Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. किसी वस्तु या घटना की स्थिति/Position of an object or phenomenon
Explanation
Simple Explanation
स्थान भूगोल का आधार है क्योंकि हर घटना किसी जगह पर होती है। परीक्षा में स्थान को भूगोल का मूल तत्व मानें। / Location is basic to geography because every event happens somewhere. Treat location as a core element in exams.
C. किसी वस्तु या घटना की स्थान से जुड़ी विशेषताएँ/Location related features of an object or phenomenon
Explanation
Simple Explanation
स्थानिक गुण बताते हैं कि कोई वस्तु कहाँ है और उसका फैलाव कैसा है। परीक्षा में स्थान को मुख्य संकेत मानें। / Spatial attributes tell where something is and how it is spread. In exams location is the main clue.
B. क्योंकि यह प्राकृतिक और मानवीय तत्वों को जोड़कर अध्ययन करता है/Because it studies natural and human elements together
Explanation
Simple Explanation
भूगोल पृथ्वी पर प्रकृति और मानव गतिविधियों के संबंधों को जोड़ता है। परीक्षा में इसे समाकलनकारी विषय के रूप में याद रखें। / Geography links nature and human activities on the earth. Remember it as an integrating subject for exams.
\( \binom{10}{2}=45 \) से (n=10), इसलिए \( \binom{10}{4}=210 \)। पहले (n) निकालें, फिर माँगा गया संयोजन रखें। / Since \( \binom{10}{2}=45 \), (n=10), so \( \binom{10}{4}=210 \). First find (n), then evaluate the required combination.
वैंडरमोंड सर्वसमिका से योग \( \binom{14}{4}=1001 \) है। ऐसे योग में ऊपर की संख्याएँ जोड़कर कुल चयन देखें। / By Vandermonde's identity, the sum is \( \binom{14}{4}=1001 \). In such sums, view it as total selection after adding upper counts.
गुणनफल ( (1+x)^{12} ) है, इसलिए गुणांक \( \binom{12}{8}=495 \)। द्विपद गुणन में घातें जोड़कर सरल करें। / The product is ( (1+x)^{12} ), so the coefficient is \( \binom{12}{8}=495 \). In binomial products, combine powers first.
वैध चयन \(A^3N^2\), \(BA^2N^2\), और \(BA^3N\) हैं, इसलिए कुल (3) हैं। छोटे बहुलता प्रश्नों में वैध वितरण सीधे लिखें। / The valid selections are \(A^3N^2\), \(BA^2N^2\), and \(BA^3N\), so the total is (3). In small repetition questions, list valid distributions directly.
अक्षर-सीमाएँ \(M\le1\), \(I\le4\), \(S\le4\), \(P\le2\) रखकर कुल (21) चयन मिलते हैं। बहुलता वाले अक्षरों में सीमित पूर्णांक हल गिनें। / Using the limits \(M\le1\), \(I\le4\), \(S\le4\), and \(P\le2\), the total selections are (21). For repeated letters, count bounded integer solutions.
चतुर्भुज के लिए हर रेखा से (2) बिंदु चाहिए, इसलिए \( \binom{7}{2}\binom{5}{2}=210 \)। एक ही रेखा से (3) बिंदु लेने पर चतुर्भुज नहीं बनेगा। / A quadrilateral needs (2) points from each line, so \( \binom{7}{2}\binom{5}{2}=210 \). Taking (3) points from one line cannot form a quadrilateral.
विशेष व्यक्ति चुनने के (2) तरीके और बाकी (4) व्यक्ति (8) में से, इसलिए \(2\binom{8}{4}=140\)। ठीक एक का अर्थ है दो समान मामले। / There are (2) ways to choose the special person and then (4) from the other (8), so \(2\binom{8}{4}=140\). Exactly one means two symmetric cases.
दोनों चुने जाने पर \( \binom{11}{4} \) और दोनों न चुने जाने पर \( \binom{11}{6} \), कुल (792) है। या तो दोनों या कोई नहीं को दो अलग मामलों में बाँटें। / If both are selected, count \( \binom{11}{4} \); if neither is selected, count \( \binom{11}{6} \), giving (792). Split either both or neither into two cases.
पहली समिति \( \binom{10}{3} \) और दूसरी \( \binom{7}{4} \) तरीकों से बनेगी, कुल (4200) है। नामित समितियों में चरणों का क्रम महत्त्व रखता है। / The first committee can be formed in \( \binom{10}{3} \) ways and the second in \( \binom{7}{4} \) ways, giving (4200). For named committees, the stages matter.
सम योग के लिए विषम संख्याओं की संख्या (0,2,4) हो सकती है, कुल (255) है। चयन की संख्या पर नहीं, विषम चुने गए तत्वों की संख्या पर ध्यान दें। / For an even sum, the number of odd selected numbers can be (0,2,4), giving (255). Focus on how many odd elements are selected, not only on total selection size.
योग विषम के लिए (1) विषम और (2) सम या (3) विषम चुनें, कुल (570) है। सम-विषम संयोजन तालिका बनाकर गलती घटती है। / For an odd sum, choose (1) odd and (2) even or (3) odd numbers, giving (570). Making a parity case table reduces errors.
गुणनफल विषम तभी होगा जब चारों संख्याएँ विषम हों, इसलिए \( \binom{8}{4}=70 \)। गुणनफल की सम-विषम प्रकृति में सभी कारकों पर ध्यान दें। / The product is odd only when all four numbers are odd, so \( \binom{8}{4}=70 \). For product parity, check every factor.
