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A. इससे तत्काल विरोध कमजोर हो सकता था लेकिन सामाजिक अविश्वास बचता था/It could weaken immediate resistance but leave social distrust
Explanation
Simple Explanation
यह नीति नियंत्रण के लिए विभाजन का उपयोग करती थी। परीक्षा में इसकी विरासत भी लिखें। / This policy used division for control. For exams also write its legacy.
\(d=\frac{90-27}{14-5}=7\) और \(a_{20}=90+6\times7=132\)। पहले (d) निकालें फिर आगे बढ़ें। / \(d=\frac{90-27}{14-5}=7\) and \(a_{20}=90+6\times7=132\). First find (d) then move forward.
\(d=\frac{55-15}{12-4}=5\) और \(a_{16}=55+4\times5=75\)। पहले (d) फिर वांछित पद निकालें। / \(d=\frac{55-15}{12-4}=5\) and \(a_{16}=55+4\times5=75\). First find (d), then the required term.
\(d=\frac{3-8}{8-3}=-1\), इसलिए (a_{11}=3+3(-1)=0)। ज्ञात पास वाले पद से आगे बढ़ना सरल है। / \(d=\frac{3-8}{8-3}=-1\), so (a_{11}=3+3(-1)=0). Moving from the nearer known term is simple.
संबंधों को घटाने पर (d=-1) और आगे रखने पर \(a_{p+q}=0\) मिलता है। प्रतीकात्मक AP में भी (a_n=a+(n-1)d) ही लगाएं। / Subtracting the relations gives (d=-1), and substitution gives \(a_{p+q}=0\). Even in symbolic APs, use (a_n=a+(n-1)d).
\(d=\frac{32-16}{9-5}=4\), इसलिए \(a_{13}=32+4\times4=48\)। समान स्थान अंतर होने पर पदों का अंतर भी समान होता है। / \(d=\frac{32-16}{9-5}=4\), so \(a_{13}=32+4\times4=48\). Equal position gaps give equal term gaps in an AP.
A. जर्मनी को पूर्व से राहत मिली लेकिन सोवियत जर्मन संघर्ष अंततः टला नहीं/Germany got relief from the east but Soviet-German conflict was not ultimately avoided
Explanation
Simple Explanation
संधि तत्काल रणनीतिक थी पर वैचारिक और सामरिक टकराव बना रहा। परीक्षा में अल्पकालीन और दीर्घकालीन परिणाम अलग करें। / The pact was immediate strategy but ideological and strategic conflict remained. For exams separate short-term and long-term results.
\(71=a+11\times5\) से (a=16)। ज्ञात पद से पहले पद तक जाने के लिए (11d) घटाएं। / From \(71=a+11\times5\), (a=16). To move from the known term to the first term subtract (11d).
\(47=a+8\times4\) से (a=15)। ज्ञात पद से पहले पद तक जाने के लिए (8d) घटाएं। / From \(47=a+8\times4\), (a=15). To move from the known term to the first term, subtract (8d).
(23=a+5d=a+25), इसलिए (a=-2)। दिए गए पद से पीछे जाते समय (5d) घटाया जाता है। / (23=a+5d=a+25), so (a=-2). When moving backward from a given term, subtract (5d).
\(a_{11}=7\times11+2=79\)। सामान्य पद में सही पद संख्या रखना ही मुख्य कदम है। / \(a_{11}=7\times11+2=79\). The main step is substituting the correct term number in the general term.
A. राजनीतिक अर्थव्यवस्था संस्कृति सीमा और राष्ट्र निर्माण को साथ देखना/Seeing politics economy culture borders and nation building together
Explanation
Simple Explanation
दीर्घकालिक प्रभाव बहुक्षेत्रीय होते हैं इसलिए कई पक्षों को साथ पढ़ना चाहिए। परीक्षा में समयरेखा और मानचित्र बनाएं। / Long term effects are multi dimensional so many aspects should be studied together. For exams make timeline and map.
