Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
C. परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ/Rational and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याएँ आती हैं। परीक्षा में वास्तविक संख्या रेखा की पूरी संख्या प्रणाली याद रखें। / Real numbers include both rational and irrational numbers. In exams remember the whole number system on the real number line.
A. चुने हुए नेताओं के हाथ में/In the hands of elected leaders
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में बड़े फैसले जनता द्वारा चुने गए नेताओं को लेने चाहिए। परीक्षा में निर्णय शक्ति और चुनाव को साथ याद रखें। / In a democracy major decisions should be taken by leaders elected by the people. Exam tip: remember decision power and elections together.
\( \sqrt{5} \) अपरिमेय है और हर अपरिमेय संख्या वास्तविक होती है। वास्तविक संख्या रेखा पर इसे दिखाया जा सकता है। / \( \sqrt{5} \) is irrational and every irrational number is real. It can be shown on the real number line.
B. चुने हुए प्रतिनिधियों के पास/Elected representatives
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में अंतिम राजनीतिक निर्णय चुने हुए प्रतिनिधियों के हाथ में होना चाहिए। परीक्षा में अंतिम निर्णय शक्ति को लोकतंत्र की कसौटी मानें। / In democracy final political decision making should rest with elected representatives. Exam tip: treat final decision power as a test of democracy.
B. हर प्राकृतिक संख्या वास्तविक संख्या होती है/Every natural number is a real number
Explanation
Simple Explanation
प्राकृतिक संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का भाग हैं। बड़ी संख्या प्रणाली में छोटे समूह शामिल हो सकते हैं। / Natural numbers are a part of real numbers. Smaller sets can be included in a larger number system.
A. जनता द्वारा चुने नेताओं की निर्णय शक्ति/Decision power of leaders elected by people
Explanation
Simple Explanation
बड़े फैसले गैर चुने लोगों के हाथ में होने से जनता की भूमिका कमजोर होती है। परीक्षा में असली निर्णय लेने वालों को पहचानें। / When major decisions are in the hands of unelected people the role of people weakens. Exam tip: identify the real decision makers.
\(16\) एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए \(\sqrt{16}=4\)। संख्या \(4=\frac{4}{1}\) के रूप में लिखी जा सकती है, अतः यह परिमेय संख्या है। इसलिए विकल्प B सही है। अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है, जो यहाँ लागू नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल हमेशा पूर्णांक और इसलिए परिमेय होता है। / Since \(16\) is a perfect square, \(\sqrt{16}=4\). The number \(4\) can be written as \(\frac{4}{1}\), so it is rational. Therefore, option B is correct. It is not irrational because its value is an exact integer, and it is certainly a real, defined number. Exam tip: the square root of a positive perfect square is an integer and hence rational.
C. क्योंकि जनता ने उन्हें चुना है/Because people have elected them
Explanation
Simple Explanation
चुने हुए नेता जनता से जनादेश लेकर निर्णय लेते हैं। परीक्षा में जनादेश को चुनाव से जोड़ें। / Elected leaders take decisions with the mandate of the people. Exam tip: connect mandate with elections.
D. यह अपरिमेय वास्तविक संख्या है/It is an irrational real number
Explanation
Simple Explanation
7 एक पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{7}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता; अतः यह अपरिमेय है। चूँकि 7 धनात्मक है, \(\sqrt{7}\) वास्तविक भी है। इसलिए विकल्प B गलत है—हर वास्तविक संख्या परिमेय नहीं होती। परीक्षा-युक्ति: किसी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का वर्गमूल तभी परिमेय होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / Since 7 is not a perfect square, \(\sqrt{7}\) cannot be expressed as a ratio of two integers; therefore, it is irrational. Because 7 is positive, \(\sqrt{7}\) is also a real number. Thus, option B is incorrect— not every real number is rational. Exam tip: The square root of a non-negative integer is rational only when the integer is a perfect square.
लोकतंत्र में निर्णय शक्ति जनता द्वारा चुने गए नेताओं के पास रहती है। परीक्षा में इसे लोकतंत्र की मूल पहचान समझें। / In democracy decision making power remains with leaders elected by the people. Exam tip: understand this as a basic identity of democracy.
\( \frac{-3}{8} \) दो पूर्णांकों का अनुपात है और हर शून्य नहीं है। इसलिए यह परिमेय और वास्तविक दोनों है। / \( \frac{-3}{8} \) is a ratio of two integers with non-zero denominator. So it is both rational and real.
A. सार्वजनिक फैसले लेने के लिए/To take public decisions
Explanation
Simple Explanation
सदस्य जनता की ओर से सार्वजनिक फैसले लेने के लिए चुने जाते हैं। परीक्षा में प्रतिनिधित्व को निर्णय प्रक्रिया से जोड़ें। / Members are elected to take public decisions on behalf of people. Exam tip: connect representation with decision making.
