Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। / From ((1,3)) and ((3,4)), ((1,4)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) से भी ((1,4)) ही चाहिए। यह युग्म सूची में नहीं है, इसलिए इसे जोड़ना जरूरी है। / From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is also required. Since it is missing, it must be added.
Step 3
Exam Tip
लम्बी श्रृंखला में बने अंतिम युग्मों को अवश्य जाँचें। / In longer chains, check the end-to-end pair.
यदि (a-b) और (b-c), दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो उनका योग (a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (3), then their sum (a-c) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। अतः सम्बन्ध संक्रामी है। / Thus ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में योग का नियम याद रखें। / Use the addition property of divisibility.
A. नहीं, क्योंकि ((1,1)) और ((2,2)) चाहिए/No, because ((1,1)) and ((2,2)) are required
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामी शर्त के अनुसार ((1,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,1)), transitivity requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
इसी प्रकार ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। दोनों नहीं हैं, इसलिए (R) संक्रामी नहीं है। / Similarly, from ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required. Both are missing, so (R) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
उल्टे युग्म होने पर आत्म युग्मों की जरूरत बन सकती है। / Reverse pairs can force reflexive pairs in transitivity checks.
संक्रामी नियम में पहले युग्म का दूसरा तत्व और दूसरे युग्म का पहला तत्व समान होता है। / In the transitive rule, the second element of the first pair matches the first element of the second pair.
Step 2
Why this answer is correct
((2,5)) और ((5,7)) से सीधा युग्म ((2,7)) बनता है। इसलिए यह आवश्यक है। / From ((2,5)) and ((5,7)), the required pair is ((2,7)).
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्मों में क्रम बदलने की गलती न करें। / Do not reverse the order of ordered pairs.
यह समानता सम्बन्ध जैसा है, जिसमें केवल ((a,a)) रूप के युग्म हैं। / This behaves like the equality relation, containing only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) और ((a,a)) से फिर ((a,a)) ही चाहिए, जो उपस्थित है। इसलिए सम्बन्ध संक्रामी है। / From ((a,a)) and ((a,a)), the required pair is again ((a,a)), which is present. So the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
केवल आत्म युग्म वाला सम्बन्ध संक्रामी होता है। / A relation with only identity pairs is transitive.
संक्रामी न होने के लिए एक विरोधी उदाहरण काफी है। / One counterexample is enough to show a relation is not transitive.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\ne2\) और \(2\ne1\), पर \(1\ne1\) गलत है। इसलिए ((1,2)) और ((2,1)) हैं, लेकिन ((1,1)) नहीं होगा। / \(1\ne2\) and \(2\ne1\), but \(1\ne1\) is false. So ((1,2)) and ((2,1)) are present, but ((1,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
असमानता \(a\ne b\) को हमेशा संक्रामी न मानें। / Do not assume the relation \(a\ne b\) is transitive.
((1,3)) और ((3,1)) दोनों (R) में हैं। / Both ((1,3)) and ((3,1)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
इनके कारण ((1,1)) चाहिए, लेकिन ((1,1)) नहीं है। इसलिए (R) संक्रामी नहीं है। / They require ((1,1)), but ((1,1)) is not present. Hence (R) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
चक्र जैसे युग्मों में आत्म युग्मों की जाँच जरूर करें। / In cyclic pairs, check the required reflexive pairs carefully.
A. \(R \cap S\) हमेशा संक्रामी है/\(R \cap S\) is always transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)), \(R \cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में होंगे। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R \cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) दोनों संक्रामी हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा। अतः ((a,c)), \(R \cap S\) में होगा। / Since both are transitive, ((a,c)) belongs to both, so it belongs to \(R \cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद के प्रश्न में सदस्यता दोनों सम्बन्धों में जाँचें। / For intersection, check membership in both relations.
संघ में युग्म अलग-अलग सम्बन्धों से आ सकते हैं। / In a union, the two pairs may come from different relations.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों अलग-अलग संक्रामी हैं, पर \(R \cup S\) में ((1,2)) और ((2,3)) हैं, जबकि ((1,3)) नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are individually transitive, but \(R \cup S\) has ((1,2)) and ((2,3)) without ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
संघ को प्रतिच्छेद जैसा सुरक्षित नियम न मानें। / Do not treat union like intersection for transitivity.
