Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
algebra-real-functions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
\(f+g=2x^2\), इसलिए \(\frac{f+g}{2}=x^2\)। सममित पद जोड़ने पर विपरीत पद कट जाते हैं। / \(f+g=2x^2\), so \(\frac{f+g}{2}=x^2\). Opposite terms cancel when symmetric expressions are added.
((f+g)(2)=9+(2a-1)=2a+8=10), इसलिए (a=1)। पैरामीटर वाले प्रश्न में दिए मान को सीधे रखें। / ((f+g)(2)=9+(2a-1)=2a+8=10), so (a=1). In parameter questions, substitute the given input directly.
वर्गमूल के लिए \(x\ge -2\) और हर के लिए \(x\ne 1\) चाहिए। गुणन में दोनों शर्तें साथ लगती हैं। / The square root needs \(x\ge -2\), and the denominator needs \(x\ne 1\). In a product, both conditions apply together.
((f-g)(x)=x-3-x-2=x-2(x-1)), इसलिए शून्य (x=0) और (x=1) हैं। गुणनखंडन विशेषज्ञ स्तर पर सबसे तेज तरीका है। / ((f-g)(x)=x-3-x-2=x-2(x-1)), so the zeroes are (x=0) and (x=1). Factorisation is the fastest method at expert level.
((f+g)(-2)=f(-2)+g(-2)=4+(-3)=1)। पहले अलग-अलग मान निकालना गलती कम करता है। / ((f+g)(-2)=f(-2)+g(-2)=4+(-3)=1). Finding values separately reduces errors.
भले ही गुणन सरल होकर (1) दिखे, मूल फलनों में (x=1) और (x=-1) निषिद्ध हैं। प्रांत सरलीकरण के बाद नहीं बदलना चाहिए। / Even if the product simplifies to (1), the original functions forbid (x=1) and (x=-1). The domain should not be changed after simplification.
(3f-2g=3\(x^2+1\)-2(2x-3)=3x-2-4x+9)। गुणांक को पूरे फलन पर लागू करें। / (3f-2g=3\(x^2+1\)-2(2x-3)=3x-2-4x+9). Apply the coefficient to the whole function.
जब \(x\ge 0\), तब (|x|=x), इसलिए (|x|-x=0)। मापांक वाले प्रश्नों में चिन्ह के आधार पर केस बनाएं। / When \(x\ge 0\), (|x|=x), so (|x|-x=0). For modulus questions, split cases by sign.
घटाव के लिए दोनों फलन परिभाषित होने चाहिए, इसलिए (x=-3) और (x=4) हटेंगे। हर शून्य कराने वाले मान हमेशा हटाएं। / For subtraction, both functions must be defined, so (x=-3) and (x=4) are excluded. Always remove values making any denominator zero.
भागफल में हर (g(x)) शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए (x=2) हटेगा। परीक्षा में सरलीकरण से पहले प्रांत जांचें। / In a quotient, the denominator (g(x)) must not be zero, so (x=2) is excluded. In exams, check the domain before simplifying.
यहाँ (f-2(x)+g-2(x)=\frac{\(x^2-1\)2+(2x)2}{\(x^2+1\)2}=\frac{\(x^2+1\)2}{\(x^2+1\)2}=1)। वर्गों को जोड़ते समय सर्वसमिका पहचानें। / Here (f-2(x)+g-2(x)=\frac{\(x^2-1\)2+(2x)2}{\(x^2+1\)2}=\frac{\(x^2+1\)2}{\(x^2+1\)2}=1). Recognise the identity while adding squares.
हर (x-2) है इसलिए (x=2) हटेगा, भले ही अंश में समान गुणनखंड हो। मूल हर से प्रतिबंध तय करें। / The denominator is (x-2), so (x=2) is excluded even if the numerator has a common factor. Decide restrictions from the original denominator.
(\(f\circ g\)(1)=f(2)=5) और (\(g\circ f\)(1)=g(2)=4), कुल (9) है। संयोजन में क्रम को स्पष्ट रखें। / (\(f\circ g\)(1)=f(2)=5) and (\(g\circ f\)(1)=g(2)=4), so the total is (9). Keep the order clear in composition.
((f-g)(x)=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}=\frac{4}{x-2-4}), जहाँ \(x\ne \pm 2\)। हरों का गुणन करते समय प्रतिबंध रखें। / ((f-g)(x)=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}=\frac{4}{x-2-4}), where \(x\ne \pm 2\). Keep restrictions while multiplying denominators.
