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A. समुद्री मार्गों ने व्यापार सैन्य पहुंच और क्षेत्रीय दावे आसान किए/Sea routes made trade military access and territorial claims easier
Explanation
Simple Explanation
समुद्री शक्ति से यूरोपीय देशों ने दूरस्थ क्षेत्रों पर नियंत्रण बढ़ाया। परीक्षा में नौसंचालन व्यापार और साम्राज्यवाद को साथ पढ़ें। / Maritime power helped European states expand control over distant regions. For exams study navigation trade and imperialism together.
D. क्रीट के महलों और एजियन संपर्कों से/Through Cretan palaces and Aegean contacts
Explanation
Simple Explanation
मिनोअन सभ्यता एजियन सागर के व्यापारिक संपर्कों से समृद्ध हुई। परीक्षा में क्रीट को समुद्री नेटवर्क से जोड़ें। / The Minoan civilization prospered through trade contacts in the Aegean Sea. For exams connect Crete with maritime networks.
राष्ट्रीय समुद्री दिवस 5 अप्रैल को मनाया जाता है। इसे भारतीय समुद्री व्यापार और जहाजरानी इतिहास से जोड़ें। / National Maritime Day is observed on 5 April. Link it with Indian maritime trade and shipping history.
राष्ट्रीय समुद्री दिवस 5 अप्रैल को मनाया जाता है। इसे भारतीय समुद्री व्यापार और जहाजरानी इतिहास से जोड़ें। / National Maritime Day is celebrated on 5 April. Link it with Indian maritime trade and shipping history.
राजेंद्र चोल प्रथम ने दक्षिण पूर्व एशिया की ओर समुद्री अभियान किए। परीक्षा में चोलों को नौसैनिक शक्ति के रूप में याद रखें। / Rajendra Chola I carried maritime campaigns toward Southeast Asia. For exams, remember the Cholas as a naval power.
A. समुद्री यात्रा सुरक्षा और शिंतो अनुष्ठान/Maritime safety and Shinto rituals
Explanation
Simple Explanation
ओकिनोशिमा जापान में समुद्री मार्गों और शिंतो पवित्र परंपरा से जुड़ा है। परीक्षा में पवित्र द्वीप याद रखें। / Okinoshima in Japan is linked with sea routes and Shinto sacred tradition. For exams remember sacred island.
A. मलक्का जलडमरूमध्य व्यापार और बहु सांस्कृतिक नगर/Strait of Malacca trade and multicultural towns
Explanation
Simple Explanation
ये नगर एशियाई और यूरोपीय व्यापारिक संपर्क से विकसित हुए। परीक्षा में मलक्का जलडमरूमध्य याद रखें। / These towns developed through Asian and European trading contacts. For exams remember Strait of Malacca.
D. दक्षिण पूर्व एशिया में बहु सांस्कृतिक बंदरगाह व्यापार/Multicultural port trade in Southeast Asia
Explanation
Simple Explanation
होय आन वियतनाम का ऐतिहासिक बंदरगाह था जहां एशियाई व्यापारिक संस्कृतियां मिलीं। परीक्षा में व्यापारिक नगर याद रखें। / Hoi An was a historic port of Vietnam where Asian trading cultures met. For exams remember trading town.
A. अटलांटिक बंदरगाह और अठारहवीं सदी की नियोजित किलेबंदी/Atlantic port and eighteenth century planned fortification
Explanation
Simple Explanation
एस्सौइरा मोरक्को का अटलांटिक व्यापारिक बंदरगाह और नियोजित किलेबंद नगर है। परीक्षा में समुद्री व्यापार याद रखें। / Essaouira is Morocco's Atlantic trading port and planned fortified town. For exams remember maritime trade.
A. फोनीशियाई पुनिक शक्ति और रोमन संघर्ष/Phoenician Punic power and Roman conflict
Explanation
Simple Explanation
कार्थेज पुनिक समुद्री शक्ति और रोम के साथ संघर्ष के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में पुनिक युद्ध याद रखें। / Carthage is famous for Punic maritime power and conflict with Rome. For exams remember Punic Wars.
