Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
इकाई स्थान पर (2,6,8) में से (3) विकल्प हैं और बाकी \(5\cdot4\cdot3\) तरीके हैं। कुल (180) है। / The units place has (3) choices from (2,6,8), and the rest have \(5\cdot4\cdot3\) ways. The total is (180).
स्थान क्रमित हैं, इसलिए \(^{10}P_2=10\cdot9=90\)। परीक्षा में rank या position आने पर permutation लगाएं। / Positions are ordered, so \(^{10}P_2=10\cdot9=90\). In exams, rank or position indicates permutation.
माला में घुमाव और पलटना दोनों समान हैं, इसलिए (\frac{(6-1)!}{2}=60)। परीक्षा में necklace को circular seating से अलग पहचानें। / In a necklace, both rotation and reflection are the same, so (\frac{(6-1)!}{2}=60). In exams, distinguish necklace from circular seating.
गोल मेज पर घुमाव समान माने जाते हैं, इसलिए संख्या ((8-1)!=5040) है। परीक्षा में circular table में ((n-1)!) लगाएं। / Rotations are considered the same around a circular table, so the number is ((8-1)!=5040). In exams, use ((n-1)!) for circular table seating.
तीनों लड़कों को एक ब्लॉक मानें, तब कुल (8) इकाइयां हैं। व्यवस्था \(8!\cdot3!=241920\) होगी। / Treat the three boys as one block, then there are (8) units. The arrangement is \(8!\cdot3!=241920\).
एक अक्षर (2) बार समान है, इसलिए संख्या \(\frac{8!}{2!}=20160\) होगी। परीक्षा में समान अक्षरों से भाग दें। / One letter is repeated (2) times, so the number is \(\frac{8!}{2!}=20160\). In exams, divide by factorials of repeated letters.
अंतिम अंक (5) निश्चित है और बाकी (4) स्थान \(^{6}P_4\) तरीकों से भरेंगे। इसलिए उत्तर (360) है। / The last digit is fixed as (5), and the remaining (4) places are filled in \(^{6}P_4\) ways. So the answer is (360).
सैकड़े के स्थान पर (0) नहीं आएगा, इसलिए \(6\cdot6\cdot5=180\)। परीक्षा में पहले अंक की शून्य-शर्त हमेशा जांचें। / The hundreds place cannot be (0), so \(6\cdot6\cdot5=180\). In exams, always check the zero restriction on the first digit.
अलग पदों में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{8}P_4=1680\)। परीक्षा में पद अलग हों तो combination नहीं लगाएं। / Order matters for different posts, so \(^{8}P_4=1680\). In exams, do not use combination when posts are different.
अलग-अलग (9) वस्तुओं की व्यवस्था (9!) होती है। परीक्षा में सभी वस्तुएं अलग हों तो सीधे factorial लगाएं। / The arrangement of (9) distinct objects is (9!). In exams, use factorial directly when all objects are distinct.
इकाई स्थान पर (5) विषम विकल्प हैं, लेकिन शेष में शुरुआत (0) न हो इसका ध्यान चाहिए। कुल \(5\cdot4\cdot4\cdot3=240\) है। / There are (5) odd choices for the unit place, but the first digit must not be (0). The total is \(5\cdot4\cdot4\cdot3=240\).
भाषण का क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{8}P_4=1680\)। परीक्षा में order of performance को permutation मानें। / The speaking order is important, so \(^{8}P_4=1680\). In exams, order of performance means permutation.
(9) अक्षरों में (2) अक्षर दो-दो बार आते हैं, इसलिए \(\frac{9!}{2!2!}=90720\); सही गणना में repeated letters को ठीक गिनना जरूरी है। / There are (9) letters with two different letters repeated twice, so \(\frac{9!}{2!2!}=90720\). In exams, accurate repeated-letter counting is essential.
विशेष व्यक्ति के लिए (5) अंदरूनी स्थान हैं और बाकी (6!) तरीकों से बैठेंगे। कुल \(5\cdot6!=3600\) है। / The particular person has (5) inner positions and the others sit in (6!) ways. The total is \(5\cdot6!=3600\).
दो विशेष किताबें सिरों पर (2!) तरीकों से और बाकी (4!) तरीकों से रखी जाएंगी। कुल \(2!\cdot4!=48\) है। / The two particular books occupy the ends in (2!) ways and the remaining books in (4!) ways. The total is \(2!\cdot4!=48\).