((fg)(x)=\(x^2-3x\)\(x^2+3x\)=\(x^2\)2-(3x)2=x-4-9x-2)। अंतर वर्ग सूत्र का उपयोग करें। / ((fg)(x)=\(x^2-3x\)\(x^2+3x\)=\(x^2\)2-(3x)2=x-4-9x-2). Use the difference of squares formula.
(f(x)+1=\frac{x+3}{x-3}+1=\frac{2x}{x-3}), जहाँ \(x\ne 3\)। स्थिर संख्या जोड़ते समय समान हर बनाएँ। / (f(x)+1=\frac{x+3}{x-3}+1=\frac{2x}{x-3}), where \(x\ne 3\). Make a common denominator when adding a constant.
(f(g(x))=(x+1)2) और (f(h(x))=(x-1)2), इसलिए अंतर (4x) है। वर्गों के अंतर का सूत्र तेजी देता है। / (f(g(x))=(x+1)2) and (f(h(x))=(x-1)2), so the difference is (4x). The difference of squares formula is fast here.
(\(f\circ g\)(x)=\frac{1}{x-1}) के लिए \(x\ne 1\) और (\(g\circ f\)(x)=\frac{1}{x}-1) के लिए \(x\ne 0\)। योग में दोनों प्रतिबंध मिलते हैं। / (\(f\circ g\)(x)=\frac{1}{x-1}) needs \(x\ne 1\) and (\(g\circ f\)(x)=\frac{1}{x}-1) needs \(x\ne 0\). In the sum both restrictions combine.
हर (g(x)=x+2) है, इसलिए \(x\ne -2\)। अंश हमेशा परिभाषित है इसलिए केवल हर का प्रतिबंध लगेगा। / The denominator is (g(x)=x+2), so \(x\ne -2\). The numerator is always defined, so only the denominator restriction applies.
((f+g)(x)=x-2+2x-1=(x+1)2-2), इसलिए न्यूनतम मान (-2) है। पूर्ण वर्ग बनाना उपयोगी तरीका है। / ((f+g)(x)=x-2+2x-1=(x+1)2-2), so the minimum value is (-2). Completing the square is a useful method.
((f+g)(x)=2x-2), जिसका न्यूनतम मान (0) है। इसलिए परास \([0,\infty\)) है। / ((f+g)(x)=2x-2), whose minimum value is (0). Therefore the range is \([0,\infty\)).
((f-g)(x)=x-2-1), इसलिए \(x^2-1=0\) से \(x=\pm 1\)। शून्य खोजने के लिए फलन को (0) के बराबर रखें। / ((f-g)(x)=x-2-1), so \(x^2-1=0\) gives \(x=\pm 1\). To find zeros set the function equal to (0).
(\frac{g}{f}=\frac{x-2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2), पर \(x\ne -2\)। रद्द किए गए गुणनखंड का शून्य भी हटाएँ। / (\frac{g}{f}=\frac{x-2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2), but \(x\ne -2\). Exclude the zero of the cancelled factor too.
वर्गमूल के लिए \(4-x^2\ge 0\), यानी \(-2\le x\le 2\)। (g(x)) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित है। / For the square root \(4-x^2\ge 0\), that is \(-2\le x\le 2\). The function (g(x)) is defined for all real (x).
(f(0)=2) और (g(0)=-2), इसलिए ((fg)(0)=-4)। गुणन फलन का मान अलग-अलग मानों के गुणन से निकालें। / (f(0)=2) and (g(0)=-2), so ((fg)(0)=-4). Evaluate a product function by multiplying the separate values.
पहले फलन में \(x\ne -2\) और दूसरे में \(x\ne 2\) है। योग का प्रांत दोनों प्रतिबंधों को हटाकर मिलेगा। / The first function needs \(x\ne -2\) and the second needs \(x\ne 2\). The domain of the sum is obtained by excluding both restrictions.
(f(x)=\frac{x-2-1}{x-1}=x+1), पर (g(x)\ne 0) के लिए \(x\ne 1\)। अज्ञात गुणक निकालते समय विभाजन का प्रतिबंध देखें। / (f(x)=\frac{x-2-1}{x-1}=x+1), but \(x\ne 1\) because (g(x)\ne 0). While finding an unknown factor check the division restriction.
