यदि (R) स्वसम और सममित है, तो क्या (R) अवश्य तुल्यता संबंध होगा?
If (R) is reflexive and symmetric, must (R) be an equivalence relation?
#equivalence relation
#reflexive symmetric
#transitive needed
A हाँ, हमेशा / Yes, always
B नहीं, संक्रमणीयता भी चाहिए / No, transitivity is also needed
C हाँ, यदि समुच्चय में तीन अवयव हों / Yes, if the set has three elements
D नहीं, क्योंकि सममितता उपयोगी नहीं / No, because symmetry is useless
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Correct Answer
B. नहीं, संक्रमणीयता भी चाहिए / No, transitivity is also needed
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध के लिए तीन गुण चाहिए। / An equivalence relation needs three properties.
Step 2
Why this answer is correct
स्वसमता और सममितता के साथ संक्रमणीयता भी जरूरी है। / Along with reflexivity and symmetry, transitivity is also necessary.
Step 3
Exam Tip
दो गुण देखकर तुल्यता संबंध घोषित न करें। / Do not declare equivalence after checking only two properties.
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यदि (R) स्वसम और संक्रमणीय है, तो क्या (R) अवश्य तुल्यता संबंध होगा?
If (R) is reflexive and transitive, must (R) be an equivalence relation?
#equivalence relation
#symmetry needed
#relations
A हाँ, हमेशा / Yes, always
B नहीं, सममितता भी चाहिए / No, symmetry is also needed
C हाँ, यदि संबंध रिक्त हो / Yes, if the relation is empty
D नहीं, क्योंकि स्वसमता गलत गुण है / No, because reflexivity is the wrong property
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Correct Answer
B. नहीं, सममितता भी चाहिए / No, symmetry is also needed
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में स्वसमता और संक्रमणीयता के साथ सममितता भी चाहिए। / Equivalence relation needs symmetry along with reflexivity and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
कई संबंध जैसे \(\le\) स्वसम और संक्रमणीय होते हैं, पर सममित नहीं। / Many relations like \(\le\) are reflexive and transitive but not symmetric.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता के लिए तीनों गुण पूरे होने चाहिए। / All three properties are required for equivalence.
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यदि (R) सममित और संक्रमणीय है, तो क्या (R) अवश्य स्वसम होगा?
If (R) is symmetric and transitive, must (R) be reflexive?
#symmetric transitive
#not necessarily reflexive
#conceptual
A हाँ, हर समुच्चय पर / Yes, on every set
B नहीं, सभी अवयवों के अपने युग्म जरूरी नहीं मिलते / No, self-pairs for all elements need not occur
C हाँ, क्योंकि संक्रमणीयता पर्याप्त है / Yes, because transitivity is enough
D हाँ, क्योंकि सममितता पर्याप्त है / Yes, because symmetry is enough
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Correct Answer
B. नहीं, सभी अवयवों के अपने युग्म जरूरी नहीं मिलते / No, self-pairs for all elements need not occur
Step 1
Concept
सममित और संक्रमणीय होने से कुछ जुड़े अवयवों के अपने युग्म मिल सकते हैं। / Symmetry and transitivity can create self-pairs for connected elements.
Step 2
Why this answer is correct
पर जिन अवयवों का कोई संबंध नहीं है, उनके अपने युग्म जरूरी नहीं मिलते। / But elements not related to anything may still miss their self-pairs.
Step 3
Exam Tip
स्वसमता के लिए हर अवयव का अपना युग्म अलग से जाँचना जरूरी है। / Reflexivity requires checking self-pairs for every element separately.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}\) है। यह सममित और संक्रमणीय है, पर स्वसम क्यों नहीं?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}\). It is symmetric and transitive, but why is it not reflexive?
#not reflexive
#symmetric transitive
#relations mcq
A ((3,3)) नहीं है / ((3,3)) is missing
B ((1,3)) नहीं है / ((1,3)) is missing
C ((3,1)) नहीं है / ((3,1)) is missing
D ((2,3)) नहीं है / ((2,3)) is missing
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Correct Answer
A. ((3,3)) नहीं है / ((3,3)) is missing
Step 1
Concept
स्वसमता के लिए (1,2,3) तीनों के अपने युग्म चाहिए। / Reflexivity requires self-pairs for (1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
संबंध में ((1,1)) और ((2,2)) हैं, पर ((3,3)) नहीं है। / The relation has ((1,1)) and ((2,2)), but not ((3,3)).
Step 3
Exam Tip
किसी भी एक अवयव का अपना युग्म छूटे तो संबंध स्वसम नहीं होता। / If even one element lacks its self-pair, the relation is not reflexive.
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किसी समुच्चय पर रिक्त संबंध के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Which statement about the empty relation on a set is correct?
#empty relation
#symmetric transitive
#concept
A यह हमेशा सममित और संक्रमणीय होता है / It is always symmetric and transitive
B यह हर अरिक्त समुच्चय पर स्वसम होता है / It is reflexive on every non-empty set
C यह हमेशा सार्वत्रिक होता है / It is always universal
D यह कभी संबंध नहीं होता / It is never a relation
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Correct Answer
A. यह हमेशा सममित और संक्रमणीय होता है / It is always symmetric and transitive
Step 1
Concept
रिक्त संबंध में कोई ऐसा युग्म नहीं होता जो सममितता को तोड़े। / In the empty relation, no pair exists to violate symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता तोड़ने वाले जुड़े युग्म भी नहीं होते। / There are no linked pairs to violate transitivity either.
