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A. क्योंकि इसने राष्ट्रवाद को बड़े पैमाने पर जनता की सीधी भागीदारी से जोड़ा/Because it linked nationalism with direct participation of the masses on a large scale
Step 1
Concept
पहले राजनीति अधिकतर सीमित वर्गों तक रहती थी। / Earlier politics often remained limited to narrower groups.
Step 2
Why this answer is correct
असहयोग ने विद्यार्थियों किसानों व्यापारियों वकीलों और आम जनता को जोड़ा। / Non-Cooperation connected students peasants traders lawyers and common people.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह जन राष्ट्रवाद का नया चरण बना। / Therefore it became a new phase of mass nationalism.
A. लगभग 2600 से 1900 ईसा पूर्व/About 2600 to 1900 BCE
Explanation
Simple Explanation
परिपक्व हड़प्पा काल लगभग 2600 से 1900 ईसा पूर्व माना जाता है। परीक्षा में इसे विकसित नगर योजना से जोड़ें। / The Mature Harappan phase is generally dated about 2600 to 1900 BCE. In exams link it with advanced urban planning.
यमुना एक्शन प्लान 1993 में शुरू हुआ था। इसे नदी सफाई और शहरी प्रदूषण नियंत्रण से जोड़ें। / The Yamuna Action Plan was launched in 1993. Link it with river cleaning and urban pollution control.
गंगा एक्शन प्लान 1985 में शुरू हुआ था। इसे गंगा नदी प्रदूषण नियंत्रण से जोड़कर याद रखें। / The Ganga Action Plan was launched in 1985. Remember it with pollution control of the Ganga river.
A. इसने सोवियत संसाधनों प्रतिष्ठा और राजनीतिक दबाव को बढ़ाया/It increased pressure on Soviet resources prestige and politics
Explanation
Simple Explanation
अफगान युद्ध ने सोवियत व्यवस्था पर सैन्य और आर्थिक बोझ बढ़ाया। परीक्षा में इसे शीत युद्ध के अंतिम दौर से जोड़ें। / The Afghan War increased military and economic burden on the Soviet system. Exam tip: connect it with the late Cold War.
A. उन्होंने सोवियत संघ के साथ तनाव और बाद में वार्ता दोनों में भूमिका निभाई/He played a role in both tension and later dialogue with the Soviet Union
Explanation
Simple Explanation
रीगन का दौर शीत युद्ध के अंतिम वर्षों से जुड़ा था। परीक्षा में उन्हें गोर्बाचोव के साथ वार्ताओं से भी जोड़ें। / Reagan's period was linked with the last years of the Cold War. For exams also connect him with talks with Gorbachev.
रीगन शीत युद्ध के अंतिम चरण से जुड़े अमेरिकी राष्ट्रपति थे। परीक्षा में उन्हें सोवियत संघ के साथ तनाव और वार्ता से याद रखें। / Reagan was a U.S. president linked with the final phase of the Cold War. For exams, remember him with tensions and talks with the Soviet Union.
A. आतंक के शासन और कट्टर गणतंत्रवाद से/Reign of Terror and radical republicanism
Explanation
Simple Explanation
जैकोबिनों ने रोबेस्पिएर के नेतृत्व में कट्टर नीतियां अपनाईं। परीक्षा में उन्हें आतंक के शासन से जोड़ें। / The Jacobins adopted radical policies under Robespierre. In exams, connect them with the Reign of Terror.
रोबेस्पिएर जैकोबिन नेतृत्व और आतंक के शासन से जुड़ा था। परीक्षा में इसे क्रांति के उग्र चरण के रूप में याद रखें। / Robespierre was linked with Jacobin leadership and the Reign of Terror. For exams remember it as the radical phase of the revolution.
B. लगभग 2600 से 1900 ईसा पूर्व/About 2600 to 1900 BCE
Explanation
Simple Explanation
परिपक्व हड़प्पा काल लगभग 2600 से 1900 ईसा पूर्व माना जाता है। परीक्षा में इसे विकसित नगर योजना और व्यापार से जोड़ें। / The Mature Harappan phase is generally dated about 2600 to 1900 BCE. Link it with advanced town planning and trade.
