Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. हर \(q\) के सभी अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और/या 5 हों / Every prime factor of the denominator \(q\) is only 2 and / or 5
Explanation
Simple Explanation
सरल रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों तो दशमलव सांत होता है। जैसे \(40=2^3\times5\), इसलिए हर 40 वाली सरल भिन्न सांत होगी। परीक्षा में पहले भिन्न को सरल करें। / In lowest terms, a denominator made only of 2s and 5s gives a terminating decimal. For example, \(40=2^3\times5\), so a fraction with denominator 40 terminates. Exam tip: always reduce the fraction first.
A. \(40=2^3\times5\) होने से इसका दशमलव प्रसार सांत है।
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों, तो दशमलव प्रसार सांत होता है। यहाँ \(40=2^3\times5\) और \(\frac{13}{40}=0.325\) है। 10 की घात होना आवश्यक नहीं। परीक्षा में पहले हर का गुणनखंड कीजिए। / A rational number has a terminating decimal when its denominator in lowest form has only 2 and/or 5 as prime factors. Here \(40=2^3\times5\), so \(\frac{13}{40}=0.325\). The denominator need not be a power of 10. Exam tip: factorise the denominator first.
\(0.272727\ldots\) में 27 का खंड बार-बार दोहराता है। यदि \(x=0.272727\ldots\), तो \(100x-x=27\), अतः \(x=\frac{3}{11}\) है। इसलिए यह अनंत होते हुए भी परिमेय है। परीक्षा में आवर्ती दशमलव को परिमेय पहचानें। / In \(0.272727\ldots\), the block 27 repeats. If \(x=0.272727\ldots\), then \(100x-x=27\), giving \(x=\frac{3}{11}\). Hence it is non-terminating but rational. Exam tip: repeating decimals are rational, unlike non-repeating ones such as \(\sqrt{2}\).
दशमलव में 006 का तीन-अंकीय समूह लगातार दोहराया जा रहा है: 006, 006, 006, \(\ldots\)। इसलिए बार पूरे दोहराने वाले समूह 006 पर लगाया जाता है, अर्थात \(0.\overline{006}\)। विकल्प A में केवल 06 दोहराया माना गया है, जो दिए गए दशमलव के अंकों का क्रम नहीं बनाता। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले सबसे छोटा अंक-समूह पहचानें जो लगातार दोहर रहा हो। / In the decimal, the three-digit block 006 repeats continuously: 006, 006, 006, \(\ldots\). Therefore, the bar must be placed over the complete repeating block 006, giving \(0.\overline{006}\). Option A incorrectly treats only 06 as repeating, which does not reproduce the given sequence of digits. Exam tip: Before using bar notation, identify the shortest block of digits that repeats continuously.
\(\frac{5}{21}\) में हर \(21=3\times7\) है। सरल रूप में हर में 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड हो, तो दशमलव प्रसार अनंत आवर्ती होता है। परीक्षा में हर का गुणनखंडन पहले करें। / In \(\frac{5}{21}\), the denominator is \(21=3\times7\). A reduced denominator containing a prime other than 2 or 5 gives a non-terminating recurring decimal. Exam tip: factorise the denominator first.
सरलतम रूप में किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी समाप्त होता है जब हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों। \(\frac{2}{11}=0.1818\ldots\) आवर्ती है। परीक्षा टिप: हर को गुणनखंडों में तोड़कर जाँचें। / A rational number terminates only when, in lowest form, its denominator has prime factors 2 and/or 5 only. \(\frac{2}{11}=0.1818\ldots\) is recurring. Exam tip: factorise the denominator to test the decimal form.
सांत और असांत आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। पहले विकल्प में सभी संख्याएं इसी प्रकार की हैं। / Terminating and non-terminating recurring decimals are rational. All numbers in the first option are of these types.
C. \(1.7320508\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(1.7320508\ldots\) without fixed repetition
Explanation
Simple Explanation
बिना निश्चित दोहराव वाला असांत दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। सांत और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / A non-terminating decimal without fixed repetition can be the form of an irrational number. Terminating and recurring decimals are rational.
