Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(x+y=6) और (x+2y=8) को हल करने पर ( (4,2) ) मिलता है। शीर्ष अक्सर सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेद से मिलते हैं। / Solving (x+y=6) and (x+2y=8) gives ( (4,2) ). Vertices usually come from intersections of boundary lines.
B. रेखा (4x+y=10) बिंदुदार होगी/The line (4x+y=10) is dotted
Explanation
Simple Explanation
(<) सख्त असमानता है, इसलिए सीमा रेखा शामिल नहीं होती। ग्राफ में ऐसी सीमा रेखा बिंदुदार बनाते हैं। / The sign (<) is strict, so the boundary line is not included. Such a boundary is drawn dotted in the graph.
\(3x-2y \ge 6\) से \(y \le \frac{3x-6}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय असमानता का चिन्ह बदलता है। / From \(3x-2y \ge 6\), we get \(y \le \frac{3x-6}{2}\). When dividing by a negative number, the inequality sign reverses.
( (3,3) ) पर (3+6=9>8) मिलता है। सख्त असमानता में सीमा रेखा के बिंदु शामिल नहीं होते। / At ( (3,3) ), (3+6=9>8). For strict inequalities, points on the boundary line are not included.
A. सीमा रेखा ठोस होगी और मूलबिंदु वाला भाग छायांकित होगा/Boundary is solid and the side containing origin is shaded
Explanation
Simple Explanation
\(0 \le 12\) सत्य है, इसलिए मूलबिंदु वाला अर्ध-तल लिया जाता है। परीक्षा में पहले सीमा रेखा और फिर परीक्षण-बिंदु जांचें। / Since \(0 \le 12\) is true, the half-plane containing the origin is taken. In exams, check the boundary line first and then use a test point.
((3,1)) रखने पर (7<7) नहीं बल्कि (2x+y=7) होता है, इसलिए यह गलत है। सही जांच से कोई विकल्प नहीं? / For ((3,1)), (2x+y=7), so it fails the strict inequality. This item needs a point strictly inside the region.
सीमाओं के प्रतिच्छेद से ((2,3)), ((4,1)), ((4,3)) मिलते हैं। ग्राफ में केवल वे प्रतिच्छेद लें जो सभी असमानताओं को संतुष्ट करें। / Boundary intersections give ((2,3)), ((4,1)), and ((4,3)). On a graph, keep only intersections satisfying all inequalities.
A. वह आधा तल जिसमें ((0,0)) है/The half-plane containing ((0,0))
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\geq 6\) गलत है, इसलिए मूल वाला आधा तल हटेगा। परीक्षा में जांच-बिंदु सीमा रेखा पर नहीं होना चाहिए। / Substituting ((0,0)) gives \(0\geq 6\), which is false, so the half-plane containing the origin is rejected. In exams, choose a test point not lying on the boundary.
D. (3x+y=6) टूटी और (x-y=2) ठोस होगी/(3x+y=6) dashed and (x-y=2) solid
Explanation
Simple Explanation
कड़ी असमानता (>) के लिए सीमा शामिल नहीं होती, इसलिए रेखा टूटी होती है। \(\leq\) में सीमा शामिल होती है, इसलिए रेखा ठोस होती है। / A strict inequality (>) excludes the boundary, so its line is dashed. The inequality \(\leq\) includes the boundary, so its line is solid.
B. बिंदु (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\))/Point (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाओं को साथ हल करने पर \(x=y=\frac{8}{3}\) मिलता है। परीक्षा में शीर्ष निकालने के लिए सीमा रेखाओं को समीकरण मानें। / Solving the two boundary lines together gives \(x=y=\frac{8}{3}\). In exams, find vertices by treating boundary lines as equations.
(x+2y=14) और (3x+y=18) हल करने पर \(x=\frac{22}{5}\), \(y=\frac{24}{5}\) मिलता है। ग्राफ में तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद अलग से जरूर निकालें। / Solving (x+2y=14) and (3x+y=18) gives \(x=\frac{22}{5}\), \(y=\frac{24}{5}\). In a graph, always find the intersection of slant boundaries separately.
(x+y=6) और (2x+y=10) घटाने पर (x=4), फिर (y=2)। संयुक्त ग्राफ के कोने सीमा रेखाओं से मिलते हैं। / Subtracting (x+y=6) from (2x+y=10) gives (x=4), then (y=2). Corners of a common graph come from boundary lines.
