Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((1,2)) और ((2,3)) (R) में हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामी होने के लिए ((1,3)) होना चाहिए, पर यह नहीं है। इसलिए असंक्रामी होने का साफ कारण यही है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is absent. This is a clear reason (R) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
सूची में सबसे छोटी श्रृंखला से जाँच शुरू करें। / Start checking from the shortest visible chain.
यदि व्यक्ति (a) की आयु (b) के बराबर है और (b) की आयु (c) के बराबर है, तो (a) की आयु (c) के बराबर होगी। / If person (a) has the same age as (b), and (b) has the same age as (c), then (a) has the same age as (c).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) भी सम्बन्ध में होगा। अतः सम्बन्ध संक्रामी है। / Hence ((a,c)) also belongs to the relation, so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
समान गुण वाले सम्बन्ध अक्सर संक्रामी होते हैं। / Relations based on the same property are often transitive.
मित्रता में यदि (a), (b) का मित्र है और (b), (c) का मित्र है, तो जरूरी नहीं कि (a), (c) का भी मित्र हो। / In friendship, if (a) is a friend of (b), and (b) is a friend of (c), it is not necessary that (a) is a friend of (c).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संक्रामी शर्त सामान्य रूप से पूरी नहीं होती। / So the transitive condition does not generally hold.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक जीवन के सम्बन्धों में जरूरी नियम को उदाहरण से जाँचें। / For real-life relations, test the rule using examples.
((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो है। / From ((1,2)) and ((2,2)), ((1,2)) is required and present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो है। ((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो है। इसलिए शर्त नहीं टूटती। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required and present. From ((2,2)) and ((2,3)), ((2,3)) is required and present. So the condition does not fail.
Step 3
Exam Tip
आत्म युग्मों के साथ बने युग्मों को अलग से देखें। / Check chains involving reflexive pairs separately.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, जो है। बाकी आत्म युग्म अपने-अपने साथ शर्त पूरी करते हैं। इसलिए (R) संक्रामी है। / From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required and present. Other reflexive pairs satisfy their own chains. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
दोतरफा युग्मों के साथ आत्म युग्म मौजूद हों तो जाँच आसान हो जाती है। / When reverse pairs exist, check whether the needed reflexive pairs are present.
संक्रामी सम्बन्ध की परिभाषा सीधे इसी रूप में दी जाती है। / The definition of transitivity is exactly in this form.
Step 2
Why this answer is correct
((x,y)) और ((y,z)) से ((x,z)) अनिवार्य होता है। उल्टे युग्मों का निष्कर्ष नहीं निकलता। / From ((x,y)) and ((y,z)), ((x,z)) must belong to (R). Reverse pairs do not follow.
Step 3
Exam Tip
प्रतीकों वाले प्रश्न में (x,y,z) को (a,b,c) जैसा ही पढ़ें। / In symbolic questions, read (x,y,z) just like (a,b,c).
मुख्य श्रृंखलाएँ ((1,2),(2,3)), ((2,3),(3,4)), ((1,3),(3,4)) हैं। / The main chains are ((1,2),(2,3)), ((2,3),(3,4)), and ((1,3),(3,4)).
Step 2
Why this answer is correct
इनके लिए क्रमशः ((1,3)), ((2,4)), ((1,4)) चाहिए, और ये सभी मौजूद हैं। इसलिए (R) संक्रामी है। / They require ((1,3)), ((2,4)), and ((1,4)), all of which are present. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
संक्रामी होने के लिए हर आत्म या उल्टा युग्म जरूरी नहीं है। / Transitivity does not require every reflexive or reverse pair.
A. क्योंकि \(a \equiv b \pmod{5}\) और \(b \equiv c \pmod{5}\) से \(a \equiv c \pmod{5}\)/Because \(a \equiv b \pmod{5}\) and \(b \equiv c \pmod{5}\) imply \(a \equiv c \pmod{5}\)
Step 1
Concept
समान शेषफल का अर्थ है कि दो संख्याओं का अंतर (5) से विभाज्य है। / Same remainder means the difference of two numbers is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (5) से विभाज्य होगा। इसलिए सम्बन्ध संक्रामी है। / If (a-b) and (b-c) are divisible by (5), then (a-c) is also divisible by (5). Hence the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता वाले प्रश्नों में अंतर का विचार करें। / For congruence relations, think in terms of differences.