विशेष अवयवों की संख्या (2,3,4) लेकर योग (456) है। छोटे विशेष समूह में सीधे वैध मामलों को जोड़ना आसान है। / Taking the number of special elements as (2,3,4) gives (456). With a small special group, directly add valid cases.
(a) निश्चित रूप से चुना और (b) निश्चित रूप से छोड़ा गया, बाकी (8) अवयव स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^8=256\)। निश्चित अवस्थाओं को पहले स्थिर करें। / (a) is fixed as selected and (b) is fixed as not selected, so the remaining (8) elements are free, giving \(2^8=256\). Fix compulsory states first.
चयन \( \binom{3}{2}\binom{6}{3}=60 \) है। ठीक (2) विशेष होने पर बाकी (3) सामान्य अवयवों से लें। / The selection is \( \binom{3}{2}\binom{6}{3}=60 \). With exactly (2) special elements, take the remaining (3) from ordinary elements.
कुल \( \binom{9}{5} \) से तीनों विशेष अवयवों वाले \( \binom{6}{2} \) घटाएँ, उत्तर (111) है। नहीं वाले प्रश्न में निषिद्ध चयन घटाएँ। / Subtract \( \binom{6}{2} \) subsets containing all three special elements from total \( \binom{9}{5} \), giving (111). In not-type questions, subtract forbidden selections.
कुल \( \binom{21}{3} \) से \(x_1\ge6\) वाले \( \binom{15}{3} \) घटते हैं, उत्तर (875) है। ऊपरी सीमा में प्रतिबंधित हल घटाना आसान है। / Subtract \( \binom{15}{3} \) cases with \(x_1\ge6\) from total \( \binom{21}{3} \), giving (875). For upper limits, subtract forbidden solutions.
न्यूनतम (5,1,1,1) घटाने पर (12) बचता है, इसलिए \( \binom{15}{3}=455 \)। असमान न्यूनतम शर्तों को पहले घटाएँ। / After subtracting minimums (5,1,1,1), (12) remains, so \( \binom{15}{3}=455 \). Subtract unequal minimum conditions first.
हर विद्यार्थी को (2) देने के बाद (6) कलमें बचती हैं, इसलिए \( \binom{8}{2}=28 \)। न्यूनतम शर्त घटाकर फिर शून्य सहित हल गिनें। / After giving (2) pens to each student, (6) pens remain, so \( \binom{8}{2}=28 \). Subtract the minimum condition and then count nonnegative solutions.
यह \(x_1+x_2+x_3+x_4=6\) के अशून्येतर नहीं बल्कि शून्य सहित हल हैं, इसलिए \( \binom{9}{3}=84 \)। असीमित समान प्रकारों में सितारे और पट्टियाँ लगाएँ। / This is the number of nonnegative solutions of \(x_1+x_2+x_3+x_4=6\), so \( \binom{9}{3}=84 \). For unlimited identical types, use stars and bars.
ठीक (2) विशेष और ठीक (3) विशेष के मामलों का योग (140) है। कम से कम (2) में दोनों वैध मामले जोड़ें। / The cases of exactly (2) special and exactly (3) special persons add to (140). For at least (2), add both valid cases.
जोड़ा \( \binom{6}{1} \), बाकी (3) दंपति \( \binom{5}{3} \), और उनसे एक-एक व्यक्ति \(2^3\), कुल (480) है। ठीक एक जोड़ा रखने के बाद बाकी जोड़ों से केवल एक व्यक्ति चुनें। / Choose the couple \( \binom{6}{1} \), then (3) other couples \( \binom{5}{3} \), and one person from each \(2^3\), giving (480). After fixing exactly one couple, choose only one person from each remaining couple.
पहले (4) दंपति चुनें और हर दंपति से (1) व्यक्ति लें, \( \binom{8}{4}2^4=1120 \)। जोड़े से केवल एक चुनने पर (2) विकल्प बनते हैं। / First choose (4) couples and then (1) person from each, giving \( \binom{8}{4}2^4=1120 \). Choosing only one from a couple gives (2) choices.
सममिति से (r+(r-3)=11), इसलिए (r=7) है। \( \binom{n}{a}=\binom{n}{b} \) में अक्सर (a+b=n) काम आता है। / By symmetry, (r+(r-3)=11), so (r=7). In \( \binom{n}{a}=\binom{n}{b} \), often (a+b=n) is useful.
सममिति से (r+(r+2)=12), इसलिए (r=5) है। ऐसे प्रश्नों में निचले सूचकांकों का योग (n) के बराबर रखें। / By symmetry, (r+(r+2)=12), so (r=5). In such questions, make the lower indices add to (n).
चयन \( \binom{5}{3}\binom{9}{4}=1260 \) है। ठीक (3) का अर्थ है बाकी (4) बाहर वाले समूह से आएँगे। / The selection is \( \binom{5}{3}\binom{9}{4}=1260 \). Exactly (3) means the remaining (4) come from outside the fixed group.
किसी एक सूट से \( \binom{13}{5} \) चयन और (4) सूट हैं, इसलिए (5148) है। सूट चुनना और फिर पत्ते चुनना दो चरण हैं। / From one suit there are \( \binom{13}{5} \) selections and there are (4) suits, so the count is (5148). Choose the suit and then the cards.