राष्ट्रीय वन्यजीव कार्य योजना का चरण 2002 से 2016 तक रहा। इसे दीर्घकालीन वन्यजीव संरक्षण योजना से जोड़ें। / The National Wildlife Action Plan phase ran from 2002 to 2016. Link it with long-term wildlife conservation planning.
कूका आंदोलन का प्रमुख चरण 1872 ईस्वी से जुड़ा है। इसे पंजाब के धार्मिक सामाजिक प्रतिरोध से याद रखें। / The major phase of the Kuka Movement is associated with 1872 CE. Remember it with religious and social resistance in Punjab.
शोर मंदिर पल्लवों के संरचनात्मक मंदिर निर्माण का उदाहरण है। परीक्षा में इसे नरसिंहवर्मन द्वितीय से जोड़ें। / The Shore Temple is an example of Pallava structural temple building. In exams connect it with Narasimhavarman II.
सफदरजंग का मकबरा उत्तरकालीन मुगल मकबरा परंपरा का बड़ा उदाहरण है। परीक्षा में स्मारकों को कालक्रम में रखें। / Safdarjung's Tomb is a major example of the later Mughal tomb tradition. For exams place monuments in chronological order.
सफदरजंग का मकबरा उत्तर मुगल काल का उदाहरण है। इसे दिल्ली के बाद के मुगल स्मारकों में याद करें। / Safdarjung's Tomb is an example of late Mughal architecture. Remember it among later Mughal monuments of Delhi.
शाहजहां को आगरा किले में कैद रखा गया था और मुसम्मन बुर्ज से यह प्रसंग जुड़ा है। मुगल स्मारकों में जीवन घटनाएं भी याद रखें। / Shah Jahan was confined in Agra Fort and this episode is linked with Musamman Burj. Remember life events also in Mughal monuments.
A. किसान प्रतिरोध और जमींदारी विरोध/Peasant resistance and opposition to zamindari
Explanation
Simple Explanation
टीपू शाह के समय पागल पंथी आंदोलन में किसान असंतोष अधिक स्पष्ट हुआ। इसे मायमनसिंह क्षेत्र से जोड़ें। / During Tipu Shah's phase peasant discontent became clearer in the Pagal Panthi Movement. Link it with the Mymensingh region.
रॉयल इंडियन नेवी विद्रोह 1946 में हुआ। परीक्षा में इसे आजादी से पहले के अंतिम दबावों में गिनें। / The Royal Indian Navy revolt happened in 1946. Exam tip: count it among final pressures before independence.
A. इसने राजनीतिक प्रशिक्षण और सार्वजनिक तर्क की परंपरा बनाई/It created political training and tradition of public reasoning
Explanation
Simple Explanation
उदारवादी राजनीति सीमित थी पर उसने राष्ट्रीय मुद्दों को व्यवस्थित किया। परीक्षा में योगदान और सीमा दोनों याद रखें। / Moderate politics was limited but organised national issues. Exam tip: remember both contribution and limitation.
A. बटाईदार किसानों की उपज में न्यायपूर्ण हिस्सेदारी/Fair share of produce for sharecropper peasants
Explanation
Simple Explanation
तेभागा आंदोलन बंगाल के बटाईदार किसानों की हिस्सेदारी से जुड़ा था। परीक्षा में इसे किसान आंदोलनों की श्रेणी में रखें। / The Tebhaga Movement was linked with the share of Bengal's sharecroppers. Exam tip is to place it under peasant movements.
B. इससे राजनीतिक प्रशिक्षण और राष्ट्रीय मुद्दों की भाषा बनी/It created political training and language of national issues
Explanation
Simple Explanation
उदारवादियों ने राष्ट्रीय समस्याओं को व्यवस्थित ढंग से उठाया। परीक्षा में उनकी सीमाओं के साथ योगदान भी याद रखें। / Moderates raised national issues in an organized way. Exam tip is to remember both their limits and contribution.
D. बटाईदार किसानों की उपज में अधिक हिस्सेदारी की मांग/Demand of sharecroppers for a larger share of produce
Explanation
Simple Explanation
तेभागा आंदोलन बंगाल के बटाईदार किसानों की मांगों से जुड़ा था। परीक्षा में इसे किसान संघर्षों की श्रेणी में याद रखें। / The Tebhaga Movement was linked with the demands of sharecroppers in Bengal. Exam tip is to remember it under peasant struggles.