A. राजनीतिक नियंत्रण आर्थिक शोषण सांस्कृतिक प्रभाव और राष्ट्र निर्माण को साथ देखना/Seeing political control economic exploitation cultural impact and nation building together
Explanation
Simple Explanation
लंबे प्रभाव समझने के लिए कारण प्रभाव और स्वतंत्रता बाद की चुनौतियां साथ पढ़ें। परीक्षा में मानचित्र और समयरेखा बनाएं। / To understand long term effects study causes impacts and post independence challenges together. For exams make maps and timelines.
A. तत्काल दमन के बावजूद राष्ट्रवाद और उदारवाद आगे मजबूत हुए/Despite immediate repression nationalism and liberalism later grew stronger
Explanation
Simple Explanation
अठारह सौ अड़तालीस ने भविष्य के राष्ट्रीय और संवैधानिक संघर्षों को विचार दिया। परीक्षा में अल्पकाल और दीर्घकाल अलग लिखें। / 1848 gave ideas to future national and constitutional struggles. For exams separate short-term and long-term effects.
B. सत्ता समाज अर्थव्यवस्था और विचारों पर प्रभाव बताकर/By explaining effects on power society economy and ideas
Explanation
Simple Explanation
दीर्घकालीन प्रभाव कई क्षेत्रों में दिखाई देता है। परीक्षा में चार श्रेणियों में प्रभाव लिखें। / Long-term impact appears in many areas. For exams write effects in four categories.
शर्त से (6+13d=3(6+3d)), इसलिए (d=3) और \(S_{30}=1485\) है। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें। / The condition gives (6+13d=3(6+3d)), so (d=3) and \(S_{30}=1485\). Convert the term condition into an equation first.
शर्त से (5+11d=4(5+2d)), इसलिए (d=5) और \(S_{20}=1050\) है। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें। / The condition gives (5+11d=4(5+2d)), so (d=5) and \(S_{20}=1050\). Convert the term condition into an equation first.
शर्त से (6+8d=2(6+3d)), इसलिए (d=3) और \(S_{25}=1050\) है। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें। / The condition gives (6+8d=2(6+3d)), so (d=3) and \(S_{25}=1050\). Convert the term condition into an equation first.
शर्त से (4+7d=3(4+2d)), इसलिए (d=8) और \(S_{12}=576\)। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें। / The condition gives (4+7d=3(4+2d)), so (d=8) and \(S_{12}=576\). Convert the term condition into an equation first.
\(a_{36}=8\times36+15=303\)। बने हुए सूत्र में (n=36) रखकर सीधे उत्तर पाएं। / \(a_{36}=8\times36+15=303\). Put (n=36) in the formed formula to get the answer directly.
((r+6))वां पद (r)वें पद से (6d) आगे है इसलिए (3r-2+24=3r+22)। प्रतीकात्मक प्रश्न में स्थान अंतर देखें। / The ((r+6))th term is (6d) ahead of the (r)th term so (3r-2+24=3r+22). In symbolic questions look at the position gap.
((m+5))वां पद (m)वें पद से (5d) आगे है इसलिए (2m+3+10=2m+13)। प्रतीकात्मक पदों में भी स्थान अंतर देखें। / The ((m+5))th term is (5d) ahead of the (m)th term, so (2m+3+10=2m+13). In symbolic terms, look at the position gap.
(93=25+17d) से (68=17d) इसलिए (d=4)। (18)वें पद के लिए गुणक (17) होता है। / From (93=25+17d), (68=17d) so (d=4). For the (18)th term, the multiplier is (17).
\(a_{32}=6\times32+5=197\)। बनाए गए सूत्र में (n) का सही मान रखें। / \(a_{32}=6\times32+5=197\). Substitute the correct value of (n) in the formed formula.
(93=18+15d), इसलिए (75=15d) और (d=5)। (16)वें पद के लिए गुणक (15) होगा। / (93=18+15d), so (75=15d) and (d=5). For the (16)th term, the multiplier is (15).
दो पदों का अंतर (81-41=40) है और पद संख्या का अंतर (10), इसलिए (d=4)। \(दो ज्ञात पदों में (d=\frac{\)पदों का अंतर}{स्थान का अंतर}) लगाएं। \(/ The difference of terms is (81-41=40) and the difference of positions is (10), so (d=4). Use (d=\frac{\)difference of terms}{difference of positions}).
