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\(x-y\leq 0\) से \(y\geq x\) और \(x+y\leq 4\) मिलकर ये त्रिभुज बनाते हैं। परीक्षा सुझाव: हर शीर्ष को सभी असमानताओं में रखकर जाँचें। / The condition \(x-y\leq 0\) gives \(y\geq x\), and together with \(x+y\leq 4\) these form the triangle. Exam tip: Test every vertex in all inequalities.
A. असीमित क्षेत्र जो मूल बिंदु को शामिल नहीं करता/Unbounded region not containing the origin
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \(0\geq 10\) असत्य करता है इसलिए रेखा से दूर वाला प्रथम चतुर्थांश भाग लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: \(\geq\) वाली रेखा के लिए सीमा शामिल रहती है। / The origin makes \(0\geq 10\) false, so the first-quadrant side away from the line is taken. Exam tip: With \(\geq\), the boundary line remains included.
नीचे का अर्थ (y) का मान रेखा से कम है और सीमा रहित होने से (<) आता है। परीक्षा सुझाव: ऊपर-नीचे वाले प्रश्नों में (y) की तुलना सीधे करें। / Below means the value of (y) is less than the line value, and open boundary gives (<). Exam tip: In above-below questions, compare (y) directly.
B. कटान ((9,0)), ((0,3)) हैं और मूल बिंदु अंदर है/Intercepts are ((9,0)), ((0,3)) and origin is inside
Explanation
Simple Explanation
(y=0) पर (x=9) और (x=0) पर (y=3) मिलता है। परीक्षा सुझाव: कटान निकालते समय एक चर को शून्य रखें। / Putting (y=0) gives (x=9), and putting (x=0) gives (y=3). Exam tip: Set one variable to zero to find intercepts.
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद ((2,2)) है और अक्षों पर सीमाएँ ((3,0)), ((0,3)) देती हैं। परीक्षा सुझाव: सभी संभावित शीर्षों को असमानताओं से सत्यापित करें। / The two lines intersect at ((2,2)), and the axes give the limits ((3,0)) and ((0,3)). Exam tip: Verify all possible vertices with the inequalities.
मूल बिंदु (x+y<5) को सत्य करता है इसलिए उसे हटाने के लिए (x+y>5) होगा। परीक्षा सुझाव: सीमा रहित होने पर केवल (<) या (>) चुनें। / The origin satisfies (x+y<5), so excluding it gives (x+y>5). Exam tip: If the boundary is excluded, choose only (<) or (>).
C. मूल बिंदु वाला पक्ष सीमा सहित/Side containing origin with boundary
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq 6\) सत्य है इसलिए मूल बिंदु वाला पक्ष लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: जब संभव हो तो ((0,0)) सबसे तेज परीक्षण बिंदु है। / Substituting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing the origin is taken. Exam tip: ((0,0)) is the fastest test point when allowed.
((1,3)) पर (2-3<1) और \(1+3\geq 4\) दोनों सत्य हैं। परीक्षा सुझाव: विकल्पों को सीधे असमानताओं में रखकर जाँचें। / At ((1,3)), both (2-3<1) and \(1+3\geq 4\) are true. Exam tip: Substitute options directly into the inequalities.
पहली दो शर्तों से \(x+y\leq 5\) अधिकतम हो सकता है इसलिए \(x+y\geq 10\) असंभव है। परीक्षा सुझाव: ग्राफ से पहले चरम सीमा सोचें। / From the first two conditions, the maximum possible (x+y) is (5), so \(x+y\geq 10\) is impossible. Exam tip: Think about extreme limits before graphing.
रेखा (x+y=6) शामिल नहीं है पर क्षेत्र त्रिभुज के भीतर सीमित है। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता बंदपन को बदल देती है। / The line (x+y=6) is not included, but the region remains within a triangle. Exam tip: A strict inequality changes closedness.
कटान ((6,0)) और ((0,4)) हैं इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\) है। परीक्षा सुझाव: प्रथम चतुर्थांश त्रिभुज में अक्षीय कटानों से क्षेत्रफल निकालें। / The intercepts are ((6,0)) and ((0,4)), so the area is \(\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\). Exam tip: Use axis intercepts for the first-quadrant triangle.
एक ही राशि (x+y) साथ-साथ (4) से कम और (7) से अधिक नहीं हो सकती। परीक्षा सुझाव: समानांतर सीमा रेखाओं में खाली पट्टी पहचानें। / The same quantity (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) simultaneously. Exam tip: Detect the empty gap between parallel boundary lines.
अक्षों की दिशा से \(x\geq 0\), \(y\geq 0\) और रेखा के नीचे से \(2x+y\leq 10\) मिलता है। परीक्षा सुझाव: शब्दों को पहले अक्षीय असमानताओं में बदलें। / The axis directions give \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), and being below the line gives \(2x+y\leq 10\). Exam tip: Convert words into axis inequalities first.
A. \(y\geq 4x-8\), सीमा सहित/\(y\geq 4x-8\), with boundary
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक (y) को हटाते समय असमानता की दिशा बदलती है। परीक्षा सुझाव: ऋण से भाग देने पर संकेत पलटना न भूलें। / When removing the negative coefficient of (y), the inequality sign reverses. Exam tip: Never forget to reverse the sign when dividing by a negative number.
C. हल क्षेत्र में है और पहली सीमा पर है/It is in the solution region and on the first boundary
Explanation
Simple Explanation
\(2+2\cdot3=8\) और \(3\cdot2-3=3>1\) इसलिए बिंदु मान्य है। परीक्षा सुझाव: सीमा पर बिंदु तभी हटता है जब असमानता कठोर हो। / Since \(2+2\cdot3=8\) and \(3\cdot2-3=3>1\), the point is valid. Exam tip: A boundary point is excluded only for a strict inequality.
