पहले समीकरण को 6 से गुणा करने पर \(x+2y=36\) मिलता है और दूसरे को 4 से गुणा करने पर \(2x-y=20\) मिलता है। दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें: \(4x-2y=40\)। इसे पहले समीकरण से जोड़ने पर \(5x=76\), इसलिए \(x=\frac{76}{5}\)। \(\frac{72}{5}\) जैसे विकल्प से समीकरणों में रखने पर दोनों समीकरण संतुष्ट नहीं होते। परीक्षा टिप: भिन्नों वाले रैखिक समीकरणों में पहले हर हटाना गणना को सरल बनाता है। / Multiplying the first equation by 6 gives \(x+2y=36\), and multiplying the second equation by 4 gives \(2x-y=20\). Multiply the second equation by 2: \(4x-2y=40\). Adding it to the first equation gives \(5x=76\), so \(x=\frac{76}{5}\). A value such as \(\frac{72}{5}\) does not satisfy both equations on substitution. Exam tip: In linear equations involving fractions, first clear the denominators to simplify elimination.
पहले समीकरण को 4 से गुणा करने पर \(3x-y=20\) मिलता है और दूसरे को 3 से गुणा करने पर \(x+2y=21\) मिलता है। \(3x-y=20\) से \(y=3x-20\) है। इसे \(x+2y=21\) में रखने पर \(x+2(3x-20)=21\), अर्थात \(7x=61\) मिलता है। इसलिए \(x=\frac{61}{7}\) है। \(\frac{62}{7}\) जैसे निकट विकल्प को जाँचने पर वह \(7x=61\) को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: भिन्न वाले समीकरणों में पहले हरों को हटाकर सरल रैखिक समीकरण बनाइए। / Multiplying the first equation by 4 gives \(3x-y=20\), and multiplying the second equation by 3 gives \(x+2y=21\). From \(3x-y=20\), we get \(y=3x-20\). Substituting this into \(x+2y=21\) gives \(x+2(3x-20)=21\), so \(7x=61\). Hence, \(x=\frac{61}{7}\). A close option such as \(\frac{62}{7}\) does not satisfy \(7x=61\). Exam tip: First clear the denominators in fractional equations to obtain simpler linear equations.
दिए गए हल \(x=6\) और \(y=\frac{7}{2}\) को पहली समीकरण \(3x+ky=40\) में रखने पर \(3(6)+k\left(\frac{7}{2}\right)=40\) मिलता है। अतः \(18+\frac{7k}{2}=40\), इसलिए \(\frac{7k}{2}=22\) और \(k=\frac{44}{7}\) है। विकल्प \(\frac{48}{7}\) लेने पर समीकरण का बायाँ पक्ष 40 नहीं होगा। परीक्षा टिप: किसी दिए हुए हल वाले प्रश्न में पहले उसी समीकरण में मान प्रतिस्थापित करें जिसमें अज्ञात पैरामीटर हो। / Substitute the given values \(x=6\) and \(y=\frac{7}{2}\) into the first equation \(3x+ky=40\). This gives \(3(6)+k\left(\frac{7}{2}\right)=40\), or \(18+\frac{7k}{2}=40\). Hence \(\frac{7k}{2}=22\), so \(k=\frac{44}{7}\). For example, \(\frac{48}{7}\) would not make the left-hand side equal to 40. Exam tip: when a solution is given, substitute it first into the equation containing the unknown parameter.
दशमलव हटाने के लिए दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करें: \(6x-3y=27\) और \(2x+5y=31\)। पहले समीकरण को 3 से भाग देने पर \(2x-y=9\), अर्थात \(y=2x-9\) मिलता है। इसे दूसरे समीकरण में रखने पर \(2x+5(2x-9)=31\), इसलिए \(12x=76\) और \(x=\frac{19}{3}\)। \(\frac{38}{7}\) गलत है, क्योंकि सही विलोपन या प्रतिस्थापन से हर 3 प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: दशमलव वाले रैखिक समीकरणों में पहले दशमलव हटाने से गणना सरल होती है। / Multiply both equations by 10 to remove decimals: \(6x-3y=27\) and \(2x+5y=31\). Dividing the first equation by 3 gives \(2x-y=9\), so \(y=2x-9\). Substituting this into the second equation gives \(2x+5(2x-9)=31\), hence \(12x=76\) and \(x=\frac{19}{3}\). \(\frac{38}{7}\) is incorrect because correct substitution or elimination gives a denominator of 3. Exam tip: remove decimals first when solving linear equations to reduce calculation errors.
दिया गया हल \(x=8, y=5\) समीकरण \(kx+5y=42\) को संतुष्ट करेगा। मान रखने पर \(8k+5(5)=42\), अर्थात \(8k+25=42\)। इसलिए \(8k=17\) और \(k=\frac{17}{8}\) है। \(\frac{19}{8}\) लेने पर बायाँ पक्ष 42 नहीं होगा। परीक्षा टिप: दिए हुए हल वाले प्रश्नों में मानों को उस समीकरण में रखिए जिसमें अज्ञात पैरामीटर हो। / The given solution \(x=8, y=5\) must satisfy \(kx+5y=42\). Substituting gives \(8k+5(5)=42\), or \(8k+25=42\). Hence \(8k=17\), so \(k=\frac{17}{8}\). For example, \(\frac{19}{8}\) would not make the left-hand side equal to 42. Exam tip: when a solution is given, substitute it into the equation containing the unknown parameter.
