrt{5}=5\) था / \(\sqrt{5}=5\)
D (5) पूर्ण वर्ग था / (5) was a perfect square
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों (5) से विभाज्य हों तो अंश और हर में (5) साझा है। / If both are divisible by (5), numerator and denominator share (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को और सरल किया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप मानने के विरुद्ध है। / This contradicts the assumption of lowest form.
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कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p=3k) लिखने का सही आधार बताता है?
Which statement gives the correct basis for writing (p=3k) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#reasoning
#class 10
A \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
B (p=3) है / (p=3)
C \(\sqrt{3}=3\) है / \(\sqrt{3}=3\)
D (q=3k) पहले से है / (q=3k) already
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Correct Answer
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (p=3k) लिखना उचित है। / Therefore writing (p=3k) is valid.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में सही अंतिम कारण देता है?
Which option gives the correct final reason in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#final reason
#class 10
A (p) और (q) दोनों सम हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते / Both (p) and (q) are even, so they cannot be coprime
B (p) और (q) पूर्णांक हैं, इसलिए विरोधाभास है / (p) and (q) are integers, so it is a contradiction
C \(q\neq 0\), इसलिए विरोधाभास है / \(q\neq 0\), so it is a contradiction
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है, इसलिए विरोधाभास है / \(\sqrt{2}\) is positive, so it is a contradiction
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों सम हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते / Both (p) and (q) are even, so they cannot be coprime
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, both have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। / This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
यही अंतिम कारण \(\sqrt{2}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This final reason proves \(\sqrt{2}\) irrational.
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एक विद्यार्थी कहता है कि \(\sqrt{5}\) परिमेय है क्योंकि (5) परिमेय है। सही सुधार क्या है?
A student says \(\sqrt{5}\) is rational because (5) is rational. What is the correct correction?
#sqrt5 misconception
#rational number
#class 10
A परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता / The square root of a rational number is not always rational
B हर परिमेय संख्या का वर्गमूल पूर्णांक होता है / The square root of every rational number is an integer
C (5) परिमेय नहीं है / (5) is not rational
D \(\sqrt{5}=5\)
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Correct Answer
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता / The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) परिमेय है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational but not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
संख्या और उसके वर्गमूल का प्रकार अलग-अलग जांचें। / Check a number and its square root separately.
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिल जाता है, तो कौन सी आरंभिक बात गलत होती है?
If in the proof of \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), both (p) and (q) get common factor (2), which initial statement becomes false?
#sqrt2 proof
#lowest form
#contradiction
#class 10
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है / \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / \(\sqrt{2}\) is positive
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है / \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों में (2) मिलना बताता है कि भिन्न और घट सकती है। / Finding (2) in both shows the fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप की आरंभिक बात गलत सिद्ध होती है। / Therefore the initial lowest-form statement becomes false.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में कौन सा चरण (q) के (5) से विभाज्य होने से ठीक पहले आता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), which step comes just before concluding that (q) is divisible by (5)?
#sqrt5 proof
#q step
#class 10
A \(q^2=5k^2\) मिलना / Getting \(q^2=5k^2\)
B (q=0) मिलना / Getting (q=0)
C \(\sqrt{5}=5\) लिखना / Writing \(\sqrt{5}=5\)
D (p=q) मिलना / Getting (p=q)
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Correct Answer
A. \(q^2=5k^2\) मिलना / Getting \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
(p=5k) रखने के बाद \(q^2=5k^2\) मिलता है। / After substituting (p=5k), we get \(q^2=5k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(q^2\) (5) से विभाज्य है। / This makes \(q^2\) divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य नियम से (q) (5) से विभाज्य कहा जाता है। / By the prime rule, (q) is said to be divisible by (5).
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में गलत तरीका है?
Which statement is a wrong method in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common mistake
#square root
#proof
#class 10
A वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानना / Treating the square root as equal to the number inside it
B परिमेय मानकर भिन्न रूप लेना / Assuming rational and taking fraction form
C दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
D साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Taking contradiction from common factor
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Correct Answer
A. वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानना / Treating the square root as equal to the number inside it
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), या \(\sqrt{5}=5\) लिखना गलत है। / Writing \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), or \(\sqrt{5}=5\) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
सही विधि में परिमेय मानकर भिन्न लिखते हैं और वर्ग करते हैं। / The correct method assumes rationality, writes a fraction, and squares.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न मानें। / Do not treat a square root as equal to the number inside.
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यदि \(p^2=2q^2\) से (p=2k) और फिर (q=2r) मिलते हैं, तो यह कौन सा प्रमाण पूरा करता है?
If from \(p^2=2q^2\), (p=2k) and then (q=2r) are obtained, which proof does this complete?
#identify proof
#sqrt2
#class 10
A \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता / Irrationality of \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता / Irrationality of \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता / Irrationality of \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{4}\) की परिमेयता / Rationality of \(\sqrt{4}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता / Irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में मुख्य गुणनखंड (2) है। / In \(p^2=2q^2\), the key factor is (2).
Step 2
Why this answer is correct
(p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य मिलना \(\sqrt{2}\) के प्रमाण की पहचान है। / Finding both (p) and (q) divisible by (2) identifies the proof of \(\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
इससे सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास आता है। / This gives contradiction to the coprime condition.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में कौन सा विकल्प प्रमाण को पूरा करता है?
Which option completes the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#completion
#class 10
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
B \(\sqrt{3}=3\), इसलिए प्रमाण पूरा / \(\sqrt{3}=3\), so proof complete
C (q=0), इसलिए प्रमाण पूरा / (q=0), so proof complete
D (p=q), इसलिए प्रमाण पूरा / (p=q), so proof complete
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / In the proof, both (p) and (q) are proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन शुरू में वे सहअभाज्य माने गए थे। / But they were assumed coprime at the start.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास सिद्धि को पूरा करता है। / This contradiction completes the proof.
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