Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(R^{-1}\) में हर युग्म उलट जाता है। / In \(R^{-1}\), every ordered pair is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता का अर्थ ही है कि \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी हो, इसलिए उलटने पर वही संबंध मिलता है। / Symmetry means \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\), so reversing all pairs gives the same relation.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध की पहचान \(R=R^{-1}\) से भी की जा सकती है। / A symmetric relation can also be identified by \(R=R^{-1}\).
तीन विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The three diagonal pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
असमान युग्मों के तीन जोड़े हैं: ({(1,2),(2,1)}), ({(1,3),(3,1)}), ({(2,3),(3,2)}); हर जोड़ा साथ में चुना या छोड़ा जाएगा। / There are three unordered off-diagonal pair groups, and each group must be selected together or left together.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (3+3=6), इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। / There are (3+3=6) independent choices, so the number of symmetric relations is \(2^6=64\).
(n) अवयवों वाले समुच्चय पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on a set with (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (n=4), इसलिए स्वतंत्र चुनाव \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) हैं। / Here (n=4), so the number of independent choices is \(\frac{4\cdot5}{2}=10\).
Step 3
Exam Tip
सूत्र याद रखने के साथ यह भी समझें कि विकर्ण युग्म अकेले और बाकी युग्म जोड़ों में चुने जाते हैं। / Remember that diagonal pairs are chosen singly, while off-diagonal pairs are chosen in reverse-pair groups.
सममितता के लिए हर असमान युग्म का उल्टा युग्म चाहिए। / Symmetry needs the reverse of every off-diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा ((3,3)) अपना उल्टा खुद है। / In the first option, ((1,2)) and ((2,1)) are both present, and ((3,3)) is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
विकल्पों को जाँचते समय पहले टूटे हुए उल्टे युग्म खोजें। / While checking options, first look for missing reverse pairs.
शर्त \(a+b\leq5\) में (a) और (b) को बदलने पर \(b+a\leq5\) मिलता है। / Swapping (a) and (b) in \(a+b\leq5\) gives \(b+a\leq5\).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ क्रम बदलने पर वही रहता है, इसलिए उल्टा युग्म भी शर्त पूरी करेगा। / Since addition is commutative, the condition remains true for the reverse pair.
Step 3
Exam Tip
असमानता में भी यदि अभिव्यक्ति बदलकर वही रहे, तो सममितता बनी रहती है। / Even in inequalities, if the expression is unchanged by swapping, symmetry holds.
यदि (a+b) विषम है, तो (b+a) भी विषम होगा। / If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Hence the reverse pair ((b,a)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
सम और विषम दोनों प्रकार के योग-आधारित संबंधों में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / In sum-based parity relations, changing the order does not change the sum.
सममितता के लिए शर्त उलटने पर भी सही रहनी चाहिए। / Symmetry requires the condition to remain valid after reversing a pair.
Step 2
Why this answer is correct
\((2,1)\in R\) है क्योंकि \(2=2\cdot1\), पर \((1,2)\notin R\) क्योंकि \(1\neq2\cdot2\)। / \((2,1)\in R\) because \(2=2\cdot1\), but \((1,2)\notin R\) because \(1\neq2\cdot2\).
Step 3
Exam Tip
गुणा से बनी दिशात्मक शर्तों में उल्टा युग्म अलग परिणाम दे सकता है। / Directional multiplication conditions may fail after reversing the pair.
A. \(R\cap S\) सममित होगा/\(R\cap S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों संबंधों में है। / If \((a,b)\in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा। अतः \((b,a)\in R\cap S\)। / Since both are symmetric, ((b,a)) belongs to both as well. Hence \((b,a)\in R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का प्रतिच्छेद भी सममित रहता है। / The intersection of symmetric relations is symmetric.
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cup S\), तो यह कम से कम एक संबंध में होगा। / If \((a,b)\in R\cup S\), then it belongs to at least one of the two relations.
Step 2
Why this answer is correct
वह संबंध सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में होगा और इसलिए संघ में भी होगा। / That relation is symmetric, so ((b,a)) also belongs to it and hence to the union.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का संघ भी सममित होता है। / The union of symmetric relations is also symmetric.