सूत्र (a_n=a+(n-1)d) लगाने पर \(7+17\times4=75\)। परीक्षा में (n-1) को भूलना नहीं चाहिए। / Using (a_n=a+(n-1)d), \(7+17\times4=75\). Exam tip: do not forget (n-1).
(10)वाँ पद (4)थे पद से (6d) आगे है इसलिए (21+36=57)। पद संख्या का अंतर सीधे उपयोग करें। / The (10)th term is (6d) after the (4)th term, so (21+36=57). Use the difference in term numbers directly.
(7)वाँ पद (3)रे पद से (4d) आगे है इसलिए (14+20=34)। बीच के पदों की संख्या सही गिनें। / The (7)th term is (4d) after the (3)rd term, so (14+20=34). Count the gap between terms correctly.
(8)वाँ पद (5)वें पद से (3d) आगे है इसलिए (22+18=40)। पदों का अंतर गिनना आसान तरीका है। / The (8)th term is (3d) after the (5)th term, so (22+18=40). Counting the gap between terms is an easy method.
(10)वाँ पद (7)वें पद से (3d) आगे है इसलिए \(31+3\times4=43\)। पास के पदों के लिए अंतर विधि तेज होती है। / The (10)th term is (3d) after the (7)th term, so \(31+3\times4=43\). The difference method is quick for nearby terms.
सूत्र (a_n=a+(n-1)d) लगाएं तो \(5+7\times3=26\)। परीक्षा में (n-1) लेना न भूलें। / Using (a_n=a+(n-1)d), \(5+7\times3=26\). In exams, do not forget (n-1).
(n=18) रखने पर \(a_{18}=2\times18+3=39\)। दिए गए \(a_n\) में सीधे पद संख्या रखें। / Putting (n=18), \(a_{18}=2\times18+3=39\). Substitute the term number directly in the given \(a_n\).
\(a_{11}=6+10\times7=76\)। (11)वें पद तक (10) बार अंतर जुड़ता है। / \(a_{11}=6+10\times7=76\). Up to the (11)th term, the difference is added (10) times.
सूत्र (a_n=a+(n-1)d) लगाने पर \(a_{10}=4+9\times3=31\)। परीक्षा में (n-1) को ध्यान से लिखें। / Using (a_n=a+(n-1)d), \(a_{10}=4+9\times3=31\). Exam tip: write (n-1) carefully.
A. यूरोपीय शक्तियां बाहरी क्षेत्रों पर दावे को वैध बनाना चाहती थीं/European powers wanted to legitimize claims over overseas territories
Explanation
Simple Explanation
इस संधि ने स्पेन और पुर्तगाल के दावों को यूरोपीय दृष्टि से बांटा। परीक्षा में इसे समुद्री विस्तार और औपनिवेशिक दावे से जोड़ें। / This treaty divided Spanish and Portuguese claims from a European viewpoint. For exams connect it with maritime expansion and colonial claims.
A. व्यापारिक कंपनी का राजनीतिक और आर्थिक नियंत्रण में बदलना/A trading company changing into political and economic control
Explanation
Simple Explanation
डच कंपनी ने व्यापार के साथ औपनिवेशिक प्रभाव भी बढ़ाया। परीक्षा में नीदरलैंड और इंडोनेशिया साथ याद रखें। / The Dutch company expanded colonial influence along with trade. For exams remember the Netherlands and Indonesia together.
A. व्यापारिक संस्थाएं औपनिवेशिक शासन का आधार बन सकती थीं/Trading bodies could become bases of colonial rule
Explanation
Simple Explanation
ईस्ट इंडिया कंपनी ने व्यापार से प्रशासनिक और राजनीतिक नियंत्रण की ओर विस्तार किया। परीक्षा में व्यापार से शासन तक का क्रम समझें। / The East India Company expanded from trade to administrative and political control. For exams understand the shift from trade to rule.
A. क्रांतिकारी उथल पुथल के बाद शक्ति संतुलन बहाल करने की कोशिश/Attempt to restore balance of power after revolutionary upheaval
Explanation
Simple Explanation
वाटरलू ने नेपोलियन युग समाप्त किया और वियना ने नई व्यवस्था बनाई। परीक्षा में युद्ध और कूटनीति दोनों याद रखें। / Waterloo ended the Napoleonic era and Vienna shaped a new order. For exams remember both war and diplomacy.