A. जनता में सैनिकों के प्रति सहानुभूति और राष्ट्रवाद बढ़ा/Public sympathy for soldiers and nationalism increased
Explanation
Simple Explanation
लाल किला मुकदमों ने जनमत को प्रभावित किया। परीक्षा में इन्हें 1945 से 1946 के माहौल से जोड़ें। / The Red Fort trials influenced public opinion. Exam tip is to link them with the atmosphere of 1945 to 1946.
A. भारतीयों के लिए प्रशासन में समान अवसर की मांग थी/It was a demand for equal opportunity for Indians in administration
Explanation
Simple Explanation
प्रारंभिक राष्ट्रवादियों ने आई सी एस में भारतीय भागीदारी बढ़ाने की मांग की। परीक्षा में इसे उदारवादी मांगों में याद रखें। / Early nationalists demanded greater Indian participation in the ICS. Exam tip is to remember it among moderate demands.
A. उन्होंने कांग्रेस की स्थापना में सहयोग दिया/He helped in founding Congress
Explanation
Simple Explanation
ए ओ ह्यूम कांग्रेस के संस्थापक सहयोगियों में थे। परीक्षा में उन्हें 1885 से जोड़ें। / A O Hume was among the founding associates of Congress. Exam tip is to link him with 1885.
A. विधान परिषदों का विस्तार/Expansion of legislative councils
Explanation
Simple Explanation
प्रारंभिक कांग्रेस ने संवैधानिक सुधार और परिषदों में भारतीय प्रतिनिधित्व मांगा। परीक्षा में उदारवादी मांगों को समझें। / Early Congress demanded constitutional reforms and Indian representation in councils. Exam tip: understand Moderate demands.
कैकुबाद गुलाम वंश के अंतिम दौर से जुड़ा शासक था। परीक्षा में वंश के अंत और नए वंश के आरंभ को साथ पढ़ें। / Kaiqubad was a ruler of the late Slave dynasty phase. For exams, study the end of one dynasty with the rise of another.
कुतुबुद्दीन ऐबक मुहम्मद गोरी का सेनापति था। परीक्षा में गोरी के बाद ऐबक की सत्ता याद रखें। / Qutbuddin Aibak was a commander of Muhammad Ghori. For exams, remember Aibak's rule after Ghori.
शाहजहां के समय मुगल वास्तुकला अपने उत्कर्ष पर पहुंची। परीक्षा में ताजमहल लाल किला और जामा मस्जिद याद रखें। / Mughal architecture reached its peak in Shah Jahan's time. For exams, remember Taj Mahal Red Fort and Jama Masjid.
A. प्रारंभिक बौद्ध प्रतीकात्मक कला/Early Buddhist symbolic art
Explanation
Simple Explanation
सांची में बुद्ध को प्रतीकों से दर्शाया गया है। परीक्षा में अनिकोनिक और मानव आकृति निरूपण का अंतर याद रखें। / At Sanchi Buddha is represented through symbols. For exams, remember the difference between aniconic and human representation.
कब्रिस्तान एच को उत्तर हड़प्पाई सांस्कृतिक बदलावों से जोड़ा जाता है। परीक्षा में दफन परंपरा और चरण को साथ याद रखें। / Cemetery H is linked with Late Harappan cultural changes. For exams, remember burial tradition with its phase.
हुलास उत्तर प्रदेश में उत्तर हड़प्पाई चरण का महत्वपूर्ण स्थल है। परीक्षा में परिपक्व और उत्तर हड़प्पाई चरण अलग रखें। / Hulas in Uttar Pradesh is an important Late Harappan site. For exams, keep Mature and Late Harappan phases separate.
A. उच्च शिक्षा और वज्रयान से जुड़ा संस्थागत चरण/Institutional phase linked with higher learning and Vajrayana
Explanation
Simple Explanation
पाल महाविहार शिक्षा और बौद्ध तांत्रिक परंपराओं के केंद्र बने। परीक्षा में नालंदा विक्रमशिला और ओदंतपुरी को साथ याद रखें। / Pala Mahaviharas became centres of learning and Buddhist Tantric traditions. For exams, remember Nalanda Vikramashila and Odantapuri together.