(0.625) समाप्त दशमलव है इसलिए इसे भिन्न में बदला जा सकता है। समाप्त दशमलव परिमेय होते हैं। / (0.625) is a terminating decimal, so it can be converted into a fraction. Terminating decimals are rational.
A. चुने नेताओं की वास्तविक शक्ति कमजोर होगी/Real power of elected leaders will weaken
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में चुनी सरकार के पास वास्तविक निर्णय शक्ति होनी चाहिए। परीक्षा में पर्दे के पीछे की शक्ति पहचानें। / In democracy the elected government must have real decision making power. Exam tip: identify power behind the scenes.
\(0.\overline{6}\) आवर्ती दशमलव है इसलिए यह परिमेय है। हर परिमेय संख्या वास्तविक भी होती है। / \(0.\overline{6}\) is a repeating decimal, so it is rational. Every rational number is also real.
A. क्योंकि जनता उन्हें चुनती है/Because people elect them
Explanation
Simple Explanation
जनता द्वारा चुने जाने के कारण नेताओं को जनता के प्रति जवाबदेह होना पड़ता है। परीक्षा में जवाबदेही को चुनाव से जोड़ें। / Because leaders are elected by people they must be accountable to people. Exam tip: connect accountability with elections.
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। फिर भी यह वास्तविक संख्या रेखा पर स्थित होता है। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Still, it lies on the real number line.
A. बड़े फैसले चुने हुए नेताओं द्वारा होने चाहिए/Major decisions should be made by elected leaders
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में जनता के चुने नेता बड़े फैसलों के लिए उत्तरदायी होते हैं। परीक्षा में निर्णय और उत्तरदायित्व को साथ रखें। / In democracy leaders elected by people are responsible for major decisions. Exam tip: keep decision and responsibility together.
B. क्योंकि हर शून्य है/Because the denominator is zero
Explanation
Simple Explanation
किसी भिन्न में हर शून्य होने पर भाग अपरिभाषित हो जाता है। वास्तव में, ऐसा कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसे 0 से गुणा करने पर 5 प्राप्त हो। इसलिए \(\frac{5}{0}\) वास्तविक संख्या नहीं है। परीक्षा में याद रखें: शून्य से भाग हमेशा अपरिभाषित होता है। / When the denominator of a fraction is zero, the division is undefined. There is no real number that gives 5 when multiplied by 0, so \(\frac{5}{0}\) is not a real number. Exam tip: division by zero is always undefined.
A. ताकि निर्णय जनता की इच्छा से जुड़े रहें/So that decisions remain linked with people's will
Explanation
Simple Explanation
चुने हुए नेता जनता की इच्छा का प्रतिनिधित्व करते हैं। परीक्षा में निर्णय शक्ति को जन इच्छा से जोड़ें। / Elected leaders represent the will of the people. Exam tip: connect decision power with people's will.
( -12 ) पूर्णांक है और हर पूर्णांक वास्तविक संख्या होता है। पूर्णांक को \( \frac{p}{1} \) के रूप में लिखा जा सकता है। / ( -12 ) is an integer and every integer is a real number. An integer can be written as \( \frac{p}{1} \).
A. लोकतांत्रिक निर्णय शक्ति/Democratic decision making power
Explanation
Simple Explanation
गुप्त गैर चुना समूह जनता को निर्णय प्रक्रिया से दूर करता है। परीक्षा में चुने हुए नेतृत्व को प्रमुख मानें। / A secret unelected group keeps people away from decision making. Exam tip: give importance to elected leadership.
प्राकृतिक संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का उपसमूह हैं। संख्या प्रणाली को उपसमूह के रूप में याद करें। / Natural numbers are a subset of real numbers. Remember the number system as nested sets.
A. जनता की भागीदारी और जवाबदेही/People's participation and accountability
Explanation
Simple Explanation
चुने नेता जनता से आते हैं इसलिए निर्णयों में भागीदारी और जवाबदेही बढ़ती है। परीक्षा में दोनों शब्द साथ याद रखें। / Elected leaders come from the people so participation and accountability increase. Exam tip: remember both terms together.
\(\sqrt{25}\) का अर्थ 25 का मुख्य, अर्थात् गैर-ऋणात्मक, वर्गमूल है। चूँकि \(5^2=25\), इसलिए \(\sqrt{25}=5\)। \(-5\) का वर्ग भी 25 है, लेकिन वर्गमूल चिह्न का मुख्य मान ऋणात्मक नहीं लिया जाता। परीक्षा में याद रखें: \(\sqrt{x^2}=|x|\), न कि हमेशा \(x\)। / \(\sqrt{25}\) denotes the principal, or non-negative, square root of 25. Since \(5^2=25\), \(\sqrt{25}=5\). Although \((-5)^2\) is also 25, the principal square root is not negative. Exam tip: remember that \(\sqrt{x^2}=|x|\), not always \(x\).
