समुच्चय \(A=\{1,3,5,7\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|\le 2\}\) है। (R) के लिए सही कथन कौन-सा है?
On \(A=\{1,3,5,7\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|\le 2\}\). Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#absolute_difference
#hard
A स्ववाची है, क्योंकि \(|a-a|=0\le 2\) / Reflexive because \(|a-a|=0\le 2\)
B स्ववाची नहीं है, क्योंकि (1) और (7) दूर हैं / Not reflexive because (1) and (7) are far apart
C स्ववाची तभी है जब सभी युग्म आएँ / Reflexive only when all pairs occur
D स्ववाची नहीं है, क्योंकि अंतर शून्य नहीं होना चाहिए / Not reflexive because the difference must not be zero
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Correct Answer
A. स्ववाची है, क्योंकि \(|a-a|=0\le 2\) / Reflexive because \(|a-a|=0\le 2\)
Step 1
Concept
हर (a) के लिए ((a,a)) की शर्त देखें। / Check the condition for each ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
(|a-a|=0) होता है और \(0\le 2\) सत्य है। / (|a-a|=0), and \(0\le 2\) is true.
Step 3
Exam Tip
दूर वाले अलग-अलग युग्म स्ववाचीता को प्रभावित नहीं करते। / Far non-diagonal pairs do not affect reflexivity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|>0\}\) दिया है। (R) कैसा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|>0\}\) is given. What is (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#absolute_difference
#hard
A स्ववाची है / Reflexive
B स्ववाची नहीं है क्योंकि (|a-a|=0) होता है / Not reflexive because (|a-a|=0)
C सार्वत्रिक संबंध है / Universal relation
D केवल ((1,1)) के कारण स्ववाची है / Reflexive only because of ((1,1))
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Correct Answer
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि (|a-a|=0) होता है / Not reflexive because (|a-a|=0)
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म में दोनों अवयव समान होते हैं। / In a diagonal pair, both entries are the same.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (|a-a|=0), जो (0) से बड़ा नहीं है। / Therefore (|a-a|=0), which is not greater than (0).
Step 3
Exam Tip
(>0) जैसी शर्तें अक्सर अपने साथ संबंध को हटा देती हैं। / Conditions like (>0) often remove self-related pairs.
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रिक्त समुच्चय \(A=\varnothing\) पर रिक्त संबंध \(R=\varnothing\) दिया है। स्ववाचीता के संदर्भ में सही कथन कौन-सा है?
On the empty set \(A=\varnothing\), the empty relation \(R=\varnothing\) is given. Which statement about reflexivity is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#empty_set
#hard
A (R) स्ववाची है क्योंकि जाँचने के लिए कोई अवयव नहीं है / (R) is reflexive because there is no element to check
B (R) स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई युग्म नहीं है / (R) is not reflexive because there is no pair
C (R) तभी स्ववाची होगा जब एक युग्म जोड़ा जाए / (R) will be reflexive only after adding one pair
D रिक्त समुच्चय पर स्ववाचीता परिभाषित नहीं होती / Reflexivity is not defined on the empty set
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Correct Answer
A. (R) स्ववाची है क्योंकि जाँचने के लिए कोई अवयव नहीं है / (R) is reflexive because there is no element to check
Step 1
Concept
स्ववाचीता कहती है कि हर अवयव अपने से संबंधित हो। / Reflexivity says every element must be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, इसलिए शर्त का उल्लंघन भी नहीं होता। / The empty set has no element, so the condition is not violated.
Step 3
Exam Tip
इसे रिक्त सत्यता के रूप में याद रखें। / Remember this as a vacuous truth.
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अरिक्त समुच्चय (A) पर रिक्त संबंध \(R=\varnothing\) दिया है। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
On a non-empty set (A), the empty relation \(R=\varnothing\) is given. Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#empty_relation
#hard
A स्ववाची है क्योंकि रिक्त संबंध सरल होता है / Reflexive because an empty relation is simple
B स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई ((a,a)) इसमें नहीं है / Not reflexive because no ((a,a)) is present
C हमेशा सार्वत्रिक है / Always universal
D केवल दो अवयवों पर स्ववाची है / Reflexive only on two elements
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Correct Answer
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई ((a,a)) इसमें नहीं है / Not reflexive because no ((a,a)) is present
Step 1
Concept
अरिक्त (A) में कम से कम एक अवयव (a) होगा। / A non-empty (A) has at least one element (a).