B. प्रारंभिक हड़प्पाई संक्रमण चरण/Early Harappan transitional phase
Explanation
Simple Explanation
कोट दीजी को परिपक्व हड़प्पा से पहले के महत्वपूर्ण प्रारंभिक चरण से जोड़ा जाता है। परीक्षा में इसे शहरीकरण की तैयारी के रूप में याद रखें। / Kot Diji is linked with an important early phase before Mature Harappan urbanism. For exams, remember it as preparation for urbanization.
A. स्थानीय बसावट से अधिक मानकीकृत शहरी संस्कृति की ओर बढ़ना/Move from local settlements to more standardized urban culture
Explanation
Simple Explanation
परिपक्व हड़प्पा चरण में मानकीकरण और नगर योजना अधिक स्पष्ट होती है। परीक्षा में चरणों को विकास क्रम की तरह पढ़ें। / In the Mature Harappan phase standardization and town planning become clearer. For exams, read phases as a developmental sequence.
ब्रह्मगिरि मेगालिथिक और लौह युगीन परंपराओं के अध्ययन में महत्वपूर्ण है। परीक्षा में समाधि प्रकार और लौह उपयोग को साथ पढ़ें। / Brahmagiri is important for the study of Megalithic and Iron Age traditions. For exams, study burial types with iron use.
गोत्र व्यवस्था उत्तर वैदिक समाज में अधिक स्पष्ट होती है। परीक्षा में इसे विवाह और सामाजिक संगठन से जोड़ें। / The Gotra system becomes clearer in Later Vedic society. For exams, connect it with marriage and social organization.
कोट दीजी को पूर्व हड़प्पाई सांस्कृतिक चरण से जोड़ा जाता है। परीक्षा में इसे हड़प्पा के विकास क्रम से समझें। / Kot Diji is associated with the Pre-Harappan cultural phase. For exams, understand it within the development of Harappan culture.
चंद्रगुप्त मौर्य को श्रवणबेलगोला और जैन परंपरा से जोड़ा जाता है। परीक्षा में यह तथ्य मौर्य इतिहास में महत्वपूर्ण है। / Chandragupta Maurya is associated with Shravanabelagola and Jain tradition. For exams, this is an important fact in Mauryan history.
(3000=15(a+150)) से (a=50) मिलता है। (n)वें पद को पहले (n) पदों का अंतिम पद मानें। / From (3000=15(a+150)), (a=50). Treat the (n)th term as the last term of the first (n) terms.
(1625=\frac{25}{2}(a+113)) से (a=17) मिलता है। (n)वें पद को पहले (n) पदों का अंतिम पद मानें। / From (1625=\frac{25}{2}(a+113)), (a=17). Treat the (n)th term as the last term of the first (n) terms.
(740=10(a+60)) से (a=14) मिलता है। जब (n)वाँ पद दिया हो तो उसे अंतिम पद की तरह इस्तेमाल करें। / From (740=10(a+60)), (a=14). When the (n)th term is given, use it as the last term for the first (n) terms.
\(0=\frac{25}{2}[192+24d]\) से (d=-8) मिलता है। परीक्षा में शून्य योग वाले प्रश्नों में कोष्ठक को शून्य रखें। / From \(0=\frac{25}{2}[192+24d]\), (d=-8). Exam tip: in zero-sum questions, set the bracket equal to zero.
अंतिम पद (134) होगा इसलिए \(d=\frac{134-18}{29}=4\)। परीक्षा में औसत को प्रथम और अंतिम पद के औसत से जोड़ें। / The last term is (134), so \(d=\frac{134-18}{29}=4\). Exam tip: connect the average with the average of first and last terms.
(824=8[28+15d]) से (d=5) मिलता है। परीक्षा में ज्ञात (n) के साथ सीधे (d) के लिए हल करें। / From (824=8[28+15d]), (d=5). Exam tip: solve directly for (d) when (n) is known.
अंतिम पद (158) होगा इसलिए \(d=\frac{158-2}{39}=4\)। परीक्षा में औसत को प्रथम और अंतिम पद के औसत से जोड़ें। / The last term is (158), so \(d=\frac{158-2}{39}=4\). Exam tip: connect the average with the average of first and last terms.