नाटो पश्चिमी खेमे और वारसॉ संधि सोवियत खेमे से जुड़ी थी। परीक्षा में दोनों को विरोधी सैन्य गठबंधन के रूप में याद रखें। / NATO was linked with the western bloc and Warsaw Pact with the Soviet bloc. For exams remember both as rival military alliances.
A. पूर्व और पश्चिम के बीच सीधे सैन्य युद्ध के बिना तीखा तनाव/Sharp tension without direct military war between East and West
Explanation
Simple Explanation
बर्लिन नाकेबंदी ने यूरोप में शीत युद्ध का तनाव बढ़ाया। परीक्षा में इसे बर्लिन एयरलिफ्ट से जोड़ें। / The Berlin Blockade increased Cold War tension in Europe. For exams connect it with the Berlin Airlift.
A. उपनिवेश विरोधी राष्ट्रवाद/Anti colonial nationalism
Explanation
Simple Explanation
नासिर और नक्रूमा दोनों ने स्वतंत्रता और राष्ट्रीय सम्मान की राजनीति को मजबूत किया। परीक्षा में इन्हें उपनिवेश मुक्ति से जोड़ें। / Nasser and Nkrumah strengthened politics of independence and national dignity. Exam tip: connect them with decolonization.
A. अधिनायकवादी दक्षिणपंथी शासन/Authoritarian right wing rule
Explanation
Simple Explanation
फ्रांको स्पेन में दीर्घकालीन अधिनायकवादी शासन से जुड़े थे। परीक्षा में उन्हें स्पेनिश गृहयुद्ध के बाद की राजनीति से जोड़ें। / Franco was linked with long authoritarian rule in Spain. For exams connect him with politics after the Spanish Civil War.
A. निजीकरण बाजार समर्थक सुधार और ट्रेड यूनियन शक्ति घटाना/Privatization market oriented reform and reducing trade union power
Explanation
Simple Explanation
थैचरवाद बाजार समर्थक और राज्य भूमिका घटाने वाली नीतियों से जुड़ा है। परीक्षा में इसे आधुनिक ब्रिटिश आर्थिक बदलाव से जोड़ें। / Thatcherism is linked with market oriented policies and reducing state role. For exams connect it with modern British economic change.
A. क्रांतिकारी विचारों का प्रसार और साम्राज्यवादी विस्तार की सीमा/Spread of revolutionary ideas and limits of imperial expansion
Explanation
Simple Explanation
नेपोलियन ने क्रांतिकारी कानूनों को फैलाया पर साम्राज्य विस्तार टिकाऊ नहीं रहा। परीक्षा में उपलब्धि और सीमा दोनों लिखें। / Napoleon spread revolutionary laws but imperial expansion was not lasting. For exams write both achievement and limitation.
A. व्यापार बाधाएं घटाकर आर्थिक सहयोग बढ़ाना/Reducing trade barriers and increasing economic cooperation
Explanation
Simple Explanation
युद्धोत्तर व्यवस्था में खुला व्यापार स्थिरता का साधन माना गया। परीक्षा में आर्थिक सहयोग को शांति व्यवस्था से जोड़ें। / In the post-war order open trade was seen as a tool of stability. For exams connect economic cooperation with peace order.
C. आक्रामक विस्तारवाद और राष्ट्र संघ की कमजोरी/Aggressive expansionism and League weakness
Explanation
Simple Explanation
मंचूरिया संकट ने दिखाया कि आक्रामक देश आसानी से नहीं रुक रहे थे। परीक्षा में जापानी विस्तारवाद को द्वितीय विश्व युद्ध की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The Manchuria crisis showed that aggressive states were not being stopped easily. For exams connect Japanese expansionism with the background of the Second World War.
A. शीत युद्ध में सैन्य गुटबंदी/Military bloc formation in the Cold War
Explanation
Simple Explanation
इन गठबंधनों ने विश्व को दो सैन्य गुटों में बांटा। परीक्षा में नाटो और वारसा संधि को विरोधी गुटों के रूप में याद रखें। / These alliances divided the world into two military blocs. For exams remember NATO and Warsaw Pact as opposing blocs.
