Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(6) अक्षरों में (3) समान और (2) समान हैं, इसलिए \(\frac{6!}{3!2!}=60\)। परीक्षा में सभी repeated groups का गुणन हर में रखें। / There are (6) letters with (3) identical and (2) identical letters, so \(\frac{6!}{3!2!}=60\). In exams, multiply all repeated group factorials in the denominator.
एक-एक मिलान की संख्या (7!=5040) होती है। परीक्षा में distinct envelopes हों तो letters की arrangement करें। / The number of one-to-one placements is (7!=5040). In exams, distinct envelopes mean arranging the letters.
एक पंक्ति में (6) अलग चित्रों की व्यवस्था (6!=720) है। परीक्षा में row शब्द आए तो linear arrangement लें। / The arrangement of (6) distinct pictures in a row is (6!=720). In exams, the word row means linear arrangement.
तीन अलग पदक क्रमित हैं, इसलिए \(^{12}P_3=1320\)। परीक्षा में पदक अलग हों तो permutation प्रयोग करें। / The three medals are ordered, so \(^{12}P_3=1320\). In exams, use permutation when medals are different.
तीन स्थानों पर क्रम से (5,4,3) विकल्प हैं। कुल \(5\cdot4\cdot3=60\) है। / There are (5,4,3) choices for the three positions. The total is \(5\cdot4\cdot3=60\).
(9) अक्षरों में (3) अक्षर समान हैं, इसलिए \(\frac{9!}{3!}=60480\); लेकिन अंग्रेजी शब्द में (A) दो बार और (Y) दो बार हैं, अतः \(\frac{9!}{2!2!}=90720\)। हिंदी प्रश्न में अक्षर गिनते समय शब्द की दी गई स्थिति स्पष्ट देखें। / The English word has (9) letters with (A) twice and (Y) twice, so \(\frac{9!}{2!2!}=90720\). In exams, count repeated letters from the exact word given.
छह अलग वस्तुओं का छह अलग स्थानों पर विन्यास (6!=720) है। परीक्षा में matching positions अलग हों तो factorial लगाएं। / The arrangement of six distinct objects in six distinct positions is (6!=720). In exams, use factorial when matching positions are distinct.
तीन अलग पद हैं, इसलिए \(^{9}P_3=504\)। परीक्षा में पदों के नाम अलग हों तो क्रम बदलने से परिणाम बदलता है। / There are three different posts, so \(^{9}P_3=504\). In exams, different named posts make order important.
यह (5) व्यक्तियों और (5) कमरों की एक-एक व्यवस्था है, इसलिए (5!=120)। परीक्षा में distinct rooms हों तो assignment भी permutation है। / This is a one-to-one arrangement of (5) persons and (5) rooms, so (5!=120). In exams, assignments to distinct rooms are permutations.
सभी उपलब्ध अंतिम अंक सम हैं, पर सैकड़े में (0) नहीं हो सकता। कुल \(4\cdot4\cdot3=48\) संख्याएं बनेंगी। / All possible last digits are even, but the hundreds place cannot be (0). Total numbers are \(4\cdot4\cdot3=48\).
चार लाल गेंदों को एक ब्लॉक मानें, तब \(4!\cdot4!=576\)। परीक्षा में ब्लॉक और बाहरी इकाइयों को अलग-अलग व्यवस्थित करें। / Treat the four red balls as one block, then \(4!\cdot4!=576\). In exams, arrange the block and outside units separately.
क्रम सहित चयन \(^{11}P_3=11\cdot10\cdot9=990\) है। परीक्षा में arranged शब्द दिखे तो permutation लें। / Selection with order is \(^{11}P_3=11\cdot10\cdot9=990\). In exams, the word arranged suggests permutation.
सभी (5) अक्षर अलग हैं, इसलिए (5!=120)। परीक्षा में समान अक्षर न हों तो सीधे (n!) लगाएं। / All (5) letters are distinct, so (5!=120). In exams, use (n!) directly when there are no repeated letters.
पासवर्ड में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{8}P_5=6720\)। परीक्षा में पासवर्ड को arrangement की तरह लें। / Order matters in a password, so \(^{8}P_5=6720\). In exams, treat passwords as arrangements.
दो विषयों को दो ब्लॉक मानें, इसलिए \(2!\cdot5!\cdot3!=1440\)। परीक्षा में हर ब्लॉक की अंदरूनी व्यवस्था अलग से करें। / Treat the two subjects as two blocks, so \(2!\cdot5!\cdot3!=1440\). In exams, arrange inside each block separately.