(345=5[24+9d]) से (d=5) मिलता है। परीक्षा में ज्ञात (n) के साथ सीधे (d) के लिए हल करें। / From (345=5[24+9d]), (d=5). Exam tip: solve directly for (d) when (n) is known.
मानें \(S_n=\frac{d}{2}n^2+\frac{2a-d}{2}n\) और दो योगों से (a=7), (d=6) मिलते हैं इसलिए \(S_{27}=2295\)। परीक्षा में \(S_n\) को (n) के द्विघात रूप में लिखना उपयोगी है। / Let \(S_n=\frac{d}{2}n^2+\frac{2a-d}{2}n\). The two sums give (a=7), (d=6), so \(S_{27}=2295\); exam tip: write \(S_n\) as a quadratic in (n).
(999=9(13+l)) से (l=98) मिलता है। परीक्षा में (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) सबसे छोटा तरीका है। / From (999=9(13+l)), (l=98). Exam tip: (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) is the shortest method here.
(315=5[36+9d]) से (d=3) मिलता है। परीक्षा में (n) ज्ञात होने पर सूत्र को सीधे (d) के लिए हल करें। / From (315=5[36+9d]), (d=3). Exam tip: when (n) is known, solve the sum formula directly for (d).
(1128=6[2x+11(3x-2)]) से (x=6) मिलता है। चर वाले प्रश्न में पहले (a) और (d) स्पष्ट लिखें। / From (1128=6[2x+11(3x-2)]), (x=6). In variable-based questions, write (a) and (d) clearly first.
\(S_{33}=4983\) और \(S_{34}=5287\), इसलिए पहली बार (34) पदों पर योग (5000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें। / \(S_{33}=4983\) and \(S_{34}=5287\), so the sum first exceeds (5000) at (34) terms. In such questions, also check the previous sum.
(445=5[2x+9(2x+1)]) से (x=4) मिलता है। चर वाले प्रश्न में पहले (a) और (d) स्पष्ट लिखें। / From (445=5[2x+9(2x+1)]), (x=4). In variable-based questions, write (a) and (d) clearly first.
\(S_{25}=2800\) और \(S_{26}=3029\), इसलिए पहली बार (26) पदों पर योग (3000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें। / \(S_{25}=2800\) and \(S_{26}=3029\), so the sum first exceeds (3000) at (26) terms. In such questions, also check the previous sum.
(365=5[2x+9(x+2)]) से (x=5) मिलता है। चर वाले प्रश्न में पहले (a) और (d) को साफ लिखें। / From (365=5[2x+9(x+2)]), (x=5). In variable-based questions, write (a) and (d) clearly first.
\(S_{17}=986\) और \(S_{18}=1107\), इसलिए पहली बार (18) पदों पर योग (1000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें। / \(S_{17}=986\) and \(S_{18}=1107\), so the sum first exceeds (1000) at (18) terms. In such questions, also check the previous sum.
(441=9[6+17d]) से (d=3) आता है। अज्ञात (d) वाले प्रश्नों में पहले दोनों पक्षों को सरल करें। / From (441=9[6+17d]), (d=3). In questions with unknown (d), simplify both sides first.
(780=10[10+19d]) से (d=4) मिलता है। योग और पहला पद दिए हों तो सार्व अंतर सीधे निकाला जा सकता है। / From (780=10[10+19d]), (d=4). When sum and first term are given, the common difference can be found directly.
(912=\frac{12}{2}(18+l)) से (l=134)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी परीक्षा में आता है। / From (912=\frac{12}{2}(18+l)), (l=134). Using the sum formula in reverse also appears in exams.
शेष योग \(28\times29-11\times12=680\) है। सम संख्याओं के योग के लिए (n(n+1)) लगाएँ। / The remaining sum is \(28\times29-11\times12=680\). Use (n(n+1)) for the sum of even numbers.
शेष योग \(26^2-14^2=480\) है। विषम संख्याओं के योग में \(n^2\) का प्रयोग करें। / The remaining sum is \(26^2-14^2=480\). Use \(n^2\) for the sum of odd numbers.
शेष योग \(24\times25-9\times10=510\) नहीं बल्कि (600-90=510) है, इसलिए दिए विकल्प गलत हैं। प्रश्न आयात से पहले सुधारें। / The remaining sum is \(24\times25-9\times10=510\), not any listed option. This question should be corrected before import.