B. चुनी हुई विधायिका और जनता के प्रति/To elected legislature and people
Explanation
Simple Explanation
मंत्री लोकतांत्रिक व्यवस्था में चुनी हुई संस्थाओं और जनता के प्रति जवाबदेह होते हैं। परीक्षा में मंत्री और जवाबदेही का संबंध समझें। / In a democratic system ministers are accountable to elected institutions and people. Exam tip: understand the relation between ministers and accountability.
\( \frac{3}{4}=0.75 \) है जो (0) और (1) के बीच है। तुलना के लिए दशमलव रूप उपयोगी हो सकता है। / \( \frac{3}{4}=0.75 \), which lies between (0) and (1). Decimal form can help in comparison.
A. जनता द्वारा चुने नेताओं की चर्चा और निर्णय/Discussion and decision by leaders elected by people
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में चुने हुए नेता चर्चा और प्रक्रिया से फैसले लेते हैं। परीक्षा में निर्णय को लोकतांत्रिक संस्था से जोड़ें। / In democracy elected leaders take decisions through discussion and procedure. Exam tip: connect decisions with democratic institutions.
B. ( -3 ) और ( -2 ) के बीच/Between ( -3 ) and ( -2 )
Explanation
Simple Explanation
( -2.5 ) ऋणात्मक है और ( -3 ) तथा ( -2 ) के बीच आता है। ऋणात्मक संख्याओं में बाईं दिशा ध्यान रखें। / ( -2.5 ) is negative and lies between ( -3 ) and ( -2 ). Be careful with the left direction for negative numbers.
A. बड़े फैसले जनता द्वारा चुने नेता लेते हैं/Major decisions are taken by leaders elected by people
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में निर्णय शक्ति चुने नेताओं के पास होनी चाहिए। परीक्षा में वास्तविक निर्णय लेने वालों को देखें। / In democracy decision power should be with elected leaders. Exam tip: look at the real decision makers.
\(1^2<2<2^2\) इसलिए \( \sqrt{2} \) (1) और (2) के बीच है। वर्गों की तुलना से वर्गमूल का स्थान मिलता है। / Since \(1^2<2<2^2\), \( \sqrt{2} \) lies between (1) and (2). Compare squares to locate square roots.
A. जनता उन्हें अगले चुनाव में परख सकती है/People can judge them in the next election
Explanation
Simple Explanation
चुने नेता अपने फैसलों के लिए जनता द्वारा परखे जा सकते हैं। परीक्षा में अगला चुनाव जवाबदेही का साधन है। / Elected leaders can be judged by people for their decisions. Exam tip: the next election is a tool of accountability.
\(3^2=9\) और \(4^2=16\) है इसलिए \( \sqrt{10} \) (3) और (4) के बीच है। पहले निकट पूर्ण वर्ग देखें। / \(3^2=9\) and \(4^2=16\), so \( \sqrt{10} \) lies between (3) and (4). First check nearby perfect squares.
A. चुने हुए नेता और सरकार/Elected leaders and government
Explanation
Simple Explanation
नीतियां आम तौर पर चुनी हुई सरकार और नेताओं द्वारा बनाई जाती हैं। परीक्षा में नीति निर्माण को चुनी सरकार से जोड़ें। / Policies are generally made by the elected government and leaders. Exam tip: connect policy making with elected government.
वास्तविक संख्याएँ योग के लिए संवृत होती हैं। दो वास्तविक संख्याओं का योग वास्तविक संख्या ही होता है। / Real numbers are closed under addition. The sum of two real numbers is always a real number.
A. चुनाव कमजोर या अर्थहीन हो सकते हैं/Elections may become weak or meaningless
Explanation
Simple Explanation
चुनाव तभी अर्थपूर्ण हैं जब चुने नेताओं के पास असली निर्णय शक्ति हो। परीक्षा में चुनाव और वास्तविक शक्ति को साथ देखें। / Elections are meaningful only when elected leaders have real decision power. Exam tip: check elections and real power together.
वास्तविक संख्याएँ गुणन के लिए संवृत होती हैं, इसलिए किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल भी वास्तविक संख्या ही होता है। यह गुणनफल पूर्णांक, परिमेय या अपरिमेय हो सकता है; उदाहरण के लिए \(\sqrt{2}\times 1=\sqrt{2}\), जो अपरिमेय होते हुए भी वास्तविक है। इसलिए विकल्प C गलत है। परीक्षा में याद रखें: वास्तविक संख्याएँ जोड़, घटाव और गुणन के लिए संवृत होती हैं। / Real numbers are closed under multiplication, so the product of any two real numbers is also a real number. The product may be an integer, rational number, or irrational number; for example, \(\sqrt{2}\times 1=\sqrt{2}\), which is irrational but still real. Therefore, option C is incorrect. Exam tip: real numbers are closed under addition, subtraction, and multiplication.
