Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. मूल बिंदु वाली ओर शेड होगी/side containing origin is shaded
Step 1
Concept
Substituting ((0,0)) gives (0<12), which is true. Hence the half-plane containing the origin is the solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मूल बिंदु वाली ओर शेड होगी / side containing origin is shaded. Substituting ((0,0)) gives (0<12), which is true. Hence the half-plane containing the origin is the solution.
Step 3
Exam Tip
((0,0)) रखने पर (0<12) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाली ओर का अर्ध-समतल हल है।
C. टूटी रेखा और मूल बिंदु के विपरीत ओर/dashed line and opposite to origin
Step 1
Concept
The sign (>) makes the boundary dashed. Substituting ((0,0)) gives (0>8), false, so shade the opposite side.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. टूटी रेखा और मूल बिंदु के विपरीत ओर / dashed line and opposite to origin. The sign (>) makes the boundary dashed. Substituting ((0,0)) gives (0>8), false, so shade the opposite side.
Step 3
Exam Tip
चिन्ह (>) होने से रेखा टूटी होगी। ((0,0)) रखने पर (0>8) असत्य है इसलिए विपरीत ओर शेड होगा।
In \(y\le -3x+9\), (y) is less than or equal to the line value. Therefore the region below the line including the boundary is the solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. रेखा के नीचे सहित / below the line including it. In \(y\le -3x+9\), (y) is less than or equal to the line value. Therefore the region below the line including the boundary is the solution.
Step 3
Exam Tip
\(y\le -3x+9\) में (y) रेखा के मान से कम या बराबर है। इसलिए रेखा के नीचे का भाग सीमा सहित हल है।
The point ((3,2)) satisfies all conditions because \(3\ge 2\), \(2\ge 1\), and \(3+2\le 7\). Check each condition separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((3,2)). The point ((3,2)) satisfies all conditions because \(3\ge 2\), \(2\ge 1\), and \(3+2\le 7\). Check each condition separately.
Step 3
Exam Tip
((3,2)) सभी शर्तों को संतुष्ट करता है क्योंकि \(3\ge 2\), \(2\ge 1\) और \(3+2\le 7\)। हर शर्त अलग से जांचें।
D. ((2,3)) नहीं बल्कि ((2,3))/not ((2,3)) but ((2,3))
Step 1
Concept
Solving (x+2y=8) and (3x-y=3) gives (x=2) and (y=3). Verify the intersection in both equations.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. ((2,3)) नहीं बल्कि ((2,3)) / not ((2,3)) but ((2,3)). Solving (x+2y=8) and (3x-y=3) gives (x=2) and (y=3). Verify the intersection in both equations.
Step 3
Exam Tip
(x+2y=8) और (3x-y=3) हल करने पर (x=2) और (y=3) मिलता है। प्रतिच्छेद बिंदु को दोनों समीकरणों में जांचें।
C. \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) के ऊपर/above \(y\ge \frac{5x-10}{2}\)
Step 1
Concept
From \(-2y\le 10-5x\), reversing the sign gives \(y\ge \frac{5x-10}{2}\). The inequality sign changes when dividing by a negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) के ऊपर / above \(y\ge \frac{5x-10}{2}\). From \(-2y\le 10-5x\), reversing the sign gives \(y\ge \frac{5x-10}{2}\). The inequality sign changes when dividing by a negative.
Step 3
Exam Tip
\(-2y\le 10-5x\) से चिन्ह पलटकर \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर असमानता का चिन्ह बदलता है।
To the right, (x)-values are greater than (3), and a solid line includes equality. Therefore \(x\ge 3\) is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\ge 3\). To the right, (x)-values are greater than (3), and a solid line includes equality. Therefore \(x\ge 3\) is correct.
Step 3
Exam Tip
दाईं ओर (x) के मान (3) से बड़े होते हैं और ठोस रेखा बराबरी शामिल करती है। इसलिए \(x\ge 3\) सही है।
In the first quadrant, the region above (x+y=9) extends infinitely. Hence the solution region is unbounded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. असीमित क्षेत्र / unbounded region. In the first quadrant, the region above (x+y=9) extends infinitely. Hence the solution region is unbounded.
Step 3
Exam Tip
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=9) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक फैलता है। इसलिए हल क्षेत्र असीमित है।
The region is a rectangle of width (4) and height (3). Hence the area is \(4\times 3=12\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (12) वर्ग इकाई / (12) square units. The region is a rectangle of width (4) and height (3). Hence the area is \(4\times 3=12\).
Step 3
Exam Tip
क्षेत्र (4) चौड़ाई और (3) ऊंचाई वाला आयत है। इसलिए क्षेत्रफल \(4\times 3=12\) है।
The point ((1,2)) is the direct intersection of (x=1) and (y=2). To identify vertices, intersect boundary lines pairwise.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (x=1) और (y=2) / (x=1) and (y=2). The point ((1,2)) is the direct intersection of (x=1) and (y=2). To identify vertices, intersect boundary lines pairwise.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) सीधे (x=1) और (y=2) का प्रतिच्छेद है। शीर्ष पहचानने के लिए सीमाओं को जोड़ी में काटें।
B. मूल बिंदु हल क्षेत्र में है/origin is in the solution region
Step 1
Concept
Substituting ((0,0)) gives (0<8), which is true. Hence the side containing the origin is the solution region.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मूल बिंदु हल क्षेत्र में है / origin is in the solution region. Substituting ((0,0)) gives (0<8), which is true. Hence the side containing the origin is the solution region.