A. लाल सागर व्यापार और हज मार्ग/Red Sea trade and Hajj route
Explanation
Simple Explanation
जेद्दा लाल सागर का व्यापारिक बंदरगाह और मक्का जाने वाले यात्रियों का द्वार था। परीक्षा में हज द्वार याद रखें। / Jeddah was a Red Sea trading port and gateway for pilgrims to Mecca. For exams remember gateway to Hajj.
A. काला सागर तटीय नगर और बीजान्टिन चर्च परंपरा/Black Sea coastal town and Byzantine church tradition
Explanation
Simple Explanation
नेसेबार काला सागर तट पर बहु कालीन नगर धरोहर है। परीक्षा में बुल्गारिया और बीजान्टिन चर्च याद रखें। / Nessebar is a multi period urban heritage site on the Black Sea coast. For exams remember Bulgaria and Byzantine churches.
A. स्वीडिश नौसैनिक योजना और सैन्य बंदरगाह/Swedish naval planning and military port
Explanation
Simple Explanation
कार्ल्सक्रोना स्वीडन की नियोजित नौसैनिक नगरी है। परीक्षा में समुद्री सैन्य धरोहर याद रखें। / Karlskrona is a planned naval city of Sweden. For exams remember maritime military heritage.
D. बास्क व्हेल शिकार और अटलांटिक समुद्री उद्योग/Basque whaling and Atlantic maritime industry
Explanation
Simple Explanation
रेड बे कनाडा में बास्क व्हेलिंग और प्रारंभिक समुद्री उद्योग से जुड़ा है। परीक्षा में अटलांटिक धरोहर याद रखें। / Red Bay in Canada is linked with Basque whaling and early maritime industry. For exams remember Atlantic heritage.
C. ब्रिटिश नौसैनिक अड्डा और कैरेबियाई रणनीति/British naval base and Caribbean strategy
Explanation
Simple Explanation
नेल्सन डॉकयार्ड ब्रिटिश नौसैनिक शक्ति और कैरेबियाई रक्षा से जुड़ा है। परीक्षा में नौसैनिक धरोहर याद रखें। / Nelson's Dockyard is linked with British naval power and Caribbean defense. For exams remember naval heritage.
B. ब्रिटिश कैरेबियाई बंदरगाह और सैन्य रक्षा/British Caribbean port and military defense
Explanation
Simple Explanation
ब्रिजटाउन बारबाडोस में ब्रिटिश औपनिवेशिक सैन्य और बंदरगाह संरचना दिखाता है। परीक्षा में गैरीसन याद रखें। / Bridgetown in Barbados shows British colonial military and port structure. For exams remember garrison.
C. डच औपनिवेशिक समुद्री किलेबंदी/Dutch colonial maritime fortification
Explanation
Simple Explanation
गॉल किला श्रीलंका में डच औपनिवेशिक बंदरगाह और किलेबंदी का उदाहरण है। परीक्षा में समुद्री व्यापार याद रखें। / Galle Fort in Sri Lanka is an example of Dutch colonial port and fortification. For exams remember maritime trade.
D. क्योंकि इसकी किलेबंदी और बंदरगाह एड्रियाटिक व्यापार से जुड़े हैं/Because its fortifications and port are linked with Adriatic trade
Explanation
Simple Explanation
दुब्रोवनिक एड्रियाटिक समुद्री व्यापार और किलेबंदी से जुड़ा है। परीक्षा में क्रोएशिया याद रखें। / Dubrovnik is linked with Adriatic maritime trade and fortification. For exams remember Croatia.
कार्थेज फिनीशियन और बाद के रोमन इतिहास से जुड़ा है। परीक्षा में ट्यूनीशिया और भूमध्यसागर याद रखें। / Carthage is linked with Phoenician and later Roman history. For exams remember Tunisia and Mediterranean.
दुब्रोवनिक क्रोएशिया का एड्रियाटिक तटीय दीवारबंद नगर है। परीक्षा में समुद्री व्यापार और किलेबंदी याद रखें। / Dubrovnik is a walled Adriatic coastal city of Croatia. For exams remember maritime trade and fortification.