Step 2
Why this answer is correct
स्ववाचीता के लिए ((a,a)) चाहिए, लेकिन रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है। / Reflexivity requires ((a,a)), but the empty relation has no pairs.
Step 3
Exam Tip
रिक्त समुच्चय और रिक्त संबंध में अंतर समझें। / Distinguish an empty set from an empty relation on a non-empty set.
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किसी भी समुच्चय (A) पर सार्वत्रिक संबंध \(A \times A\) के बारे में सही कथन क्या है?
For any set (A), what is correct about the universal relation \(A \times A\)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#universal_relation
#hard
A यह हमेशा स्ववाची है / It is always reflexive
B यह कभी स्ववाची नहीं है / It is never reflexive
C यह केवल तब स्ववाची है जब (A) में दो अवयव हों / It is reflexive only when (A) has two elements
D यह केवल रिक्त समुच्चय पर स्ववाची है / It is reflexive only on the empty set
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Correct Answer
A. यह हमेशा स्ववाची है / It is always reflexive
Step 1
Concept
\(A \times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / \(A \times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर ((a,a)) भी उसमें अवश्य होगा। / Hence every ((a,a)) is definitely included.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध स्ववाचीता की शर्त अपने आप पूरी करता है। / The universal relation automatically satisfies reflexivity.
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यदि (A) अरिक्त है और (R) (A) पर स्ववाची संबंध है, तो \(A \times A-R\) के बारे में क्या सही है?
If (A) is non-empty and (R) is a reflexive relation on (A), what is correct about \(A \times A-R\)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#complement
#hard
A वह हमेशा स्ववाची होगा / It is always reflexive
B वह हमेशा (R) के बराबर होगा / It is always equal to (R)
C वह स्ववाची नहीं होगा क्योंकि कोई विकर्ण युग्म नहीं बचेगा / It is not reflexive because no diagonal pair remains
D वह सार्वत्रिक संबंध होगा / It will be the universal relation
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Correct Answer
C. वह स्ववाची नहीं होगा क्योंकि कोई विकर्ण युग्म नहीं बचेगा / It is not reflexive because no diagonal pair remains
Step 1
Concept
(R) स्ववाची है, इसलिए सभी ((a,a)) इसमें हैं। / Since (R) is reflexive, all ((a,a)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
पूरक \(A \times A-R\) में वे विकर्ण युग्म हट जाते हैं। / In the complement \(A \times A-R\), those diagonal pairs are removed.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर विकर्ण न होने से स्ववाचीता टूट जाती है। / On a non-empty set, missing diagonal pairs destroy reflexivity.
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यदि (R) समुच्चय (A) पर स्ववाची संबंध है और (S) (A) पर कोई भी संबंध है, तो \(R \cup S\) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (R) is a reflexive relation on (A) and (S) is any relation on (A), which statement about \(R \cup S\) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#union
#hard
A \(R \cup S\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R \cup S\) is always reflexive
B \(R \cup S\) कभी स्ववाची नहीं होगा / \(R \cup S\) is never reflexive
C \(R \cup S\) तभी स्ववाची होगा जब (S) खाली हो / It is reflexive only when (S) is empty
D \(R \cup S\) तभी स्ववाची होगा जब (S=R) हो / It is reflexive only when (S=R)
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Correct Answer
A. \(R \cup S\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R \cup S\) is always reflexive
Step 1
Concept
(R) में सभी विकर्ण युग्म पहले से मौजूद हैं। / All diagonal pairs are already present in (R).
Step 2
Why this answer is correct
संघ करने पर (R) के युग्म हटते नहीं, बल्कि (S) के युग्म जुड़ते हैं। / Taking a union does not remove pairs from (R); it only adds pairs from (S).