(203=\frac{7}{2}(5+l)) से (l=53)। योग से अंतिम पद निकालने में (a+l) को अलग करें। / From (203=\frac{7}{2}(5+l)), (l=53). To find the last term from the sum, isolate (a+l).
शेष योग \(18^2-10^2=224\) है। विषम संख्याओं के योग में \(n^2\) का उपयोग करें। / The remaining sum is \(18^2-10^2=224\). Use \(n^2\) for the sum of odd numbers.
(456=\frac{12}{2}(8+l)) से (l=68)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी जरूरी कौशल है। / From (456=\frac{12}{2}(8+l)), (l=68). Using the sum formula in reverse is also an important skill.
छठे से दसवें पदों का योग (145-45=100) है। कुल योग में से पहले भाग का योग घटाएँ। / The sum of the (6)th to (10)th terms is (145-45=100). Subtract the first part from the total sum.
(140=\frac{7}{2}(5+l)) से (l=35)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी सीखें। / From (140=\frac{7}{2}(5+l)), (l=35). Learn to use the sum formula in reverse too.
(1788=12(2x+115)) से (x=17) मिलता है। परीक्षा में चर वाले प्रथम पद को सीधे सूत्र में रखें। / From (1788=12(2x+115)), (x=17). Exam tip: put the variable first term directly into the formula.
समीकरण से (4n+26=6n+6) मिलता है इसलिए (n=10)। परीक्षा में दोनों योगों में सामान्य \(\frac{n}{2}\) को सरल करें। / The equation gives (4n+26=6n+6), so (n=10). Exam tip: simplify the common \(\frac{n}{2}\) in both sums.
(S_{18}=9[-24+17(7)]=855) है। परीक्षा में ऋणात्मक प्रथम पद होने पर भी वही सूत्र लगाएं। / (S_{18}=9[-24+17(7)]=855). Exam tip: use the same formula even when the first term is negative.
(999=9[2a+85]) से (a=13) मिलता है। परीक्षा में पहले दोनों ओर को (n/2) से भाग दें। / From (999=9[2a+85]), (a=13). Exam tip: first divide both sides by (n/2).
\(S_{24}=1476\) और \(S_{25}=1600\) है इसलिए पहली बार (n=25) पर योग (1500) से अधिक होगा। परीक्षा में सीमा वाले प्रश्नों में पास के पूर्णांक जांचें। / \(S_{24}=1476\) and \(S_{25}=1600\), so the sum first exceeds (1500) at (n=25). Exam tip: check nearby integers in boundary questions.
(S_{24}=\frac{24}{2}[144+23(-4)]=624) है। परीक्षा में ऋणात्मक सार्व अंतर का चिन्ह सावधानी से रखें। / (S_{24}=\frac{24}{2}[144+23(-4)]=624). Exam tip: handle the negative common difference carefully.
(S_{28}=\frac{28}{2}[30+27(6)]=2688) है। परीक्षा में पहले कोष्ठक को सरल करें। / (S_{28}=\frac{28}{2}[30+27(6)]=2688). Exam tip: simplify the bracket first.
(777=7(a+96)) से (a=15) मिलता है। परीक्षा में अंतिम पद और योग से प्रथम पद निकालें। / From (777=7(a+96)), (a=15). Exam tip: use the last term and sum to find the first term.
अंतिम पद (25+19(-2)=-13) है इसलिए औसत \(\frac{25-13}{2}=6\) है। परीक्षा में औसत प्रथम और अंतिम पद का औसत होता है। / The last term is (25+19(-2)=-13), so the average is \(\frac{25-13}{2}=6\). Exam tip: the average is the average of first and last terms.
(336=6(a+51)) से (a=5) मिलता है। परीक्षा में अंतिम पद और योग से प्रथम पद तुरंत निकलता है। / From (336=6(a+51)), (a=5). Exam tip: use last term and sum to get the first term quickly.
(S_{22}=\frac{22}{2}[26+21(7)]=1903) है। परीक्षा में पहले कोष्ठक को सरल करें। / (S_{22}=\frac{22}{2}[26+21(7)]=1903). Exam tip: simplify the bracket first.