A. इसने स्पेन और पुर्तगाल के बीच नए खोजे गए क्षेत्रों पर दावों की रेखा तय की/It drew a line of claims over newly discovered lands between Spain and Portugal
Explanation
Simple Explanation
टॉर्डेसिलास की संधि ने यूरोपीय खोज यात्राओं को उपनिवेशी दावों से जोड़ा। परीक्षा में इसे स्पेन पुर्तगाल और समुद्री विस्तार से जोड़ें। / The Treaty of Tordesillas linked European voyages with colonial claims. For exams connect it with Spain Portugal and maritime expansion.
A. इसने स्पेन और पुर्तगाल के बीच नए खोजे गए क्षेत्रों पर दावों की रेखा तय की/It drew a line of claims over newly discovered lands between Spain and Portugal
Explanation
Simple Explanation
टॉर्डेसिलास की संधि ने यूरोपीय खोज यात्राओं को उपनिवेशी दावों से जोड़ा। परीक्षा में इसे स्पेन पुर्तगाल और समुद्री विस्तार से जोड़ें। / The Treaty of Tordesillas linked European voyages with colonial claims. For exams connect it with Spain Portugal and maritime expansion.
B. पूर्वी व्यापार मार्गों पर दबाव ने नए समुद्री मार्गों की खोज को प्रेरित किया/Pressure on eastern trade routes encouraged search for new sea routes
Explanation
Simple Explanation
कॉन्स्टेंटिनोपल के पतन ने व्यापारिक विकल्पों की खोज को तेज किया। परीक्षा में इसे खोज यात्राओं की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The fall of Constantinople accelerated the search for trade alternatives. For exams connect it with the background of exploration.
A. नई समुद्री खोजों का युग/Age of New Maritime Discoveries
Explanation
Simple Explanation
नई समुद्री खोजों के युग ने यूरोपीय व्यापार और उपनिवेश विस्तार को बढ़ाया। परीक्षा में पुर्तगाल और स्पेन को शुरुआती शक्तियों के रूप में याद रखें। / The Age of New Maritime Discoveries increased European trade and colonial expansion. For exams, remember Portugal and Spain as early powers.
B. भूमध्यसागर में व्यापारिक उपनिवेशों का प्रसार/Spread of trading colonies in the Mediterranean
Explanation
Simple Explanation
फोनीशियाई समुद्री व्यापार ने भूमध्यसागर में उपनिवेश और बाजार बनाए। परीक्षा में उन्हें व्यापारी नाविक के रूप में याद रखें। / Phoenician sea trade created colonies and markets in the Mediterranean. For exams remember them as trading sailors.
कार्थेज को फोनीशियाई उपनिवेश परंपरा से जोड़ा जाता है। बाद में यह भूमध्य सागर की बड़ी शक्ति बना। / Carthage is linked with the Phoenician colonial tradition. Later it became a major Mediterranean power.
A. व्यापारी संपर्कों से लिपि अलग क्षेत्रों में पहुंची/Merchant contacts carried the script to different regions
Explanation
Simple Explanation
फोनीशियन व्यापारी दूर तक गए और लिपि का प्रभाव फैलाया। परीक्षा में व्यापार को सांस्कृतिक प्रसार से जोड़ें। / Phoenician traders travelled widely and spread the script's influence. Link trade with cultural diffusion in exams.
A. लिपि और वस्तुओं को अलग क्षेत्रों तक पहुंचाया/It carried script and goods to different regions
Explanation
Simple Explanation
फोनीशियन व्यापार नेटवर्क से वर्णमाला और वस्तुओं का प्रसार हुआ। परीक्षा में समुद्री व्यापार को सांस्कृतिक संपर्क से जोड़ें। / Phoenician trade networks spread the alphabet and goods. Link maritime trade with cultural contact in exams.
