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algebra-real-functions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
(g(x)=(f+g)(x)-f(x)=x-2+3x+5-(3x+2)=x-2+3)। अज्ञात फलन निकालने के लिए दिए गए योग से ज्ञात फलन घटाएँ। / (g(x)=(f+g)(x)-f(x)=x-2+3x+5-(3x+2)=x-2+3). To find the unknown function subtract the known function from the given sum.
(\frac{f}{g}=\frac{(x-2)2}{x-2}=x-2) जहाँ \(x\ne 2\), इसलिए (x=3) पर मान (1) है। पहले प्रतिबंध फिर मान रखें। / (\frac{f}{g}=\frac{(x-2)2}{x-2}=x-2) where \(x\ne 2\), so at (x=3) the value is (1). First note the restriction then substitute.
क्योंकि \(x^2+1>0\) सभी वास्तविक (x) के लिए है, हर कभी शून्य नहीं होता। इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\) है। / Since \(x^2+1>0\) for all real (x), the denominator is never zero. Therefore the domain is \(\mathbb{R}\).
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+1\ge 0\) और \(x-3\ge 0\), इसलिए \(x\ge 3\)। घटाव में भी दोनों फलन परिभाषित होने चाहिए। / For both square roots \(x+1\ge 0\) and \(x-3\ge 0\), hence \(x\ge 3\). Even in subtraction both functions must be defined.
(\frac{x-2+3x+2}{x+1}=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2), पर \(x\ne -1\)। हर के शून्य मान को हटाना जरूरी है। / (\frac{x-2+3x+2}{x+1}=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2), but \(x\ne -1\). It is necessary to exclude the zero of the denominator.
((g-f)(x)=x-2+1-\(x^2-1\)=2), इसलिए यह स्थिर फलन है। समान उच्च घात पद कट सकते हैं। / ((g-f)(x)=x-2+1-\(x^2-1\)=2), so it is a constant function. Equal highest-degree terms may cancel.
(\(f\circ g\)(x)=\frac{3(5x+2)-2}{5}=\frac{15x+4}{5}=3x+\frac{4}{5})। अंदर के पूरे (g(x)) को (x) की जगह रखें। / (\(f\circ g\)(x)=\frac{3(5x+2)-2}{5}=\frac{15x+4}{5}=3x+\frac{4}{5}). Substitute the whole (g(x)) in place of (x).
(\(f\circ g\)(x)=2\left\(\frac{x-3}{2}\right\)+3=x)। यह दिखाता है कि दोनों फलन परस्पर प्रतिलोम जैसे काम कर रहे हैं। / (\(f\circ g\)(x)=2\left\(\frac{x-3}{2}\right\)+3=x). This shows the two functions behave like inverses of each other.
(\(f\circ g\)(x)=(x+1)2) और (\(g\circ f\)(x)=x-2+1), अंतर (2x) नहीं बल्कि (2x)? / The correct calculation is ((x+1)2-\(x^2+1\)=2x), so option (B) is correct. Always expand both compositions before subtracting.
(\(f\circ g\)(x)=f\(x^2\)=\frac{1}{x-2}) इसलिए \(x\ne 0\)। संयोजन में बाहरी फलन का प्रांत भी जाँचें। / (\(f\circ g\)(x)=f\(x^2\)=\frac{1}{x-2}) so \(x\ne 0\). In composition also check the domain of the outer function.
((f-g)(x)=\frac{2x+1}{3}-\frac{x-4}{2}=\frac{4x+2-3x+12}{6}=\frac{x+14}{6})। भिन्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लें। / ((f-g)(x)=\frac{2x+1}{3}-\frac{x-4}{2}=\frac{4x+2-3x+12}{6}=\frac{x+14}{6}). Use the least common denominator for fractions.
((f-g)(x)=x-2+2x-\(x^2-2x\)=4x)। कोष्ठक खोलते समय चिन्ह बदलना आवश्यक है। / ((f-g)(x)=x-2+2x-\(x^2-2x\)=4x). Changing signs while opening brackets is essential.
((f+g)(x)=2x-1+5-x=x+4), इसलिए यह रेखीय फलन है। पदों को सरल करके प्रकार पहचानें। / ((f+g)(x)=2x-1+5-x=x+4), so it is a linear function. Simplify the terms before identifying the type.