Step 3
Exam Tip
स्ववाची संबंध के साथ संघ स्ववाचीता को बनाए रखता है। / A union with a reflexive relation remains reflexive.
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यदि (R) और (S) समुच्चय (A) पर स्ववाची संबंध हैं, तो \(S \circ R\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) and (S) are reflexive relations on (A), which statement about \(S \circ R\) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#composition
#hard
A \(S \circ R\) हमेशा स्ववाची होगा / \(S \circ R\) is always reflexive
B \(S \circ R\) कभी स्ववाची नहीं होगा / \(S \circ R\) is never reflexive
C \(S \circ R\) केवल तब स्ववाची होगा जब \(R\cap S=\varnothing\) हो / It is reflexive only when \(R\cap S=\varnothing\)
D निर्णय केवल अवयवों की संख्या से होगा / It depends only on the number of elements
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Correct Answer
A. \(S \circ R\) हमेशा स्ववाची होगा / \(S \circ R\) is always reflexive
Step 1
Concept
किसी भी \(a \in A\) के लिए \((a,a) \in R\) और \((a,a) \in S\) है। / For every \(a \in A\), \((a,a) \in R\) and \((a,a) \in S\).
Step 2
Why this answer is correct
संयोजन में बीच का अवयव (a) ही चुन सकते हैं, इसलिए \((a,a) \in S \circ R\) होगा। / In the composition, choose the middle element as (a), so \((a,a) \in S \circ R\).
Step 3
Exam Tip
स्ववाची संबंधों का संयोजन भी स्ववाची होता है। / The composition of reflexive relations is reflexive.
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यदि (R) समुच्चय (A) पर स्ववाची है और \(B \subseteq A\), तो (R \cap \(B \times B\)) किस समुच्चय पर स्ववाची होगा?
If (R) is reflexive on (A) and \(B \subseteq A\), on which set is (R \cap \(B \times B\)) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#restriction
#hard
A (B) पर / On (B)
B केवल (A) पर / Only on (A)
C किसी भी समुच्चय पर नहीं / On no set
D केवल (A-B) पर / Only on (A-B)
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Correct Answer
A. (B) पर / On (B)
Step 1
Concept
(B) का हर अवयव (A) में भी है। / Every element of (B) is also in (A).
Step 2
Why this answer is correct
(R) स्ववाची होने से हर \(b \in B\) के लिए \((b,b) \in R\) है और \((b,b) \in B \times B\) भी है। / Since (R) is reflexive, \((b,b) \in R\) for every \(b \in B\), and also \((b,b) \in B \times B\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिबंधित संबंध (B) पर स्ववाची रहेगा। / Thus the restricted relation is reflexive on (B).
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यदि (R) समुच्चय (A) पर स्ववाची है और \(S \subseteq R\), तो (S) के बारे में कौन-सा कथन हमेशा सही है?
If (R) is reflexive on (A) and \(S \subseteq R\), which statement about (S) is always true?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#subrelation
#hard
A (S) हमेशा स्ववाची होगा / (S) is always reflexive
B (S) स्ववाची हो भी सकता है और नहीं भी / (S) may or may not be reflexive
C (S) हमेशा रिक्त होगा / (S) is always empty
D (S) हमेशा सार्वत्रिक होगा / (S) is always universal
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Correct Answer
B. (S) स्ववाची हो भी सकता है और नहीं भी / (S) may or may not be reflexive
Step 1
Concept
(S) (R) का उपसमुच्चय है, इसलिए इसमें (R) के कुछ युग्म हट सकते हैं। / Since \(S\subseteq R\), some pairs of (R) may be removed.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी आवश्यक ((a,a)) को हटा दिया गया, तो (S) स्ववाची नहीं रहेगा। / If any required ((a,a)) is removed, (S) is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
उपसंबंध में स्ववाचीता अपने आप सुरक्षित नहीं रहती। / Reflexivity is not automatically preserved in subrelations.
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