D. वह गोदी जैसी संरचना और व्यापारिक स्थिति से जुड़ा है/It is linked with a dock-like structure and trading location
Explanation
Simple Explanation
लोथल को गोदी जैसी संरचना और व्यापारिक संपर्कों से जोड़ा जाता है। परीक्षा में इसे हड़प्पाई समुद्री व्यापार से याद रखें। / Lothal is linked with a dock-like structure and trading contacts. Remember it with Harappan maritime trade.
कार्थेज फोनीशियन समुद्री व्यापार परंपरा से जुड़ा था। इसे भूमध्य सागर के व्यापारिक नेटवर्क से याद रखें। / Carthage was linked with Phoenician maritime trade. Remember it with Mediterranean trading networks.
कार्थेज फोनीशियन समुद्री व्यापार परंपरा से जुड़ा था। परीक्षा में इसे भूमध्य सागर के व्यापारिक नगर के रूप में याद रखें। / Carthage was linked with the Phoenician maritime trade tradition. In exams, remember it as a trading city of the Mediterranean Sea.
A. समुद्र मार्ग से राजकीय आगमन/Royal arrival by sea route
Explanation
Simple Explanation
गेटवे ऑफ इंडिया मुंबई बंदरगाह पर औपनिवेशिक राजकीय आगमन का प्रतीक था। परीक्षा में इसे किंग जॉर्ज पंचम से जोड़ें। / Gateway of India symbolized colonial royal arrival at Mumbai harbour. In exams connect it with King George V.
A. चोल प्रभाव समुद्री क्षेत्रों तक फैला/Chola influence spread to maritime regions
Explanation
Simple Explanation
राजेंद्र चोल प्रथम समुद्री अभियानों के लिए प्रसिद्ध थे। इन्हें चोल साम्राज्य के विस्तार से जोड़ें। / Rajendra Chola I was famous for naval expeditions. Link them with the expansion of the Chola Empire.
A. समुद्री व्यापार पर अनुमति-पत्र द्वारा नियंत्रण रखना/To control maritime trade through permits
Explanation
Simple Explanation
कार्ताज समुद्री यात्रा पर पुर्तगाली नियंत्रण का साधन था। परीक्षा में इसे हिंद महासागर व्यापार से जोड़ें। / Cartaz was a tool of Portuguese control over sea travel. Exam tip is to link it with Indian Ocean trade.
A. पश्चिमी तट पर स्थायी यूरोपीय शक्ति केंद्र बनना/Creation of a permanent European power centre on the western coast
Explanation
Simple Explanation
1510 में गोवा पुर्तगालियों का प्रमुख समुद्री केंद्र बना। परीक्षा में इसे यूरोपीय समुद्री शक्ति के विस्तार से जोड़ें। / In 1510 Goa became a major Portuguese maritime centre. Exam tip is to link it with the expansion of European naval power.
गुजरात विजय से अकबर को सूरत जैसे व्यापारिक केंद्रों पर नियंत्रण मिला। मुगल विस्तार को आर्थिक कारणों से भी समझें। / The conquest of Gujarat gave Akbar control over trade centres such as Surat. Understand Mughal expansion through economic reasons too.
पत्तिनप्पालै पुहार या कावेरीपट्टनम के व्यापारिक जीवन को दर्शाता है। परीक्षा में संगम साहित्य को व्यापार स्रोत के रूप में पढ़ें। / Pattinappalai depicts the commercial life of Puhar or Kaveripattinam. For exams, read Sangam literature as a trade source.
घंटशाला आंध्र क्षेत्र में बौद्ध और समुद्री व्यापार संपर्कों से जुड़ा था। परीक्षा में तटीय आंध्र के प्राचीन केंद्र याद रखें। / Ghantasala was linked with Buddhist and maritime trade contacts in the Andhra region. For exams, remember ancient centres of coastal Andhra.
सातवाहन काल में पश्चिमी तट से समुद्री व्यापार महत्वपूर्ण था। परीक्षा में दक्कन और पश्चिमी तटीय व्यापार को साथ पढ़ें। / Maritime trade through the western coast was important in the Satavahana period. For exams study the Deccan with western coastal trade.