बादामी गुफाएं धार्मिक विविधता वाली शैलकृत कला को दिखाती हैं। परीक्षा में इन्हें चालुक्य काल से जोड़ें। / Badami Caves show rock-cut art with religious diversity. In exams connect them with the Chalukya period.
A. सूक्ष्म अवलोकन और प्रकृति के प्रति जिज्ञासा/Close observation and curiosity about nature
Explanation
Simple Explanation
जहांगीर प्राकृतिक चित्रों के संरक्षण के लिए प्रसिद्ध था। इसे कला और अवलोकन से जोड़ें। / Jahangir was famous for patronage of naturalistic paintings. Link it with art and observation.
A. मैसूर की सैन्य शक्ति को मजबूत कर ब्रिटिश दबाव का सामना करना/Strengthening Mysore's military power to face British pressure
Explanation
Simple Explanation
हैदर अली और टीपू दोनों मैसूर की शक्ति और ब्रिटिश विरोध से जुड़े थे। उन्हें राज्य रक्षा के संदर्भ में पढ़ें। / Both Hyder Ali and Tipu were linked with Mysore's power and resistance to the British. Study them in the context of state defence.
A. सूक्ष्म अवलोकन और सौंदर्यबोध/Close observation and aesthetic sense
Explanation
Simple Explanation
जहांगीर कला और प्राकृतिक चित्रों के संरक्षण के लिए प्रसिद्ध था। इसे मुगल चित्रकला के विकास से जोड़ें। / Jahangir was famous for patronage of art and naturalistic paintings. Link it with the development of Mughal painting.
A. क्षेत्रीय शक्तियों द्वारा मुगल प्रभुत्व को चुनौती/Regional powers challenging Mughal dominance
Explanation
Simple Explanation
छत्रसाल बुंदेलखंड की बुंदेला शक्ति से जुड़े थे। उन्हें मुगल सत्ता के विरुद्ध क्षेत्रीय प्रतिरोध से जोड़ें। / Chhatrasal was linked with Bundela power in Bundelkhand. Link him with regional resistance against Mughal authority.
जहांगीर प्राकृतिक चित्रण और चित्रकला संरक्षण के लिए प्रसिद्ध था। उसे मुगल कला से जोड़ें। / Jahangir was famous for naturalistic depiction and patronage of painting. Link him with Mughal art.
A. धार्मिक सुधार और औपनिवेशिक विरोध/Religious reform and anti-colonial opposition
Explanation
Simple Explanation
वाहाबी आंदोलन धार्मिक सुधार और औपनिवेशिक शासन के विरोध से जुड़ा था। परीक्षा में इसे उन्नीसवीं शताब्दी के आंदोलनों में रखें। / The Wahabi Movement was linked with religious reform and opposition to colonial rule. Place it among nineteenth-century movements in exams.
C. बंगाल की क्रांतिकारी गतिविधियाँ/Revolutionary activities in Bengal
Explanation
Simple Explanation
अलिपुर बम केस बंगाल की क्रांतिकारी गतिविधियों से जुड़ा था। इसे उग्र राष्ट्रवादी दौर से जोड़ें। / The Alipore Bomb Case was linked with revolutionary activities in Bengal. Connect it with the militant nationalist phase.
A. स्थानीय समानांतर शासन की कोशिश/Attempt at local parallel government
Explanation
Simple Explanation
प्रति सरकार स्थानीय वैकल्पिक सत्ता का उदाहरण थी। परीक्षा में सतारा, बलिया और तामलुक याद रखें। / Prati Sarkar was an example of local alternative authority. Exam tip: remember Satara, Ballia and Tamluk.
A. स्थानीय समानांतर शासन/Local parallel government
Explanation
Simple Explanation
प्रति सरकार स्थानीय जनता की वैकल्पिक सत्ता की कोशिश थी। परीक्षा में समानांतर सरकारों के उदाहरण याद रखें। / Prati Sarkar was an attempt of local alternative authority. Exam tip: remember examples of parallel governments.