B. पहली टूटी और दूसरी ठोस/First dashed and second solid
Explanation
Simple Explanation
(x+2y<8) कठोर असमानता है इसलिए उसकी सीमा शामिल नहीं है। परीक्षा सुझाव: (<) और (>) के लिए टूटी रेखा बनाइए। / The inequality (x+2y<8) is strict, so its boundary is not included. Exam tip: Use a dashed line for (<) and (>).
रेखाओं के प्रतिच्छेद और (y=0) पर कटान से ये तीन शीर्ष मिलते हैं। परीक्षा सुझाव: हर सीमा रेखा को जोड़ी में हल करके शीर्ष जाँचिए। / The intersections of the boundary lines and their cuts on (y=0) give these three vertices. Exam tip: Solve boundary lines in pairs and verify each vertex.
D. रेखा के ऊपर वाला असीमित भाग सीमा सहित/Unbounded part above the line with boundary
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु से \(0\geq 12\) असत्य है इसलिए रेखा से दूर वाला भाग चुना जाता है। परीक्षा सुझाव: प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र को हमेशा अक्षों से भी मिलाइए। / The origin gives \(0\geq 12\), which is false, so the side away from the origin is chosen. Exam tip: Always combine the region with the axes in the first quadrant.
C. टूटी रेखा और मूल बिंदु से विपरीत भाग/Dashed line and side opposite origin
Explanation
Simple Explanation
( (0,0) ) रखने पर (0>4) असत्य है इसलिए विपरीत पक्ष लिया जाएगा। परीक्षा सुझाव: (>) में सीमा रेखा शामिल नहीं होती। / Substituting ( (0,0) ) gives (0>4), which is false, so the opposite side is taken. Exam tip: (>) does not include the boundary.
B. मूल बिंदु की ओर और सीमा सहित/Toward origin with boundary
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq 6\) सत्य है इसलिए वही पक्ष लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: \(\leq\) में सीमा रेखा शामिल होती है। / Putting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing it is taken. Exam tip: \(\leq\) includes the boundary line.
(x+2=-x+4) से (2x=2), इसलिए (x=1) और (y=3) है। तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद क्षेत्र की शुरुआत या कोना बता सकता है। / From (x+2=-x+4), (2x=2), so (x=1) and (y=3). The intersection of slant boundaries can mark the start or a corner of a region.
दो ऊर्ध्वाधर और दो क्षैतिज सीमाएं मिलकर बंद आयत बनाती हैं। ग्राफ में समानांतर सीमाओं की जोड़ी से आकार तुरंत पहचाना जा सकता है। / Two vertical and two horizontal boundaries together form a closed rectangle. In a graph, pairs of parallel boundaries help identify the shape quickly.
( (3,3) ) पर (6+9=15<18), इसलिए यह अंदर है और अक्षों पर नहीं है। अंदरूनी बिंदु के लिए सख्त कम मान देखें। / At ( (3,3) ), (6+9=15<18), so it is inside and not on the axes. For an interior point, look for a strict inequality value.
(y=1) पर \(x\le8\) और \(x\le4\), इसलिए कड़ी सीमा (x=4) है। दाएं अंतिम बिंदु के लिए सभी ऊपरी सीमाओं में छोटी सीमा चुनें। / At (y=1), \(x\le8\) and \(x\le4\), so the tighter limit is (x=4). For the right endpoint, choose the smaller upper bound from all constraints.
( (1,1) ) पर (x+y=2), जो (3) से कम है। बहु-असमानता प्रश्नों में अस्वीकृति के लिए एक असत्य शर्त काफी है। / At ( (1,1) ), (x+y=2), which is less than (3). In multi-inequality questions, one false condition is enough to reject a point.
रेखा (x=4) के बाईं ओर \(x\le4\) और (y=-1) के ऊपर \(y\ge-1\) होता है। ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज सीमाओं के लिए दिशा अलग-अलग पहचानें। / Left of (x=4) is \(x\le4\), and above (y=-1) is \(y\ge-1\). For vertical and horizontal boundaries, identify direction separately.
दोनों असमानताएं रेखाओं के ऊपर की ओर क्षेत्र देती हैं और क्षेत्र दूर तक फैलता है। \(\ge\) वाली सीमाएं अक्सर असीमित क्षेत्र बना सकती हैं। / Both inequalities select regions above the boundary lines, and the common region extends indefinitely. Conditions with \(\ge\) can often create an unbounded region.
B. रेखा के नीचे या रेखा सहित/Below the line including the line
Explanation
Simple Explanation
\(y\le\) रूप में असमानता रेखा के नीचे वाले भाग को दर्शाती है। बराबरी होने से सीमा रेखा भी शामिल होती है। / An inequality in the form \(y\le\) represents the region below the line. The equality part means the boundary line is included.
दोनों समीकरणों से (x=y) और (3x=14), इसलिए शीर्ष ( \left\(\frac{14}{3},\frac{14}{3}\right\) ) है। सममित सीमाओं में (x=y) जल्दी मिल सकता है। / The two equations give (x=y) and (3x=14), so the vertex is ( \left\(\frac{14}{3},\frac{14}{3}\right\) ). Symmetric boundaries can quickly give (x=y).
( (1,4) ) पर \(1\le3\) और \(4\ge3\) सत्य हैं। हर विकल्प में ऊर्ध्वाधर सीमा और तिरछी सीमा दोनों जांचें। / At ( (1,4) ), \(1\le3\) and \(4\ge3\) are true. Check both the vertical boundary and the oblique boundary for each option.