(S_{15}=\frac{15}{2}[130+14(-5)]=450) है। परीक्षा में ऋणात्मक सार्व अंतर का चिन्ह सावधानी से रखें। / (S_{15}=\frac{15}{2}[130+14(-5)]=450). Exam tip: handle the negative common difference carefully.
(S_{30}=\frac{30}{2}[18+29(4)]=2010) मिलता है। परीक्षा में कोष्ठक को पहले सरल करें। / (S_{30}=\frac{30}{2}[18+29(4)]=2010). Exam tip: simplify the bracket first.
\(a_1=S_1=9\) और \(a_2=S_2-S_1=13\) इसलिए (d=4) और (a+d=13)। परीक्षा में \(S_1\) और \(S_2-S_1\) से शुरुआत करें। / \(a_1=S_1=9\) and \(a_2=S_2-S_1=13\), so (d=4) and (a+d=13). Exam tip: start with \(S_1\) and \(S_2-S_1\).
(S_{25}=\frac{25}{2}[84+24(-3)]) से योग (150) है। परीक्षा में ऋणात्मक सार्व अंतर का चिन्ह जरूर संभालें। / (S_{25}=\frac{25}{2}[84+24(-3)]), so the sum is (150). Exam tip: handle the negative sign of the common difference carefully.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से (516=6(a+75)) इसलिए (a=11)। परीक्षा में अंतिम पद दिया हो तो (a+l) वाला सूत्र तेज होता है। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), (516=6(a+75)), so (a=11). Exam tip: when the last term is given, use the (a+l) form.
दिए गए सूत्र में (n=15) रखने पर (S_{15}=3(15)2+2(15)=705)। परीक्षा में दिए गए \(S_n\) में सीधे (n) रखें। / Substituting (n=15) gives (S_{15}=3(15)2+2(15)=705). Exam tip: when \(S_n\) is given directly, substitute (n) first.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) लगाने पर (n=24) मिलता है। परीक्षा में पहले समीकरण को सरल वर्ग समीकरण में बदलें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) gives (n=24). Exam tip: first reduce the equation to a simple quadratic.
\(S_{42}=9975\) और \(S_{43}=10449\), इसलिए पहली बार (43) पदों पर योग (10000) से अधिक है। पिछले योग की जाँच जरूर करें। / \(S_{42}=9975\) and \(S_{43}=10449\), so the sum first exceeds (10000) at (43) terms. Always check the previous sum.
शर्त से (6+13d=3(6+3d)), इसलिए (d=3) और \(S_{30}=1485\) है। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें। / The condition gives (6+13d=3(6+3d)), so (d=3) and \(S_{30}=1485\). Convert the term condition into an equation first.
\(7350=\frac{n}{2}\times420\) से (n=35) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं है। / From \(7350=\frac{n}{2}\times420\), (n=35). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
(4290=13[2a+275]) से \(a=\frac{55}{2}\) मिलता है। अज्ञात पहले पद वाले प्रश्नों में कोष्ठक को पहले सरल करें। / From (4290=13[2a+275]), \(a=\frac{55}{2}\). In unknown-first-term questions, simplify the bracket first.
शर्तों से (a=8) और (d=7) मिलते हैं, इसलिए \(S_{16}=968\) है। दिए गए पद और योग को दो समीकरणों में बदलें। / The conditions give (a=8) and (d=7), so \(S_{16}=968\). Convert the given term and sum into two equations.
शर्त से (5+11d=4(5+2d)), इसलिए (d=5) और \(S_{20}=1050\) है। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें। / The condition gives (5+11d=4(5+2d)), so (d=5) and \(S_{20}=1050\). Convert the term condition into an equation first.
\(5780=\frac{n}{2}\times340\) से (n=34) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं होती। / From \(5780=\frac{n}{2}\times340\), (n=34). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
(2450=10[2a+171]) से (a=37) मिलता है। अज्ञात पहले पद के लिए समीकरण को साफ-साफ सरल करें। / From (2450=10[2a+171]), (a=37). For an unknown first term, simplify the equation clearly.
शर्तों से (a=18) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{14}=707\) है। दिए गए पद और योग को दो समीकरणों में बदलें। / The conditions give (a=18) and (d=5), so \(S_{14}=707\). Convert the given term and sum into two equations.