दिए गए समीकरणों को क्रमशः 4 और 3 से गुणा करने पर \(8x+12y=72\) तथा \(15x-12y=3\) मिलते हैं। जोड़ने पर \(23x=75\), अतः \(x=\frac{75}{23}\)। फिर \(2x+3y=18\) में रखने पर \(y=\frac{88}{23}\) मिलता है। इसलिए \(x-2y=\frac{75}{23}-2\left(\frac{88}{23}\right)=-\frac{101}{23}\)। \(-4\) इसका निकटतम पूर्णांक है, पर सटीक मान नहीं है। परीक्षा टिप: भिन्न वाला उत्तर मिलने पर उसे दशमलव या पूर्णांक में बदलने के बजाय प्रश्न में माँगा गया सटीक रूप लिखें। / Multiply the two equations by 4 and 3 respectively to get \(8x+12y=72\) and \(15x-12y=3\). Adding them gives \(23x=75\), so \(x=\frac{75}{23}\). Substituting in \(2x+3y=18\) gives \(y=\frac{88}{23}\). Hence, \(x-2y=\frac{75}{23}-2\left(\frac{88}{23}\right)=-\frac{101}{23}\). Although \(-4\) is a nearby integer, it is not the exact value. Exam tip: when a fractional result is obtained, retain the exact fraction unless rounding is specifically asked.
पहले समीकरण को 2 से भाग देने पर \(x+y=17\) मिलता है और दूसरे को 3 से भाग देने पर \(x-y=5\) मिलता है। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर \(2x=22\), इसलिए \(x=11\)। अब \(x+y=17\) में रखने पर \(y=6\) प्राप्त होता है। अतः सही हल \(x=11,\ y=6\) है। विकल्प \(x=10,\ y=7\) में योग 17 है, लेकिन अंतर 5 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले सामान्य गुणनखंड से भाग देकर सरल समीकरण बनाइए। / Dividing the first equation by 2 gives \(x+y=17\), and dividing the second equation by 3 gives \(x-y=5\). Adding these equations gives \(2x=22\), so \(x=11\). Substituting in \(x+y=17\) gives \(y=6\). Hence, the correct solution is \(x=11,\ y=6\). In option \(x=10,\ y=7\), the sum is 17, but the difference is not 5. Exam tip: first divide by any common factor to simplify the equations before eliminating a variable.
दिया गया हल \(x=4,\ y=7\) पहली समीकरण \(px+2y=18\) को संतुष्ट करेगा। मान रखने पर \(4p+2(7)=18\), अर्थात \(4p+14=18\)। इसलिए \(4p=4\), अतः \(p=1\)। दूसरी समीकरण में \(3(4)-7=5\) भी सही है, इसलिए दिया गया हल संगत है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले प्रश्न में दिए गए हल को उस समीकरण में रखें जिसमें पैरामीटर हो। / The given solution \(x=4,\ y=7\) must satisfy the first equation \(px+2y=18\). Substituting gives \(4p+2(7)=18\), or \(4p+14=18\). Hence \(4p=4\), so \(p=1\). The second equation also checks out: \(3(4)-7=5\). Exam tip: In parameter-based questions, substitute the given solution into the equation containing the parameter.
दिए गए समीकरणों को जोड़ने पर \((9x-2y)+(3x+2y)=35+13\) मिलता है। यहाँ \(-2y\) और \(+2y\) कट जाते हैं, इसलिए \(12x=48\) तथा \(x=4\)। अतः विकल्प C सही है। विकल्प \(x=3\) रखने पर दोनों समीकरणों का योग \(12x=36\) होगा, जो 48 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे समीकरणों में विपरीत चिन्ह वाले पदों को हटाने के लिए समीकरणों को जोड़ें। / Adding the given equations gives \((9x-2y)+(3x+2y)=35+13\). The terms \(-2y\) and \(+2y\) cancel, so \(12x=48\), giving \(x=4\). Hence, option C is correct. If \(x=3\), the sum of the two equations would give \(12x=36\), not 48. Exam tip: add equations when a variable has equal coefficients with opposite signs.
दोनों समीकरणों में y के गुणांक +5 और -5 हैं, इसलिए उन्हें जोड़ने पर y विलोपित हो जाता है: \(6x+5y+4x-5y=39+11\)। अतः \(10x=50\), इसलिए \(x=5\)। \(x=4\) रखने पर \(10x=40\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: विलोपन से पहले ऐसे पदों को पहचानें जिनके गुणांक समान पर विपरीत चिह्न वाले हों। / The coefficients of y are +5 and -5, so y is eliminated when the equations are added: \(6x+5y+4x-5y=39+11\). Thus, \(10x=50\), giving \(x=5\). If \(x=4\), then \(10x=40\), so it cannot satisfy the added equation. Exam tip: Before eliminating, look for terms with equal coefficients and opposite signs.