तुलना के लिए समान दशमलव स्थान लिखें: \(y=0.49=0.490\)। अब \(0.409\) और \(0.490\) में दहाई के बाद दूसरे स्थान पर \(0<9\) है, इसलिए \(0.409<0.490\), अर्थात \(x<y\)। विकल्प \(x>y\) गलत है क्योंकि \(y\) का सौवाँ अंक 9 है। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करते समय आवश्यकता होने पर अंत में शून्य लगाकर स्थानों की संख्या बराबर करें। / Write the decimals to the same number of places: \(y=0.49=0.490\). Comparing \(0.409\) and \(0.490\), the hundredths digits give \(0<9\); hence \(0.409<0.490\), so \(x<y\). The option \(x>y\) is incorrect because \(y\) has 9 in the hundredths place. Exam tip: Add zeros at the end, when needed, to make decimal places equal before comparing.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(0.101001000100001\ldots\) आवर्ती दशमलव है, क्योंकि इसमें 0 और 1 बार-बार दिखाई देते हैं। उसके कथन का सही मूल्यांकन कौन-सा है?
A. यह असांत और अनावर्ती है; अतः यह अपरिमेय संख्या है/It is non-terminating and non-recurring; hence, it is an irrational number.
Explanation
Simple Explanation
लगातार 1 के बीच शून्यों की संख्या \(1,2,3,4,\ldots\) है, इसलिए कोई निश्चित अंक-खंड दोहराता नहीं। यह असांत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय है। परीक्षा टिप: स्थिर आवर्तन जाँचें, केवल अंकों की पुनरावृत्ति नहीं। / Between successive 1s, the number of zeros is \(1,2,3,4,\ldots\), so no fixed digit block repeats. Hence it is non-terminating, non-recurring and irrational. Exam tip: check for a fixed repeating block, not merely repeated digits.
\( \frac{1}{11}=0.0909\ldots \), जो (0.091) से थोड़ा छोटा है। भिन्न को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( \frac{1}{11}=0.0909\ldots \), which is slightly less than (0.091). Convert the fraction into decimal for comparison.
A. 30 में 2 और 5 के साथ 3 भी गुणनखंड है, इसलिए दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।/Since 30 has 3 as a factor along with 2 and 5, the decimal expansion will be non-terminating recurring.
Explanation
Simple Explanation
13 और 30 सह-अभाज्य हैं, इसलिए 30 ही न्यूनतम रूप का हर है। \(30=2\times3\times5\) में 3 भी है, अतः दशमलव असांत आवर्ती होगा। परीक्षा में हर के अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / Since 13 and 30 are coprime, 30 is the denominator in lowest form. As \(30=2\times3\times5\) contains 3, the decimal is non-terminating recurring. Exam tip: check prime factors of the reduced denominator.
B. यह परिमेय है, क्योंकि 27 का क्रम बार-बार दोहरता है।/It is rational because the block 27 repeats again and again.
Explanation
Simple Explanation
\(0.272727...\) में 27 का क्रम आवर्ती है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। वास्तव में \(0.272727...=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\)। केवल अनंत दशमलव होना अपरिमेय होने का प्रमाण नहीं है। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / In \(0.272727...\), the block 27 repeats, so it is rational. In fact, \(0.272727...=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\). An infinite decimal is not automatically irrational. Exam tip: recurring decimals represent rational numbers.
\(\frac{2}{11}=0.1818\ldots\) है, जिसमें 18 का क्रम बार-बार आता है। अतः यह अनंत आवर्ती दशमलव होते हुए भी परिमेय है। \(\sqrt{2}\) अनंत अनावर्ती है। परीक्षा में आवर्ती दशमलव को परिमेय पहचानें। / \(\frac{2}{11}=0.1818\ldots\), where the block 18 repeats. Hence, it is rational despite having a non-terminating decimal expansion. \(\sqrt{2}\) is non-terminating and non-repeating. Exam tip: repeating decimals are rational.