A. समुद्र संपर्क और अपेक्षाकृत समतल तटीय भूमि/Sea contact and relatively flat coastal land
Explanation
Simple Explanation
तटीय मैदान समुद्री संपर्क और समतल भूमि के कारण बंदरगाहों के लिए उपयोगी हैं। परीक्षा में तट व्यापार संबंध याद रखें। / Coastal plains are useful for ports due to sea contact and flat land. For exams remember coast trade relation.
B. समुद्र से संपर्क और अपेक्षाकृत समतल तट/Sea contact and relatively flat coast
Explanation
Simple Explanation
तटीय मैदान समुद्री संपर्क और समतल भूमि के कारण बंदरगाहों के लिए उपयोगी हैं। परीक्षा में तट और व्यापार संबंध याद रखें। / Coastal plains are useful for ports due to sea contact and flat land. For exams remember coast and trade relation.
A. समुद्र से संपर्क और तटीय समतलता/Sea contact and coastal flatness
Explanation
Simple Explanation
तटीय मैदान समुद्र से संपर्क और अपेक्षाकृत समतल भूमि के कारण बंदरगाहों के लिए उपयोगी हैं। परीक्षा में तट और व्यापार संबंध याद रखें। / Coastal plains are useful for ports due to sea contact and relatively flat land. For exams remember coast and trade relation.
A. समुद्री स्थान और तटीय गतिविधियों की समझ बेहतर होती है/It improves understanding of sea location and coastal activities
Explanation
Simple Explanation
तट और द्वीप समुद्री भूगोल से जुड़े हैं इसलिए इन्हें साथ पढ़ना उपयोगी है। परीक्षा में लक्षद्वीप और अंडमान निकोबार अलग रखें। / Coasts and islands are linked with maritime geography so studying them together is useful. For exams keep Lakshadweep and Andaman Nicobar separate.
A. समुद्री व्यापार और मत्स्य पालन/Maritime trade and fishing
Explanation
Simple Explanation
तटीय मैदान बंदरगाहों और समुद्री संसाधनों के कारण आर्थिक रूप से महत्वपूर्ण हैं। परीक्षा में तट और व्यापार संबंध याद रखें। / Coastal plains are economically important due to ports and marine resources. For exams remember the coast trade link.
A. मोतियों पर आधारित खाड़ी समुद्री अर्थव्यवस्था/Gulf maritime economy based on pearls
Explanation
Simple Explanation
बहरीन का पर्लिंग ट्रेल मोती उद्योग और समुद्री व्यापार संस्कृति को दिखाता है। परीक्षा में खाड़ी pearl economy याद रखें। / Bahrain Pearling Trail shows pearl industry and maritime trade culture. For exams remember Gulf pearl economy.
A. एक में कृषि जल स्रोत प्रमुख और दूसरे में समुद्री व्यापार प्रमुख/One focused on agricultural water sources and the other on sea trade
Explanation
Simple Explanation
नदी घाटी सभ्यताएं कृषि जल पर अधिक निर्भर थीं जबकि समुद्री सभ्यताएं व्यापार मार्गों पर। परीक्षा में सिंधु मिस्र और फोनीशियन उदाहरण साथ याद रखें। / River valley civilizations depended more on agricultural water while maritime civilizations depended on trade routes. Remember Indus Egypt and Phoenician examples together.
लोथल का गोदीघर हड़प्पा कालीन समुद्री व्यापार से जुड़ा महत्वपूर्ण संकेत है। परीक्षा में स्थल और आर्थिक गतिविधि का संबंध याद रखें। / The dockyard at Lothal is an important indication of Harappan maritime trade. For exams remember the link between site and economic activity.
A. समुद्री व्यापार और पूर्वी बंदरगाह/Maritime trade and eastern port
Explanation
Simple Explanation
ताम्रलिप्ति पूर्वी भारत का महत्वपूर्ण बंदरगाह था। परीक्षा में इसे बंगाल और समुद्री संपर्क से जोड़ें। / Tamralipti was an important port of eastern India. For exams, connect it with Bengal and maritime contact.
