Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. पूर्णांकों पर समान शेष (2) से भाग देने पर/Same remainder on division by (2) over integers
Step 1
Concept
समान शेष संबंध स्वसम, सममित और संक्रमणीय है, इसलिए तुल्यता संबंध है। / The same-remainder relation is reflexive, symmetric and transitive, so it is an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
यह विरोधी सममित नहीं होता, क्योंकि अलग संख्याएँ भी समान शेष रख सकती हैं। / It is not antisymmetric because different numbers can have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
सममित तुल्यता संबंधों को आंशिक क्रम से अलग पहचानें। / Distinguish symmetric equivalence relations from partial orders.
सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,3) के बीच उल्टे युग्म भी पूरे हैं और (4) केवल स्वयं से संबंधित है। / Reverse pairs among (1,2,3) are complete, and (4) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
प्रत्येक जुड़े समूह के भीतर संक्रमणीयता पूरी है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Transitivity holds inside each connected group, so it is an equivalence relation.
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है/Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
आंशिक क्रम में संक्रमणीयता जरूरी होती है। / A partial order must be transitive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) होने पर ((1,3)) चाहिए, पर वह नहीं है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, ((1,3)) is required, but it is missing.
Step 3
Exam Tip
स्वसमता और विरोधी सममितता होने पर भी संक्रमणीयता टूटे तो आंशिक क्रम नहीं बनेगा। / Even if reflexivity and antisymmetry hold, failure of transitivity prevents partial order.
A. यह आंशिक क्रम संबंध है/It is a partial order relation
Step 1
Concept
हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए स्वसमता है। / Every number divides itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\mid b\) और \(b\mid a\), तो इस समुच्चय में (a=b), इसलिए विरोधी सममितता है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid a\), then (a=b) here, so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता संक्रमणीय भी है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है। / Divisibility is also transitive, so it is a partial order relation.
((a,b)) तब होगा जब (a), (b) को विभाजित करे। / ((a,b)) occurs when (a) divides (b).
Step 2
Why this answer is correct
(2), (6) को विभाजित करता है, इसलिए ((2,6)) संबंध में होगा। / (2) divides (6), so ((2,6)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहले देखें कि पहला अवयव दूसरे को पूरा भाग देता है या नहीं। / In divisibility questions, check whether the first element divides the second exactly.
