Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. मूल बिंदु हल में है क्योंकि \(0\le 5\) सत्य है/origin is in solution because \(0\le 5\) is true
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\le 5\) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाली ओर शेड होगी। / Substituting ((0,0)) gives \(0\le 5\), which is true. Therefore shade the side containing the origin.
(x) दो ऊर्ध्वाधर सीमाओं और (y) दो क्षैतिज सीमाओं के बीच है। इसलिए बंद आयत बनता है। / (x) lies between two vertical boundaries and (y) lies between two horizontal boundaries. Hence a closed rectangle is formed.
A. रेखा (x=-2) के बाईं ओर और रेखा शामिल नहीं/left of (x=-2) excluding the line
Explanation
Simple Explanation
(x< -2) में (x) का मान (-2) से कम है। इसलिए बाईं ओर शेड होगा और सीमा रेखा टूटी होगी। / In (x< -2), (x) is less than (-2). Hence shade the left side and draw a dashed boundary.
((3,-3)) में (y=-3) है और (-3>-4) सत्य है। सख्त असमानता में सीमा रेखा के बिंदु शामिल नहीं होते। / For ((3,-3)), (y=-3), and (-3>-4) is true. In a strict inequality, boundary points are not included.
पूरे समीकरण को (3) से भाग देने पर (2x+y=6) मिलता है। ग्राफ बनाने से पहले समीकरण सरल कर लेना चाहिए। / Dividing the whole equation by (3) gives (2x+y=6). Simplify the equation before drawing the graph.
((3,3)) में \(y\le 2\) असत्य है। संयुक्त हल में आने के लिए सभी शर्तें सत्य होनी चाहिए। / For ((3,3)), the condition \(y\le 2\) is false. To lie in the common solution, all conditions must be true.
C. सीमा रेखा पर और हल में/on boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) रखने पर \(3=2\times 2-1\) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है और \(\le\) के कारण हल में है। / Substituting ((2,3)) gives \(3=2\times 2-1\). Equality places the point on the boundary and it is included because of \(\le\).
प्रथम चतुर्थांश में (x) और (y) दोनों गैर-ऋणात्मक हैं। \(x+y\le 0\) तभी संभव है जब दोनों (0) हों। / In the first quadrant, both (x) and (y) are non-negative. The condition \(x+y\le 0\) is possible only when both are (0).
D. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी/strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
सीमा रेखाएं (x+2y=10) और (x+2y=4) समानांतर हैं। इनके बीच का बंद क्षेत्र संयुक्त हल है। / The boundary lines (x+2y=10) and (x+2y=4) are parallel. The closed region between them is the common solution.
((4,0)) रखने पर \(12\le 9\) असत्य है। इसलिए यह हल क्षेत्र के बाहर है। / Substituting ((4,0)) gives \(12\le 9\), which is false. Therefore it lies outside the solution region.
(x-y=4) से (-y=4-x) और (y=x-4) मिलता है। यह ढाल-अवरोध रूप में सीमा रेखा है। / From (x-y=4), (-y=4-x), so (y=x-4). This is the slope-intercept form of the boundary line.
(1<x) में बराबरी शामिल नहीं है। इसलिए (x=1) की सीमा टूटी रेखा से दिखाई जाएगी। / Equality is not included in (1<x). Therefore the boundary (x=1) is shown by a dashed line.
C. दो क्षैतिज रेखाओं के बीच पट्टी/strip between two horizontal lines
Explanation
Simple Explanation
(y=2) और (y=6) क्षैतिज रेखाएं हैं। इनके बीच का बंद क्षेत्र संयुक्त हल है। / The lines (y=2) and (y=6) are horizontal. The closed region between them is the common solution.
कोई (x) एक साथ (1) से छोटा या बराबर और (4) से बड़ा या बराबर नहीं हो सकता। इसलिए कोई संयुक्त हल नहीं है। / No (x) can be both less than or equal to (1) and greater than or equal to (4). Therefore there is no common solution.
(x=6) और (y=0) मिलने पर ((6,0)) आता है और यह \(x+2y\le 8\) को संतुष्ट करता है। इसलिए यह क्षेत्र का शीर्ष है। / The intersection of (x=6) and (y=0) is ((6,0)), and it satisfies \(x+2y\le 8\). Hence it is a vertex of the region.
A. हल क्षेत्र में और सीमा पर/in solution region and on boundary
Explanation
Simple Explanation
((1,4)) रखने पर (2+4=6) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है और \(\ge\) के कारण शामिल है। / Substituting ((1,4)) gives (2+4=6). Equality puts the point on the boundary and it is included because of \(\ge\).
((2,4)) पर \(4\ge 3\) और \(4\le 5\) दोनों सत्य हैं। संयुक्त क्षेत्र के लिए सभी असमानताएं जांचें। / At ((2,4)), both \(4\ge 3\) and \(4\le 5\) are true. For a common region, check all inequalities.
(x=2) और (y=3) का प्रतिच्छेद ((2,3)) है और यह \(x+y\le 10\) को संतुष्ट करता है। इसलिए यह एक शीर्ष है। / The intersection of (x=2) and (y=3) is ((2,3)), and it satisfies \(x+y\le 10\). Therefore it is a vertex.
असमानता को (2) से भाग देने पर \(2x+y\le 8\) मिलता है। इसकी सीमा रेखा (2x+y=8) होगी। / Dividing the inequality by (2) gives \(2x+y\le 8\). Its boundary line is (2x+y=8).
B. मूल बिंदु हल क्षेत्र में है/origin is in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर (0<8) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाला भाग हल क्षेत्र है। / Substituting ((0,0)) gives (0<8), which is true. Hence the side containing the origin is the solution region.
((1,2)) सीधे (x=1) और (y=2) का प्रतिच्छेद है। शीर्ष पहचानने के लिए सीमाओं को जोड़ी में काटें। / The point ((1,2)) is the direct intersection of (x=1) and (y=2). To identify vertices, intersect boundary lines pairwise.
रेखा के अवरोध ((9,0)) और ((0,6)) हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 9\times 6=27\) है। / The intercepts are ((9,0)) and ((0,6)). The area is \(\frac{1}{2}\times 9\times 6=27\).
क्षेत्र (4) चौड़ाई और (3) ऊंचाई वाला आयत है। इसलिए क्षेत्रफल \(4\times 3=12\) है। / The region is a rectangle of width (4) and height (3). Hence the area is \(4\times 3=12\).
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=9) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक फैलता है। इसलिए हल क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above (x+y=9) extends infinitely. Hence the solution region is unbounded.
ऊपर के क्षेत्र में (y) का मान (-2) से बड़ा होता है। टूटी रेखा बराबरी को शामिल नहीं करती। / In the region above, (y) is greater than (-2). A dashed line does not include equality.
दाईं ओर (x) के मान (3) से बड़े होते हैं और ठोस रेखा बराबरी शामिल करती है। इसलिए \(x\ge 3\) सही है। / To the right, (x)-values are greater than (3), and a solid line includes equality. Therefore \(x\ge 3\) is correct.
C. \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) के ऊपर/above \(y\ge \frac{5x-10}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(-2y\le 10-5x\) से चिन्ह पलटकर \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर असमानता का चिन्ह बदलता है। / From \(-2y\le 10-5x\), reversing the sign gives \(y\ge \frac{5x-10}{2}\). The inequality sign changes when dividing by a negative.