B. टूटी रेखा (x-y=4) के उस ओर जहाँ ((5,0)) है/Dotted line on the side containing ((5,0))
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) होने से सीमा रेखा शामिल नहीं होगी और ((5,0)) रखने पर (5>4) सत्य है। कड़ी असमानता में टूटी रेखा बनाएं। / The sign (>) excludes the boundary line and substituting ((5,0)) gives (5>4). Use a dotted line for strict inequalities.
A. ठोस रेखा और मूल बिंदु वाला अर्ध-समतल/Solid line and half-plane containing origin
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\le\) होने से सीमा रेखा शामिल होती है और ((0,0)) रखने पर \(0 \le 12\) सत्य है। परीक्षा में पहले मूल बिंदु से परीक्षण करें। / The sign \(\le\) includes the boundary line and substituting ((0,0)) gives \(0 \le 12\). In exams, test the origin first.
((2,4)) में \(x\ge 1\), \(y\ge 2\), और \(2+4\le 7\) सत्य हैं। परीक्षा में सभी असमिकाएं एक-एक करके जांचें। / For ((2,4)), \(x\ge 1\), \(y\ge 2\), and \(2+4\le 7\) are true. Check all inequalities one by one.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी/Strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाओं की slope समान है और क्षेत्र इनके बीच आता है। परीक्षा में समान slope से parallel lines पहचानें। / Both lines have the same slope and the region lies between them. Use equal slopes to identify parallel lines.
(x) और (y) दोनों सीमित intervals में हैं, इसलिए आयत बनता है। परीक्षा में ऐसी असमिकाओं को vertical और horizontal lines से बनाएं। / Both (x) and (y) lie in bounded intervals, so a rectangle is formed. Use vertical and horizontal lines for such inequalities.
सीमा रेखा पाने के लिए असमिका चिन्ह को बराबर में बदलते हैं। परीक्षा में पहले boundary line बनाएं। / To get the boundary line, replace the inequality sign by equality. First draw the boundary line in exams.
क्योंकि असमिका में (>) है, सीमा रेखा शामिल नहीं होती। परीक्षा में (<) और (>) के लिए टूटी रेखा याद रखें। / Since the inequality has (>), the boundary line is not included. Remember dashed lines for (<) and (>).
\(0+0\le 6\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाली ओर छायांकित होगी। परीक्षा में हमेशा परीक्षण बिंदु लगाएं। / \(0+0\le 6\) is true, so the side containing origin is shaded. In exams, always use a test point.
C. \(\frac{15}{2}\) वर्ग इकाई/\(\frac{15}{2}\) square units
Explanation
Simple Explanation
क्षेत्र के शीर्ष ((1,0)), ((4,0)), ((4,1)), ((1,4)) हैं। समांतर भुजाओं (4) और (1) तथा दूरी (3) से क्षेत्रफल (\frac{1}{2}(4+1)3=\frac{15}{2}) है। / The vertices are ((1,0)), ((4,0)), ((4,1)), and ((1,4)). With parallel sides (4) and (1) and distance (3), the area is (\frac{1}{2}(4+1)3=\frac{15}{2}).
(x+2y=6) और (2x+y=6) हल करने पर (x=2) और (y=2) मिलता है। यह संयुक्त क्षेत्र का महत्वपूर्ण शीर्ष है। / Solving (x+2y=6) and (2x+y=6) gives (x=2) and (y=2). This is an important vertex of the common region.
जहां (y) का मान (x) से बड़ा या बराबर है वहां \(y\ge x\) होगा। सीमा रेखा (y=x) शामिल होने पर बराबरी भी आती है। / Where (y) is greater than or equal to (x), the inequality is \(y\ge x\). If the boundary (y=x) is included, equality is also used.
((5,2)) रखने पर (5+10=15) मिलता है और \(\ge\) में बराबरी शामिल है। इसलिए यह हल क्षेत्र में है। / Substituting ((5,2)) gives (5+10=15), and equality is included in \(\ge\). Therefore it lies in the solution region.
पूरी असमानता को (-1) से गुणा करने पर चिन्ह पलटता है। इसलिए \(2x+y\ge 6\) मिलता है। / Multiplying the whole inequality by (-1) reverses the sign. Hence \(2x+y\ge 6\) is obtained.
पूरी असमानता को (3) से भाग देने पर \(x+y\ge 7\) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Dividing the whole inequality by (3) gives \(x+y\ge 7\). Dividing by a positive number does not change the sign.
एक ही बिंदु के लिए (x+y) एक साथ (4) से कम और (4) से अधिक नहीं हो सकता। इसलिए संयुक्त हल रिक्त है। / For the same point, (x+y) cannot be both less than (4) and greater than (4). Hence the common solution is empty.