अंतिम अंक निश्चित (5) है और बाकी तीन स्थान \(6\cdot5\cdot4\) तरीकों से भरेंगे। कुल (120) है। / The last digit is fixed as (5), and the other three places are filled in \(6\cdot5\cdot4\) ways. The total is (120).
पहले लड़कों को (5!) तरीकों से बैठाएं, फिर (6) खाली स्थानों में (3) लड़कियां \(^{6}P_3\) तरीकों से बैठेंगी। कुल \(5!\cdot^{6}P_3=14400\) है। / Arrange boys first in (5!) ways, then place (3) girls in (6) gaps in \(^{6}P_3\) ways. The total is \(5!\cdot^{6}P_3=14400\).
(6) अक्षरों में (2) समान हैं, इसलिए \(\frac{6!}{2!}=360\)। परीक्षा में repeated letter को denominator में रखें। / There are (6) letters with (2) identical letters, so \(\frac{6!}{2!}=360\). In exams, put the repeated letter factorial in the denominator.
एक-एक अलग पुरस्कार बांटना (6!) तरीकों से होगा। परीक्षा में distinct prizes और one each हो तो factorial लगाएं। / Distributing one distinct prize to each student can be done in (6!) ways. In exams, distinct prizes with one each mean factorial.
विशेष व्यक्ति के लिए (2) स्थान हैं और बाकी (7!) तरीकों से बैठेंगे। कुल \(2\cdot7!=10080\) है। / The particular person has (2) possible positions and the remaining people sit in (7!) ways. The total is \(2\cdot7!=10080\).
सैकड़े के स्थान पर (4,6,8) आ सकते हैं और बाकी \(4\cdot3\) तरीके हैं। कुल \(3\cdot4\cdot3=36\) है। / The hundreds place can be (4,6,8), and the remaining places have \(4\cdot3\) ways. The total is \(3\cdot4\cdot3=36\).
गोल माला के लिए संख्या (\frac{(7-1)!}{2}=360) है। परीक्षा में garland में reflection को भी समान मानें। / For a circular garland, the number is (\frac{(7-1)!}{2}=360). In exams, count reflection as the same for garlands.
यह \(^{10}P_4=10\cdot9\cdot8\cdot7=5040\) है। परीक्षा में selected and arranged हो तो \(nP_r\) लगाएं। / This is \(^{10}P_4=10\cdot9\cdot8\cdot7=5040\). In exams, selected and arranged means use \(nP_r\).
(5) अक्षरों में (2) समान हैं, इसलिए \(\frac{5!}{2!}=60\)। परीक्षा में repeated vowel को ध्यान से देखें। / There are (5) letters with (2) identical letters, so \(\frac{5!}{2!}=60\). In exams, check repeated vowels carefully.
कोड में क्रम महत्वपूर्ण होता है, इसलिए \(^{6}P_3=120\)। परीक्षा में code word दिखे तो permutation लगाएं। / Order is important in a code, so \(^{6}P_3=120\). In exams, the word code indicates permutation.
माला में घुमाव और पलटना दोनों समान होते हैं, इसलिए (\frac{(9-1)!}{2}=20160)। परीक्षा में necklace और circular table में फर्क रखें। / For a necklace, rotations and reflections are both the same, so (\frac{(9-1)!}{2}=20160). In exams, distinguish necklaces from circular table arrangements.
पहले अंग्रेजी पुस्तकें (4!) तरीकों से रखें, फिर (5) gaps में (4) हिंदी पुस्तकें \(^{5}P_4\) तरीकों से रखें। कुल \(4!\cdot^{5}P_4=2880\) है। / Arrange English books first in (4!) ways, then place (4) Hindi books in (5) gaps in \(^{5}P_4\) ways. The total is \(4!\cdot^{5}P_4=2880\).
हजार के स्थान पर (0) नहीं आएगा, इसलिए \(5\cdot5\cdot4\cdot3=300\)। परीक्षा में पहले non-zero leading digit चुनें। / The thousands place cannot be (0), so \(5\cdot5\cdot4\cdot3=300\). In exams, first choose the non-zero leading digit.
दो pattern संभव हैं और प्रत्येक में \(5!\cdot5!\) व्यवस्थाएं हैं। कुल \(2\cdot5!\cdot5!=28800\) है। / There are two possible patterns and each has \(5!\cdot5!\) arrangements. The total is \(2\cdot5!\cdot5!=28800\).
कुल (8!) से साथ बैठने वाली \(7!\cdot2!\) व्यवस्थाएं घटाएं। उत्तर (40320-10080=30240) है। / Subtract the together arrangements \(7!\cdot2!\) from total (8!). The answer is (40320-10080=30240).