A. सिंधु क्षेत्र से समुद्री संपर्क/Maritime contact from the Indus region
Explanation
Simple Explanation
मेलुह्हा संदर्भ सिंधु और मेसोपोटामिया के व्यापारिक संपर्कों की ओर संकेत करता है। परीक्षा में विदेशी शब्दों को व्यापार संदर्भ में पढ़ें। / Meluhha references point toward trade contacts between the Indus region and Mesopotamia. For exams, read foreign terms in trade context.
लोथल की गोदी समुद्री व्यापार का संकेत देती है। परीक्षा में इसे गुजरात के व्यापारिक स्थल के रूप में याद रखें। / The dock at Lothal indicates maritime trade. For exams, remember it as a trade site of Gujarat.
A. समुद्री व्यापार और नौसैनिक प्रभाव/Maritime trade and naval influence
Explanation
Simple Explanation
राजेंद्र चोल प्रथम ने समुद्री शक्ति और व्यापारिक हितों को बढ़ाया। परीक्षा में चोलों को नौसैनिक शक्ति के रूप में याद रखें। / Rajendra Chola I expanded maritime power and trade interests. For exams, remember the Cholas as a naval power.
तम्रलिप्ति पूर्वी भारत का महत्वपूर्ण बंदरगाह था। परीक्षा में इसे समुद्री व्यापार और बंगाल क्षेत्र से जोड़ें। / Tamralipti was an important port of eastern India. For exams, connect it with maritime trade and the Bengal region.
A. विदेशी समुद्री अभियानों और व्यापारिक नियंत्रण के लिए/Overseas naval expeditions and trade control
Explanation
Simple Explanation
चोल नौसेना दक्षिण और दक्षिण-पूर्व एशिया तक प्रभाव के लिए प्रसिद्ध थी। परीक्षा में इसे राजेंद्र चोल के अभियानों से जोड़ें। / The Chola navy was famous for influence up to South and Southeast Asia. For exams, connect it with Rajendra Chola's campaigns.
(24) के गुणजों के योग से (48) के गुणजों का योग घटाने पर (1027752) मिलता है। but not में बड़ी शर्त को घटाना होता है। / Subtracting the sum of multiples of (48) from the sum of multiples of (24) gives (1027752). In but-not cases, subtract the stricter condition.
(18) के गुणजों के योग से (\operatorname{lcm}(18,30)) के गुणजों का योग घटाने पर (83664) मिलता है। but not वाली शर्त में overlap हटाएँ। / Subtracting the sum of multiples of (\operatorname{lcm}(18,30)) from the sum of multiples of (18) gives (83664). In a but-not condition, remove the overlap.
(18) के गुणजों के योग से (72) के गुणजों का योग घटाने पर (28278) मिलता है। overlap हटाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Subtracting the sum of multiples of (72) from the sum of multiples of (18) gives (28278). Use the least common multiple to remove overlap.
(10) के गुणजों के योग से (50) के गुणजों का योग घटाने पर (39600) मिलता है। दोनों शर्तों के साझा गुणजों को हटाएँ। / Subtracting the sum of multiples of (50) from the sum of multiples of (10) gives (39600). Remove the common multiples of both conditions.
तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग (494550) है और (11) के गुणजों का योग (44550), इसलिए उत्तर (450000) है। विभाज्य नहीं में पूरक विधि तेज होती है। / The sum of all three-digit numbers is (494550), and the sum of multiples of (11) is (44550), so the answer is (450000). For not divisible, the complement method is fast.
संख्याएँ \(105,147,\ldots,987\) हैं और उनका योग (12012) है। ऐसी शर्त में नई श्रेढ़ी का अंतर (42) हो जाता है। / The numbers are \(105,147,\ldots,987\), and their sum is (12012). In this condition, the new AP has common difference (42).
(12) के गुणजों के योग से (36) के गुणजों का योग घटाने पर (26460) मिलता है। overlap हटाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Subtracting the sum of multiples of (36) from the sum of multiples of (12) gives (26460). Use the least common multiple to remove overlap.
(8) के गुणजों के योग से (24) के गुणजों का योग घटाने पर (33368) मिलता है। but not वाली शर्त में पूरक घटाएँ। / Subtracting the sum of multiples of (24) from the sum of multiples of (8) gives (33368). In a but-not condition, subtract the complement.
तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग (494550) है और (9) के गुणजों का योग (55350), इसलिए उत्तर (439200) है। not divisible में पूरक विधि तेज होती है। / The sum of all three-digit numbers is (494550), and the sum of multiples of (9) is (55350), so the answer is (439200). For not divisible, the complement method is fast.
संख्याएँ \(105,135,\ldots,975\) हैं और उनका योग (16200) है। ऐसी शर्त में नई श्रेढ़ी का अंतर (30) हो जाता है। / The numbers are \(105,135,\ldots,975\), and their sum is (16200). In this condition, the new AP has common difference (30).
संख्याएँ \(200,216,\ldots,488\) हैं और उनका योग (6536) है। but not वाली शर्त से अक्सर नई AP बनती है। / The numbers are \(200,216,\ldots,488\), and their sum is (6536). A but-not condition often forms a new AP.
संख्याएँ \(102,114,\ldots,990\) हैं और उनका योग (40950) है। ऐसी शर्त में (12) के अंतर वाली नई श्रेढ़ी बनती है। / The numbers are \(102,114,\ldots,990\), and their sum is (40950). In such a condition, a new AP with common difference (12) is formed.
दो अंकों की सभी संख्याओं का योग (4905) है और (4) के गुणजों का योग (1188), इसलिए उत्तर (3717) है। not divisible में पूरक विधि तेज होती है। / The sum of all two-digit numbers is (4905), and the sum of multiples of (4) is (1188), so the answer is (3717). For not divisible, the complement method is fast.
पहले दो अंतर (5,5) हैं, पर (20-14=6) है। सभी उपलब्ध क्रमागत अंतर जांचना जरूरी है। / The first two differences are (5,5), but (20-14=6). It is necessary to check all available consecutive differences.
(2,6,10) तक अंतर (4,4) हैं, पर (15-10=5) है। सभी उपलब्ध क्रमागत अंतर जांचना जरूरी है। / Up to (2,6,10), the differences are (4,4), but (15-10=5). It is necessary to check all available consecutive differences.
C. क्योंकि क्रमागत अंतर समान नहीं हैं/Because consecutive differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
अंतर (4,6,8) हैं जो समान नहीं हैं। केवल बढ़ते पद देखकर अंकगणितीय श्रेणी न मानें। / The differences are (4,6,8), which are not equal. Do not assume arithmetic progression only because terms increase.
\(2,3,5,8,\ldots\) में अंतर (1,2,3) हैं। इसलिए लगातार अंतर बराबर नहीं हैं। / In \(2,3,5,8,\ldots\), the differences are (1,2,3). Hence the consecutive differences are not equal.
D. क्योंकि क्रमागत अंतर समान नहीं हैं/Because consecutive differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
अंतर (4,6,8) हैं जो समान नहीं हैं। बढ़ते पद होना ही अंकगणितीय श्रेणी के लिए पर्याप्त नहीं है। / The differences are (4,6,8), which are not equal. Increasing terms alone are not enough for an arithmetic progression.
\(2,4,7,11,\ldots\) में अंतर (2,3,4) हैं। अंकगणितीय श्रेणी पहचानने के लिए सभी अंतर समान होने चाहिए। / In \(2,4,7,11,\ldots\), the differences are (2,3,4). To identify an arithmetic progression all differences must be equal.
C. क्योंकि क्रमागत अंतर समान नहीं हैं/Because consecutive differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
अंतर (2,3,4) हैं जो समान नहीं हैं। बढ़ते पद होने से ही अंकगणितीय श्रेणी नहीं बनती। / The differences are (2,3,4), which are not equal. Increasing terms alone do not make an arithmetic progression.
\(2,5,9,14,\ldots\) में अंतर (3,4,5) हैं। अंतर समान न हो तो अनुक्रम समांतर श्रेढ़ी नहीं होता। / In \(2,5,9,14,\ldots\), the differences are (3,4,5). If differences are not equal, the sequence is not an arithmetic progression.
