Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. हल क्षेत्र रिक्त है/The solution region is empty
Explanation
Simple Explanation
(x+y) एक साथ (4) से कम या बराबर और (7) से अधिक या बराबर नहीं हो सकता। समान दिशा की समानांतर सीमाएं खाली क्षेत्र दे सकती हैं। / The value (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) simultaneously. Parallel bounds in opposite positions can give an empty region.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (4x+4y=30) और सममिति से \(x=y=\frac{15}{4}\) है। समान संरचना वाली रेखाओं में सममिति का उपयोग करें। / Adding the equations gives (4x+4y=30), and by symmetry \(x=y=\frac{15}{4}\). Use symmetry when boundary lines have a similar structure.
(x=2) पर (y=4) और (y=1) पर (x=8) मिलता है। सीमा रेखा को दी गई निचली सीमाओं के साथ काटें। / At (x=2), (y=4); at (y=1), (x=8). Intersect the boundary line with the given lower limits.
( (2,2) ) पर दोनों असमानताओं में मान (10) आता है, जो (12) से कम है। इसलिए यह विकल्प सही नहीं हो सकता और सही हलों के लिए दोनों मान कम से कम (12) होने चाहिए। / At ( (2,2) ), both left sides equal (10), which is less than (12). Therefore this option cannot be correct and true solutions must make both values at least (12).
\(x-3y\le9\) से \(-3y\le9-x\), इसलिए \(y\ge\frac{x-9}{3}\) है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह उलटता है। / From \(x-3y\le9\), we get \(-3y\le9-x\), hence \(y\ge\frac{x-9}{3}\). Dividing by a negative reverses the sign.
इस क्षेत्र के शीर्ष ( (0,0) ), ( (3,0) ), ( (2,2) ), ( (0,3) ) हैं, इसलिए दिया गया हर बिंदु शीर्ष है। प्रश्न में सही उत्तर कोई नहीं होना चाहिए। / The vertices are ( (0,0) ), ( (3,0) ), ( (2,2) ), and ( (0,3) ), so every listed point is a vertex. The correct choice should have been none of these.
एक ही समय में (x+y) का (5) से कम और अधिक होना असंभव है। विरोधी असमानताएं मिलने पर हल रिक्त हो सकता है। / It is impossible for (x+y) to be both less than and greater than (5) at the same time. Opposite inequalities can make the solution empty.
सीमाएं (x=1), (y=2) और (x+y=8) से ( (1,2) ), ( (6,2) ), ( (1,7) ) मिलते हैं। बदले हुए अक्षीय प्रतिबंधों को साधारण \(x\ge0\), \(y\ge0\) न मानें। / The boundaries (x=1), (y=2), and (x+y=8) give ( (1,2) ), ( (6,2) ), and ( (1,7) ). Do not treat shifted restrictions as simple \(x\ge0\), \(y\ge0\).
(x)-अक्ष की रेखा (y=0) है और नीचे के लिए (y) शून्य से कम या बराबर होता है। सीमा शामिल होने पर \(\le\) का प्रयोग करें। / The (x)-axis is (y=0), and below it (y) is less than or equal to zero. Use \(\le\) when the boundary is included.
अक्षों पर प्रतिच्छेद ( (6,0) ) और ( (0,4) ) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times6\times4=12\) है। त्रिभुज क्षेत्र के लिए आधार और ऊंचाई पहचानें। / The intercepts are ( (6,0) ) and ( (0,4) ), so the area is \(\frac{1}{2}\times6\times4=12\). For a triangular region, identify base and height.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच का पट्टी क्षेत्र/A strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाओं की ढाल (3) है, इसलिए वे समानांतर हैं। असमानताएं उनके बीच का पट्टी क्षेत्र देती हैं। / Both lines have slope (3), so they are parallel. The inequalities give a strip-like region between them.
(x+2y=9) और (3x+y=11) हल करने पर \(x=\frac{13}{5}\), \(y=\frac{16}{5}\) मिलता है। भिन्नात्मक शीर्ष भी ग्राफीय हल में सामान्य हैं। / Solving (x+2y=9) and (3x+y=11) gives \(x=\frac{13}{5}\), \(y=\frac{16}{5}\). Fractional vertices are common in graphical solutions.
\(0\le x\le6\) और \(0\le y\le5\) क्षेत्र को आयत में सीमित करते हैं। \(x+y\ge4\) केवल उसका एक कोना काटता है। / The conditions \(0\le x\le6\) and \(0\le y\le5\) restrict the region inside a rectangle. The inequality \(x+y\ge4\) only cuts off one corner.
रेखा को \(y=\frac{18-2x}{3}\) लिखने पर ऊपर का भाग \(y\ge\frac{18-2x}{3}\) है। यह \(2x+3y\ge18\) के बराबर है। / Writing the line as \(y=\frac{18-2x}{3}\), the upper side is \(y\ge\frac{18-2x}{3}\). This is equivalent to \(2x+3y\ge18\).
(x+y=7) और (x-y=1) हल करने पर ( (4,3) ) मिलता है। सक्रिय सीमाओं का प्रतिच्छेद शीर्ष देता है। / Solving (x+y=7) and (x-y=1) gives ( (4,3) ). The intersection of active boundaries gives a vertex.