((f+g)(-2)=(-2)3+3(-2)=-8-6=-14)। ऋणात्मक संख्या की घात में चिन्ह पर ध्यान दें। / ((f+g)(-2)=(-2)3+3(-2)=-8-6=-14). Watch the sign in powers of negative numbers.
वर्गमूल से \(x\ge -4\) और हर से \(x\ne 1\)। गुणन का प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है। / The square root gives \(x\ge -4\) and the denominator gives \(x\ne 1\). The domain of a product is the intersection of both domains.
\(\frac{f}{g}\) में हर (g(-3)=0) है इसलिए मान अपरिभाषित है। \(\frac{x^2-9}{x+3}\) को सरल करने से पहले प्रतिबंध देखें। / In \(\frac{f}{g}\) the denominator is (g(-3)=0) so the value is undefined. Check restrictions before simplifying \(\frac{x^2-9}{x+3}\).
((f+g)(2)=3+4=7) और (h(2)=4), इसलिए (((f+g)h)(2)=28)। पहले फलनों का मान निकालना तेज तरीका है। / ((f+g)(2)=3+4=7) and (h(2)=4), so (((f+g)h)(2)=28). First evaluating the functions is a faster method.
A. दोनों \(x^2\) के बराबर हैं/Both are equal to \(x^2\)
Explanation
Simple Explanation
(\(f\circ g\)(x)=|x|2=x-2) और (\(g\circ f\)(x)=|x-2|=x-2)। कभी-कभी संयोजन क्रम बदलने पर भी परिणाम समान हो सकता है। / (\(f\circ g\)(x)=|x|2=x-2) and (\(g\circ f\)(x)=|x-2|=x-2). Sometimes changing composition order still gives the same result.
यदि \(x\ge 0\) तो (|x|-x=0) और यदि (x<0) तो (|x|-x=-x-x=-2x)। मापांक में चिन्ह के अनुसार केस बनाएं। / If \(x\ge 0\) then (|x|-x=0) and if (x<0) then (|x|-x=-x-x=-2x). For modulus use cases according to sign.
गुणन से ((fg)(x)=1) मिलता है लेकिन मूल हरों से \(x\ne 1,-1\)। सरलीकरण प्रतिबंधों को मिटाता नहीं है। / Multiplication gives ((fg)(x)=1) but original denominators require \(x\ne 1,-1\). Simplification does not remove restrictions.
(\(f\circ g\)(x)=f(g(x))=(x-4)2+1=x-2-8x+17)। संयोजन में पहले अंदर वाला फलन लगाएँ। / (\(f\circ g\)(x)=f(g(x))=(x-4)2+1=x-2-8x+17). In composition apply the inner function first.
वर्गमूल के लिए \(x-2\ge 0\) और \(5-x\ge 0\) चाहिए इसलिए \(2\le x\le 5\)। ऐसे प्रश्नों में दोनों शर्तें साथ लगाएँ। / For square roots we need \(x-2\ge 0\) and \(5-x\ge 0\) so \(2\le x\le 5\). In such questions apply both conditions together.
दोनों हर शून्य नहीं हो सकते इसलिए \(x\ne 1\) और \(x\ne -1\)। जोड़ में सामान्य प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है। / Both denominators cannot be zero so \(x\ne 1\) and \(x\ne -1\). For addition the common domain is the intersection of both domains.
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{x-2-4}{x-2}=x+2) पर \(x\ne 2\)। सरल करने के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध न भूलें। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{x-2-4}{x-2}=x+2) but \(x\ne 2\). Even after simplifying do not forget the original denominator restriction.
((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+2)(x-3)=x-2-x-6)। फलनों के गुणन में बीजगणितीय विस्तार सही रखें। / ((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+2)(x-3)=x-2-x-6). In product of functions expand algebraically with care.
((g-f)(x)=g(x)-f(x)=x-2+4-(3x-5)=x-2-3x+9)। घटाते समय पूरे दूसरे फलन पर ऋण लगाएँ। / ((g-f)(x)=g(x)-f(x)=x-2+4-(3x-5)=x-2-3x+9). Put a minus before the whole second function.
((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x-2-1+2x+3=x-2+2x+2)। परीक्षा में समान पदों को ध्यान से जोड़ें। / ((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x-2-1+2x+3=x-2+2x+2). In exams combine like terms carefully.