A. स्थानीय वैकल्पिक शासन और जन सत्ता की कल्पना/Local alternative government and imagination of popular power
Explanation
Simple Explanation
प्रति सरकार ने 1942 के स्थानीय प्रतिरोध को संस्थागत रूप दिया। परीक्षा में समानांतर सरकारों के उदाहरण पढ़ें। / Prati Sarkar gave institutional form to local resistance of 1942. Exam tip: study examples of parallel governments.
A. क्रांतिकारी राष्ट्रवाद का विकास/Growth of revolutionary nationalism
Explanation
Simple Explanation
स्वदेशी काल में कुछ युवाओं ने सशस्त्र मार्ग अपनाया। परीक्षा में बंगाल के क्रांतिकारी नेटवर्क याद रखें। / During the Swadeshi phase some youth adopted the armed path. Exam tip is to remember Bengal revolutionary networks.
1946 की हिंसा ने विभाजन की दिशा को और तेज किया। परीक्षा में प्रत्यक्ष कार्रवाई दिवस को विभाजन की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The violence of 1946 accelerated the move toward partition. Exam tip: connect Direct Action Day with background of partition.
C. राष्ट्रीय आंदोलन में समाजवादी विचारों का प्रवेश/Entry of socialist ideas into the national movement
Explanation
Simple Explanation
कांग्रेस सोशलिस्ट पार्टी ने स्वतंत्रता संघर्ष को सामाजिक आर्थिक बदलाव से भी जोड़ा। परीक्षा में जयप्रकाश नारायण को इससे जोड़ें। / The Congress Socialist Party linked the freedom struggle with social and economic change. Exam tip is to connect Jayaprakash Narayan with it.
लाला लाजपत राय, बाल गंगाधर तिलक और बिपिन चंद्र पाल उग्रवादी नेताओं की त्रयी थे। परीक्षा में तीनों नाम साथ याद रखें। / Lala Lajpat Rai, Bal Gangadhar Tilak and Bipin Chandra Pal were the Extremist trio. Exam tip: remember all three names together.
A. केंद्रीय शक्ति का कमजोर होना/Weakening of central power
Explanation
Simple Explanation
औरंगजेब के बाद मुगल केंद्रीय सत्ता कमजोर होने लगी। परीक्षा में क्षेत्रीय शक्तियों के उभार से जोड़ें। / After Aurangzeb the Mughal central authority began to weaken. For exams, connect it with the rise of regional powers.
जहांगीर ने प्राकृतिक वस्तुओं और जीव जंतुओं के चित्रों को बढ़ावा दिया। परीक्षा में उसे चित्रकला प्रेमी शासक मानें। / Jahangir promoted paintings of natural objects and animals. For exams, remember him as a ruler fond of painting.
A. संरचनात्मक शैव मंदिर निर्माण का विकास/Development of structural Shaiva temple building
Explanation
Simple Explanation
कैलासनाथ मंदिर पल्लव कालीन शैव संरचनात्मक मंदिर का प्रमुख उदाहरण है। परीक्षा में इसे राजसिंह पल्लव से जोड़ें। / Kailasanatha temple is a major example of Pallava Shaiva structural temple. For exams, connect it with Rajasimha Pallava.
A. पुराणिक धार्मिक रूपों का मंदिर कला में विकास/Development of Puranic religious forms in temple art
Explanation
Simple Explanation
देवगढ़ मंदिर गुप्तकालीन वैष्णव और संरचनात्मक मंदिर कला का उदाहरण है। परीक्षा में पुराणिक धर्म और मंदिर स्थापत्य को साथ पढ़ें। / Deogarh temple is an example of Gupta Vaishnava and structural temple art. For exams, study Puranic religion with temple architecture.
B. शिक्षा और धार्मिक संस्थाओं का संरक्षण/Patronage of education and religious institutions
Explanation
Simple Explanation
नालंदा गुप्तकालीन शिक्षा संरक्षण से जुड़ा महत्वपूर्ण केंद्र था। परीक्षा में शिक्षा संस्थानों को राजकीय संरक्षण से जोड़ें। / Nalanda was an important centre linked with Gupta patronage of learning. For exams, connect educational institutions with royal support.