(x=0) रखने पर \(4y\le16\), इसलिए \(y\le4\) है। अक्षों पर अधिकतम बिंदु निकालने के लिए दूसरे चर को शून्य रखें। / Putting (x=0) gives \(4y\le16\), so \(y\le4\). To find an axis intercept limit, put the other variable equal to zero.
( (2,3) ) पर (2x-y=1), इसलिए यह सीमा पर है। सख्त असमानता (<) में सीमा बिंदु शामिल नहीं होते। / At ( (2,3) ), (2x-y=1), so it lies on the boundary. Strict inequality (<) does not include boundary points.
हमें (x-1< -x+7) चाहिए, इसलिए (2x<8) और (x<4) मिलता है। दो रेखाओं के बीच क्षेत्र में ऊपरी और निचली सीमा की तुलना करें। / We need (x-1< -x+7), so (2x<8) and (x<4). For a region between two lines, compare the upper and lower bounds.
\(x\le5\) और \(y\le4\) अक्षों के साथ आयताकार सीमित क्षेत्र बनाते हैं। सीमित क्षेत्र के लिए सभी दिशाओं में बंद सीमा चाहिए। / The conditions \(x\le5\) and \(y\le4\) with the axes form a bounded rectangular region. A bounded region needs closing boundaries in all directions.
दोनों रेखाओं को घटाने पर (2x=4), इसलिए (x=2) और (y=3) है। शीर्षों के लिए रेखीय समीकरणों का युग्म हल करें। / Subtracting the two lines gives (2x=4), so (x=2) and (y=3). For vertices, solve the pair of linear equations.
C. हल क्षेत्र के विपरीत तरफ/On the opposite side of the solution region
Explanation
Simple Explanation
मूलबिंदु पर (0>24) असत्य है, इसलिए मूलबिंदु वाला भाग हल नहीं है। असत्य परीक्षण-बिंदु मिलने पर दूसरी तरफ छायांकन करें। / At the origin, (0>24) is false, so the side containing the origin is not the solution. If the test point fails, shade the other side.
A. ( (10,0) ) और ( (0,4) )/( (10,0) ) and ( (0,4) )
Explanation
Simple Explanation
सीमा रेखा (2x+5y=20) है, जिससे (x=10) और (y=4) प्रतिच्छेद मिलते हैं। पहले रेखा बनाना ग्राफीय हल का आधार है। / The boundary line is (2x+5y=20), giving intercepts (x=10) and (y=4). Drawing the line first is the base of graphical solution.
( (2,3) ) पर \(-1\le2\) और \(5\ge4\) दोनों सत्य हैं। संयुक्त क्षेत्र में हर दी गई शर्त जांचनी चाहिए। / At ( (2,3) ), \(-1\le2\) and \(5\ge4\) are both true. In a common region, every given condition must be checked.
(5x-2y<10) से \(y>\frac{5x-10}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक हटाते समय चिन्ह पलटना न भूलें। / From (5x-2y<10), we get \(y>\frac{5x-10}{2}\). Do not forget to reverse the sign when removing a negative coefficient.
\(x\le4\) और \(y\le3\) से अधिकतम (x+y=7) हो सकता है। इसलिए \(x+y\le8\) अलग से क्षेत्र नहीं घटाती। / From \(x\le4\) and \(y\le3\), the maximum possible (x+y) is (7). Hence \(x+y\le8\) does not further reduce the region.
पहले चतुर्थांश में रेखा (x+y=5) के ऊपर का भाग असीमित फैलता है। ऐसे प्रश्न में दिशा और अक्षों की शर्त साथ देखें। / In the first quadrant, the region above (x+y=5) extends without bound. In such questions, check both direction and axis restrictions.
दोनों समीकरण हल करने पर (x=3) और (y=2) मिलता है। ग्राफ में शीर्ष निकालने के लिए संबंधित सीमा रेखाएं बराबरी में लिखें। / Solving the two equations gives (x=3) and (y=2). To find a vertex, write the related boundary lines as equalities.
D. किसी भी असमानता को संतुष्ट नहीं करता/It satisfies neither inequality
Explanation
Simple Explanation
( (2,2) ) पर दोनों पक्षों में मान (6) आता है, जो (10) से कम है। संयुक्त हल में सभी असमानताएं एक साथ सत्य होनी चाहिए। / At ( (2,2) ), both left sides equal (6), which is less than (10). In a combined solution, all inequalities must be true together.
B. मूलबिंदु वाला भाग स्वीकार होगा/The side containing origin is accepted
Explanation
Simple Explanation
\(0\ge-5\) सत्य है, इसलिए मूलबिंदु वाला भाग हल क्षेत्र है। सरल परीक्षण-बिंदु से छायांकन जल्दी तय होता है। / Since \(0\ge-5\) is true, the side containing the origin is the solution region. A simple test point quickly decides the shading.
( (3,2) ) पर (8<10) और (9<12), इसलिए यह अंदर है। सीमा पर होने के लिए कम से कम एक असमानता बराबरी बननी चाहिए। / At ( (3,2) ), (8<10) and (9<12), so it is strictly inside. A boundary point must make at least one inequality an equality.