इकाई स्थान पर (3) विषम अंक हैं और शेष स्थान \(5\cdot4\cdot3\) तरीकों से भरते हैं। कुल (180) संख्याएं मिलती हैं। / There are (3) odd choices for the units place and the remaining places are filled in \(5\cdot4\cdot3\) ways. The total is (180).
इकाई स्थान पर (3) सम विकल्प हैं और बाकी \(5\cdot4\cdot3\) तरीके हैं, इसलिए (180)। परीक्षा में अंतिम अंक की शर्त पहले लगाएं। / There are (3) even choices for the units place and \(5\cdot4\cdot3\) ways for the rest, so (180). In exams, apply the last-digit condition first.
(6) अक्षरों में (2) अक्षर समान हैं, इसलिए \(\frac{6!}{2!}=360\)। परीक्षा में केवल समान अक्षरों की पुनरावृत्ति गिनें। / Among (6) letters, (2) are identical, so \(\frac{6!}{2!}=360\). In exams, count only the repeated identical letters.
दो व्यक्तियों को एक ब्लॉक मानें, गोल में (6) इकाइयां हैं, इसलिए \(5!\cdot2!=240\)। परीक्षा में ब्लॉक के अंदर की व्यवस्था भी गुणा करें। / Treat the two people as one block, giving (6) units in a circle, so \(5!\cdot2!=240\). In exams, also multiply by the internal arrangement of the block.
गोल व्यवस्था में संख्या ((n-1)!) होती है, इसलिए (5!=120)। परीक्षा में घुमाव को समान मानें। / In a circular arrangement, the number is ((n-1)!), so (5!=120). In exams, rotations are considered the same.
चार लड़कियों को एक ब्लॉक मानें, तब \(6!\cdot4!=17280\)। परीक्षा में साथ बैठने की शर्त में ब्लॉक विधि लगाएं। / Treat the four girls as one block, then \(6!\cdot4!=17280\). In exams, use the block method for togetherness conditions.
संकेत में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{9}P_4=3024\)। परीक्षा में संकेत और कोड जैसे शब्दों में permutation सोचें। / Order is important in a signal, so \(^{9}P_4=3024\). In exams, words like signal and code usually indicate permutation.
कुल (6) अक्षरों में (2) समान हैं, इसलिए \(\frac{6!}{2!}=360\)। परीक्षा में समान अक्षरों का factorial हर में रखें। / There are (6) letters with (2) identical letters, so \(\frac{6!}{2!}=360\). In exams, put factorials of repeated letters in the denominator.
सैकड़े के स्थान पर (0) नहीं आ सकता, इसलिए \(4\cdot4\cdot3=48\)। परीक्षा में प्रथम अंक पर शून्य की शर्त जरूर जांचें। / The hundreds place cannot be (0), so \(4\cdot4\cdot3=48\). In exams, always check the zero restriction on the first digit.
तीन स्थानों के लिए (5,4,3) विकल्प हैं, इसलिए \(5\cdot4\cdot3=60\)। परीक्षा में बिना पुनरावृत्ति में विकल्प घटते हैं। / There are (5,4,3) choices for the three places, so \(5\cdot4\cdot3=60\). In exams, choices reduce without repetition.
पहले कुर्सियां अलग हैं और (4) विद्यार्थी बैठेंगे, इसलिए \(^{6}P_4=360\)। परीक्षा में खाली कुर्सियों को भी ध्यान में रखें। / The chairs are distinct and (4) students are seated, so \(^{6}P_4=360\). In exams, account for unused chairs carefully.
तीन क्रमित स्थानों के लिए \(^{7}P_3=7\cdot6\cdot5=210\)। परीक्षा में स्थानों का क्रम हमेशा महत्वपूर्ण मानें। / For three ordered positions, \(^{7}P_3=7\cdot6\cdot5=210\). In exams, ranks always mean order matters.
यहां (5) अक्षरों में (2) समान हैं, इसलिए संख्या \(\frac{5!}{2!}=60\) है। परीक्षा में समान अक्षरों से भाग देना न भूलें। / There are (5) letters with (2) identical letters, so the number is \(\frac{5!}{2!}=60\). In exams, remember to divide by identical letters.
अलग पदों के लिए क्रम महत्वपूर्ण होता है, इसलिए \(^{10}P_2=90\)। परीक्षा में पद अलग हों तो संयोजन नहीं लगाएं। / For different posts, order matters, so \(^{10}P_2=90\). In exams, do not use combinations when posts are distinct.
अलग-अलग वस्तुओं की रैखिक व्यवस्था (n!) होती है। परीक्षा में पहले वस्तुओं की संख्या पहचानें। / A linear arrangement of distinct objects is (n!). In exams, first identify the number of objects.