A. राजस्व अधिकारों का हस्तांतरण/Transfer of revenue rights
Explanation
Simple Explanation
भूमि दान में कभी-कभी राजस्व और प्रशासनिक अधिकार भी दिए जाते थे। परीक्षा में भूमि दान को सामाजिक आर्थिक बदलाव से जोड़ें। / Land grants sometimes transferred revenue and administrative rights. For exams, connect land grants with socio-economic change.
\(a_{21}+a_{40}=a_1+a_{60}=300\), इसलिए (20) पदों का योग (3000) है। सममित पदों का योग बराबर होता है। / \(a_{21}+a_{40}=a_1+a_{60}=300\), so the sum of (20) terms is (3000). Sums of symmetric terms are equal in an AP.
\(a_{11}+a_{30}=a_1+a_{40}=210\), इसलिए (20) पदों का योग (2100) है। सममित पदों का योग बराबर होता है। / \(a_{11}+a_{30}=a_1+a_{40}=210\), so the sum of (20) terms is (2100). Sums of symmetric terms are equal in an AP.
(740=10(a+60)) से (a=14) मिलता है। जब (n)वाँ पद दिया हो तो उसे अंतिम पद की तरह इस्तेमाल करें। / From (740=10(a+60)), (a=14). When the (n)th term is given, use it as the last term for the first (n) terms.
(13n<600) में सबसे बड़ा (n=46) है इसलिए पद \(13\times46=598\)। सीमा से कम सबसे बड़ा पूर्णांक लें। / In (13n<600), the greatest (n=46) so the term is \(13\times46=598\). Take the greatest integer below the limit.
(-12=73+(n-1)(-5)) से (85=5(n-1)) इसलिए (n=18)। घटती AP में ऋणात्मक लक्ष्य तक चिन्ह सही रखें। / From (-12=73+(n-1)(-5)), (85=5(n-1)) so (n=18). In a decreasing AP keep signs correct up to the negative target.
\(112=z+18\times5\) से (z=22)। चर वाले पहले पद को (a) मानकर सूत्र लगाएं। / From \(112=z+18\times5\), (z=22). Treat the variable first term as (a) and apply the formula.
पद (7+5(n-1)) हैं। (180) से कम अंतिम पद (177) है क्योंकि अगला पद (182) होगा। / The terms are (7+5(n-1)). The last term less than (180) is (177) because the next term will be (182).
(-1=63+(n-1)(-4)) से (64=4(n-1)) इसलिए (n=17)। ऋणात्मक लक्ष्य पद में चिन्हों को ध्यान से संभालें। / From (-1=63+(n-1)(-4)), (64=4(n-1)) so (n=17). Handle signs carefully with a negative target term.
(a_n=105+(n-1)(-7)=112-7n)। \(a_n<0\) से (n>16) इसलिए पहला ऋणात्मक पद (17)वां है। / (a_n=105+(n-1)(-7)=112-7n). From \(a_n<0\), (n>16) so the first negative term is the (17)th.
(206=26+(n-1)9) से (180=9(n-1)) इसलिए (n=21)। पद और पहले पद का अंतर (d) से भाग दें। / From (206=26+(n-1)9), (180=9(n-1)) so (n=21). Divide the difference between the term and first term by (d).
\(92=a+13\times7\) से (a=1)। (14)वें पद से पहले पद तक (13d) घटता है। / From \(92=a+13\times7\), (a=1). From the (14)th term to the first term (13d) is subtracted.
(201=9+(n-1)8) से (192=8(n-1)) और (n=25)। पद संख्या पूर्णांक आए तो उत्तर सही दिशा में है। / From (201=9+(n-1)8), (192=8(n-1)) and (n=25). If the term number is an integer the answer is on the right track.
(11n<500) में सबसे बड़ा (n=45) है इसलिए पद \(11\times45=495\)। सीमा से कम सबसे बड़ा पूर्णांक लें। / In (11n<500), the greatest (n=45), so the term is \(11\times45=495\). Take the greatest integer below the limit.
(-17=55+(n-1)(-4)) से (72=4(n-1)) इसलिए (n=19)। ऋणात्मक पद तक जाते समय चिन्ह सही रखें। / From (-17=55+(n-1)(-4)), (72=4(n-1)) so (n=19). Keep signs correct while reaching a negative term.