चुने नेता जनता के वोट से आते हैं इसलिए वे जनता की इच्छा का प्रतिनिधित्व करते हैं। परीक्षा में प्रतिनिधित्व को वोट से जोड़ें। / Elected leaders come through people's votes so they represent people's will. Exam tip: connect representation with vote.
समान पदों को जोड़ा जाता है इसलिए \( \sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3} \)। वर्गमूल को सीधे अंदर जोड़ना गलत है। / Like terms are added, so \( \sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3} \). Do not add numbers inside square roots directly.
A. जनता नेताओं को चुनती है और नेता निर्णय लेते हैं/People elect leaders and leaders take decisions
Explanation
Simple Explanation
जनता अपने प्रतिनिधि चुनकर निर्णय प्रक्रिया से जुड़ती है। परीक्षा में अप्रत्यक्ष भागीदारी को समझें। / People connect with decision making by electing representatives. Exam tip: understand indirect participation.
\( \sqrt{9}=3 \) और \( \sqrt{4}=2 \) इसलिए योग (5) है। पहले पूर्ण वर्गों के वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{9}=3 \) and \( \sqrt{4}=2 \), so the sum is (5). First find square roots of perfect squares.
A. चुनी हुई सरकार बजट पर फैसला करे/Elected government decides on the budget
Explanation
Simple Explanation
बजट जैसे बड़े फैसले चुनी सरकार और विधायिका से जुड़े होने चाहिए। परीक्षा में सार्वजनिक फैसलों को चुनी संस्था से जोड़ें। / Major decisions like budget should be linked with elected government and legislature. Exam tip: connect public decisions with elected institutions.
\(18=9\times2\) इसलिए \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \)। वर्गमूल में पूर्ण वर्ग गुणनखंड अलग करें। / Since \(18=9\times2\), \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \). Separate perfect-square factors inside square roots.
A. चुने हुए प्रतिनिधियों के माध्यम से/Through elected representatives
Explanation
Simple Explanation
प्रतिनिधि जनता की आवाज को निर्णय प्रक्रिया तक पहुंचाते हैं। परीक्षा में प्रतिनिधियों को जनता और सरकार के बीच सेतु समझें। / Representatives carry people's voice to the decision making process. Exam tip: understand representatives as a bridge between people and government.
\(50=25\times2\) और \(25\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)। विकल्प C गलत है क्योंकि \((2\sqrt{5})^2=20\), 50 नहीं। परीक्षा में मूल को सरल करने के लिए सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें। / Since \(50=25\times2\) and 25 is a perfect square, \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}\). Option C is incorrect because \((2\sqrt{5})^2=20\), not 50. Exam tip: factor the radicand and take the largest perfect-square factor outside the square root.
A. चुनी हुई सरकार का सार्वजनिक निर्णय/Public decision of elected government
Explanation
Simple Explanation
चुनी हुई सरकार जनता से वैधता पाती है। परीक्षा में वैधता का स्रोत चुनाव मानें। / An elected government gets legitimacy from the people. Exam tip: consider elections as the source of legitimacy.
क्योंकि \(8=4\times2\), इसलिए \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=\sqrt{4}\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)। अतः सही विकल्प B है। विकल्प A और D में गुणांक अनावश्यक रूप से बड़ा हो गया है, जबकि विकल्प C में \(\sqrt{4}=2\) का गुणक छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल को सरल करते समय संख्या के सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें। / Since \(8=4\times2\), we get \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=\sqrt{4}\sqrt{2}=2\sqrt{2}\). Therefore, option B is correct. In options A and D, the coefficient is incorrectly made larger, while option C omits the factor \(\sqrt{4}=2\). Exam tip: factor the number inside the square root and take the greatest perfect-square factor outside the radical.
A. लोकतांत्रिक जवाबदेही कमजोर होती है/Democratic accountability weakens
Explanation
Simple Explanation
बड़े नीति फैसले चुने नेतृत्व की अनुमति और नियंत्रण में होने चाहिए। परीक्षा में अफसर और नेता की भूमिका अलग समझें। / Major policy decisions should be under permission and control of elected leadership. Exam tip: distinguish the roles of officers and leaders.
\( \sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4 \)। गुणन में वर्गमूल के अंदर की संख्याएँ गुणा की जा सकती हैं। / \( \sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4 \). In multiplication, numbers inside square roots can be multiplied.
A. चुनी सरकार के निर्णयों को लागू करना/Implementing decisions of elected government
Explanation
Simple Explanation
नौकरशाही चुनी सरकार की नीतियों को लागू करती है। परीक्षा में प्रशासन को अंतिम शासक न समझें। / Bureaucracy implements the policies of the elected government. Exam tip: do not treat administration as the final ruler.