A. बिंदु (\left\(2,5\right\))/Point (\left\(2,5\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(2,5\right\)) पर (3\left\(2\right\)+4\left\(5\right\)=26), लेकिन (2+5=7) भी है, इसलिए जाँच पूरी करें। सही अलग बिंदु (\left\(4,\frac{7}{2}\right\)) है। / At (\left\(2,5\right\)), (3\left\(2\right\)+4\left\(5\right\)=26), but (2+5=7) also, so check fully. The correct non-common point is (\left\(4,\frac{7}{2}\right\)).
A. बिंदु (\left\(1,5\right\))/Point (\left\(1,5\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(1,5\right\)) पर (2\left\(1\right\)+5\left\(5\right\)=27), लेकिन (1+5=6)। सामान्य हल बनने के लिए दोनों समीकरण सत्य होने चाहिए। / At (\left\(1,5\right\)), (2\left\(1\right\)+5\left\(5\right\)=27), but (1+5=6). To be a common solution, both equations must be true.
B. बिंदु (\left\(3,6\right\))/Point (\left\(3,6\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(3,6\right\)) पर (2\left\(3\right\)+3\left\(6\right\)=24), लेकिन (3+6=9)। सामान्य हल के लिए दोनों समीकरण सत्य होने चाहिए। / At (\left\(3,6\right\)), (2\left\(3\right\)+3\left\(6\right\)=24), but (3+6=9). For a common solution, both equations must be true.
( (4,2) ) पर (4(4)+2=18), लेकिन (4+2=6)। सामान्य हल के लिए बिंदु को दोनों समीकरण संतुष्ट करने चाहिए। / At ( (4,2) ), (4(4)+2=18), but (4+2=6). For a common solution, the point must satisfy both equations.
( (4,2) ) पर (3(4)+2(2)=16), लेकिन (4+2=6)। दोनों रेखाओं का हल बनने के लिए दोनों समीकरण सत्य होने चाहिए। / At ( (4,2) ), (3(4)+2(2)=16), but (4+2=6). To be a solution of both lines, both equations must be true.
( (2,5) ) पर (2(2)+3(5)=19), लेकिन (2+5=7) है। दोनों रेखाओं का हल बनने के लिए दोनों समीकरण सत्य होने चाहिए। / At ( (2,5) ), (2(2)+3(5)=19), but (2+5=7). To be a solution of both lines, both equations must be true.
\(x^{\frac{3}{2}}\) में चर की घात भिन्न है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। बहुपद में घातें अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। / In \(x^{\frac{3}{2}}\), the power of the variable is fractional, so it is not a polynomial. In a polynomial, powers are non-negative integers.
\(x^2+\frac{1}{x}+4\) में \(x^{-1}\) है, जो बहुपद में मान्य नहीं है। हर में चर हो तो सावधान रहें। / \(x^2+\frac{1}{x}+4\) contains \(x^{-1}\), which is not allowed in a polynomial. Be careful when the variable is in the denominator.
\(6x^3-2x+9\) बहुपद है और इसकी घात (3) है, इसलिए यह द्विघात नहीं है। घात से वर्गीकरण करें। / \(6x^3-2x+9\) is a polynomial and its degree is (3), so it is not quadratic. Classify by degree.
\(y^2+\frac{4}{y}\) में \(\frac{4}{y}=4y^{-1}\) है इसलिए घात ऋणात्मक है। ऋणात्मक घात वाला चर बहुपद नहीं बनाता। / In \(y^2+\frac{4}{y}\), \(\frac{4}{y}=4y^{-1}\), so the power is negative. A variable with a negative power is not a polynomial.
\(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) में चर की घात ऋणात्मक है। बहुपद में चर की घातें पूर्ण संख्याएँ होनी चाहिए। / \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) has a negative power of the variable. In a polynomial, powers of the variable must be whole numbers.
\(4x^3+x-9\) बहुपद है और इसकी घात (3) है। इसलिए यह द्विघात नहीं है। / \(4x^3+x-9\) is a polynomial and its degree is (3). Therefore it is not quadratic.