पहले समीकरण को 2 से गुणा करने पर \(10x+4y=48\) मिलता है। अब इसमें से \(3x+4y=22\) घटाने पर \(7x=26\), अर्थात \(x=\frac{26}{7}\)। इसे \(5x+2y=24\) में रखने पर \(2y=24-\frac{130}{7}=\frac{38}{7}\), इसलिए \(y=\frac{19}{7}\) है। \(y=2\) मूल समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: समान गुणांक बनाकर घटाने से एक चर आसानी से समाप्त हो जाता है। / Multiply the first equation by 2 to get \(10x+4y=48\). Subtract \(3x+4y=22\) from it: \(7x=26\), so \(x=\frac{26}{7}\). Substituting this into \(5x+2y=24\) gives \(2y=24-\frac{130}{7}=\frac{38}{7}\), hence \(y=\frac{19}{7}\). The distractor \(y=2\) does not satisfy the original equations. Exam tip: make one variable’s coefficients equal before subtracting to eliminate it quickly.
दूसरे समीकरण \(2x-y=8\) से \(y=2x-8\) मिलता है। इसे \(x+4y=13\) में रखने पर \(x+4(2x-8)=13\), अर्थात \(9x=45\), इसलिए \(x=5\)। तब \(y=2(5)-8=2\)। अतः सही क्रमित युग्म \((5,2)\) है। विकल्प \((4,3)\) पहले समीकरण को संतुष्ट करता है, लेकिन \(2x-y=8\) को नहीं। परीक्षा टिप: प्राप्त मानों को दोनों मूल समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें। / From the second equation, \(2x-y=8\), we get \(y=2x-8\). Substituting this into \(x+4y=13\) gives \(x+4(2x-8)=13\), so \(9x=45\) and hence \(x=5\). Then \(y=2(5)-8=2\). Therefore, the correct ordered pair is \((5,2)\). Option \((4,3)\) satisfies the first equation but not \(2x-y=8\). Exam tip: always substitute the obtained values into both original equations to verify the answer.
दिया है \(x=8\)। इसे \(x+2y=18\) में रखने पर \(8+2y=18\) मिलता है। अतः \(2y=10\), इसलिए \(y=5\)। \(y=4\) लेने पर बायाँ पक्ष \(16\) आता है, जो \(18\) नहीं है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद पहले समान पदों को दूसरी ओर ले जाएँ, फिर गुणांक से भाग दें। / Given \(x=8\), substitute it in \(x+2y=18\): \(8+2y=18\). Thus, \(2y=10\), so \(y=5\). If \(y=4\), the left-hand side becomes \(16\), not \(18\). Exam tip: after substitution, transpose the constant term first and then divide by the coefficient of the variable.
दिया है \(x=9-y\)। इसे \(3x+y=19\) में रखने पर \(3(9-y)+y=19\) मिलता है। अतः \(27-3y+y=19\), यानी \(27-2y=19\)। इसलिए \(-2y=-8\) और \(y=4\)। \(y=5\) रखने पर समीकरण संतुष्ट नहीं होता। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद कोष्ठक खोलते समय \(-3y\) का चिह्न सावधानी से लिखें। / Given \(x=9-y\), substitute it into \(3x+y=19\): \(3(9-y)+y=19\). This gives \(27-3y+y=19\), or \(27-2y=19\). Hence, \(-2y=-8\) and \(y=4\). For example, \(y=5\) does not satisfy the equation. Exam tip: while expanding after substitution, write the negative sign in \(-3y\) carefully.
दिया है \(y=2\)। इसे \(x-3y=1\) में रखने पर \(x-3(2)=1\), अर्थात \(x-6=1\) मिलता है। दोनों पक्षों में 6 जोड़ने पर \(x=7\) प्राप्त होता है। \(x=8\) रखने पर बायाँ पक्ष \(8-6=2\) होगा, जो 1 नहीं है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद कोष्ठक और ऋण चिह्न को ध्यान से सरल करें। / Given \(y=2\), substitute it into \(x-3y=1\): \(x-3(2)=1\), so \(x-6=1\). Adding 6 to both sides gives \(x=7\). If \(x=8\), the left-hand side becomes \(8-6=2\), not 1. Exam tip: after substitution, simplify brackets and negative signs carefully.
पहले समीकरण से \(x=10-2y\) है। इसे \(x+y=7\) में रखने पर \((10-2y)+y=7\), अर्थात \(10-y=7\) मिलता है। इसलिए \(y=3\)। \(y=2\) रखने पर \(x=6\) आता है और \(x+y=8\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद समान पदों के चिन्हों को ध्यान से मिलाएँ। / From the first equation, \(x=10-2y\). Substituting it into \(x+y=7\) gives \((10-2y)+y=7\), or \(10-y=7\). Hence, \(y=3\). If \(y=2\), then \(x=6\) and \(x+y=8\), so it does not satisfy the second equation. Exam tip: combine like terms carefully after substitution, especially their signs.