Step 3
Exam Tip
पर अरिक्त समुच्चय पर यह स्वसम नहीं होता, क्योंकि अपने युग्म नहीं होते। / But on a non-empty set it is not reflexive because self-pairs are missing.
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यदि (A) रिक्त समुच्चय है, तो (A) पर रिक्त संबंध के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If (A) is the empty set, what can be said about the empty relation on (A)?
#empty set
#empty relation
#vacuous truth
A यह स्वसम, सममित और संक्रमणीय माना जाता है / It is considered reflexive, symmetric and transitive
B यह संबंध नहीं है / It is not a relation
C यह केवल सार्वत्रिक नहीं हो सकता / It cannot be universal
D यह सममित नहीं है / It is not symmetric
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Correct Answer
A. यह स्वसम, सममित और संक्रमणीय माना जाता है / It is considered reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, इसलिए स्वसमता की शर्त तोड़ने वाला कोई अवयव नहीं है। / In the empty set, there is no element that can violate reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता और संक्रमणीयता तोड़ने वाले युग्म भी नहीं हैं। / There are no pairs that can violate symmetry or transitivity.
Step 3
Exam Tip
रिक्त समुच्चय वाले प्रश्नों में शर्तें रिक्त रूप से सत्य हो सकती हैं। / In empty-set questions, conditions can be vacuously true.
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कौन-सा संबंध सममित और विरोधी सममित दोनों हो सकता है?
Which relation can be both symmetric and antisymmetric?
#symmetric antisymmetric
#identity relation
#partial order
A तत्समक संबंध / Identity relation
B ({(1,2),(2,1)})
C सार्वत्रिक संबंध दो अवयवों पर / Universal relation on two elements
D समान शेष संबंध जिसमें अलग अवयव जुड़े हों / Same remainder relation with different elements related
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Correct Answer
A. तत्समक संबंध / Identity relation
Step 1
Concept
तत्समक संबंध में केवल अपने युग्म होते हैं। / An identity relation contains only self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अपने युग्म सममितता भी पूरी करते हैं और विरोधी सममितता भी नहीं तोड़ते। / Self-pairs satisfy symmetry and do not violate antisymmetry.
Step 3
Exam Tip
असमान उल्टे युग्म साथ हों तो विरोधी सममितता टूट जाती है। / Reverse pairs of unequal elements would break antisymmetry.
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यदि कोई संबंध सममित और विरोधी सममित दोनों है, तो असमान अवयवों के बारे में क्या सही होगा?
If a relation is both symmetric and antisymmetric, what is true about unequal elements?
#symmetric and antisymmetric
#concept
#relations
A असमान अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं हो सकता / No pair can occur between unequal elements
B हर असमान जोड़ी दोनों दिशाओं में होगी / Every unequal pair occurs both ways
C संबंध सार्वत्रिक होगा / The relation will be universal
D संबंध तुल्यता अवश्य होगा / The relation must be equivalence
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Correct Answer
A. असमान अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं हो सकता / No pair can occur between unequal elements
Step 1
Concept
सममितता कहती है कि ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी हो। / Symmetry says if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must be present.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधी सममितता असमान (a,b) के लिए दोनों युग्मों को साथ अनुमति नहीं देती। / Antisymmetry does not allow both pairs for unequal (a,b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए असमान अवयवों के बीच युग्म रखना संभव नहीं रहता। / Therefore no pair between unequal elements can remain.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) क्या संक्रमणीय है?
On \(A=\{1,2,3\}\), is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) transitive?
#transitive relation
#not transitive
#mcq
A हाँ / Yes
B नहीं, क्योंकि ((1,3)) नहीं है / No, because ((1,3)) is missing
C नहीं, क्योंकि ((2,1)) नहीं है / No, because ((2,1)) is missing
D नहीं, क्योंकि ((3,1)) नहीं है / No, because ((3,1)) is missing
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Correct Answer
B. नहीं, क्योंकि ((1,3)) नहीं है / No, because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता के लिए ((1,3)) होना चाहिए, जो नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
स्वसम युग्म मौजूद होने पर भी संक्रमणीयता अलग से टूट सकती है। / Even with self-pairs present, transitivity can fail separately.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) क्या आंशिक क्रम संबंध है?
On \(A=\{1,2,3\}\), is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) a partial order relation?
#partial order relation
#reflexive antisymmetric transitive
A हाँ / Yes
B नहीं, क्योंकि स्वसमता नहीं है / No, because reflexivity is absent
C नहीं, क्योंकि संक्रमणीयता नहीं है / No, because transitivity is absent
D नहीं, क्योंकि विरोधी सममितता नहीं है / No, because antisymmetry is absent
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
सभी अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
कोई असमान उल्टा युग्म साथ नहीं है, इसलिए विरोधी सममितता है। / No reverse pair for unequal elements occurs, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए संक्रमणीयता है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so it is transitive.
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