Step 3
Exam Tip
((0,0)) रखने पर (0<8) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाला भाग हल क्षेत्र है।
A. हल क्षेत्र में और सीमा पर/in solution region and on boundary
Step 1
Concept
Substituting ((1,4)) gives (2+4=6). Equality puts the point on the boundary and it is included because of \(\ge\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हल क्षेत्र में और सीमा पर / in solution region and on boundary. Substituting ((1,4)) gives (2+4=6). Equality puts the point on the boundary and it is included because of \(\ge\).
Step 3
Exam Tip
((1,4)) रखने पर (2+4=6) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है और \(\ge\) के कारण शामिल है।
No (x) can be both less than or equal to (1) and greater than or equal to (4). Therefore there is no common solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. रिक्त समुच्चय / empty set. No (x) can be both less than or equal to (1) and greater than or equal to (4). Therefore there is no common solution.
Step 3
Exam Tip
कोई (x) एक साथ (1) से छोटा या बराबर और (4) से बड़ा या बराबर नहीं हो सकता। इसलिए कोई संयुक्त हल नहीं है।
C. दो क्षैतिज रेखाओं के बीच पट्टी/strip between two horizontal lines
Step 1
Concept
The lines (y=2) and (y=6) are horizontal. The closed region between them is the common solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. दो क्षैतिज रेखाओं के बीच पट्टी / strip between two horizontal lines. The lines (y=2) and (y=6) are horizontal. The closed region between them is the common solution.
Step 3
Exam Tip
(y=2) और (y=6) क्षैतिज रेखाएं हैं। इनके बीच का बंद क्षेत्र संयुक्त हल है।
Substituting ((4,0)) gives \(12\le 9\), which is false. Therefore it lies outside the solution region.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हल क्षेत्र के अंदर / inside solution region. Substituting ((4,0)) gives \(12\le 9\), which is false. Therefore it lies outside the solution region.
Step 3
Exam Tip
((4,0)) रखने पर \(12\le 9\) असत्य है। इसलिए यह हल क्षेत्र के बाहर है।
D. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी/strip between two parallel lines
Step 1
Concept
The boundary lines (x+2y=10) and (x+2y=4) are parallel. The closed region between them is the common solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी / strip between two parallel lines. The boundary lines (x+2y=10) and (x+2y=4) are parallel. The closed region between them is the common solution.
Step 3
Exam Tip
सीमा रेखाएं (x+2y=10) और (x+2y=4) समानांतर हैं। इनके बीच का बंद क्षेत्र संयुक्त हल है।
In the first quadrant, both (x) and (y) are non-negative. The condition \(x+y\le 0\) is possible only when both are (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. केवल ((0,0)) / only ((0,0)). In the first quadrant, both (x) and (y) are non-negative. The condition \(x+y\le 0\) is possible only when both are (0).
Step 3
Exam Tip
प्रथम चतुर्थांश में (x) और (y) दोनों गैर-ऋणात्मक हैं। \(x+y\le 0\) तभी संभव है जब दोनों (0) हों।
C. सीमा रेखा पर और हल में/on boundary and in solution
Step 1
Concept
Substituting ((2,3)) gives \(3=2\times 2-1\). Equality places the point on the boundary and it is included because of \(\le\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सीमा रेखा पर और हल में / on boundary and in solution. Substituting ((2,3)) gives \(3=2\times 2-1\). Equality places the point on the boundary and it is included because of \(\le\).
Step 3
Exam Tip
((2,3)) रखने पर \(3=2\times 2-1\) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है और \(\le\) के कारण हल में है।
A. रेखा (x=-2) के बाईं ओर और रेखा शामिल नहीं/left of (x=-2) excluding the line
Step 1
Concept
In (x< -2), (x) is less than (-2). Hence shade the left side and draw a dashed boundary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. रेखा (x=-2) के बाईं ओर और रेखा शामिल नहीं / left of (x=-2) excluding the line. In (x< -2), (x) is less than (-2). Hence shade the left side and draw a dashed boundary.
Step 3
Exam Tip
(x< -2) में (x) का मान (-2) से कम है। इसलिए बाईं ओर शेड होगा और सीमा रेखा टूटी होगी।
(x) lies between two vertical boundaries and (y) lies between two horizontal boundaries. Hence a closed rectangle is formed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. आयत / rectangle. (x) lies between two vertical boundaries and (y) lies between two horizontal boundaries. Hence a closed rectangle is formed.
Step 3
Exam Tip
(x) दो ऊर्ध्वाधर सीमाओं और (y) दो क्षैतिज सीमाओं के बीच है। इसलिए बंद आयत बनता है।
B. मूल बिंदु हल में है क्योंकि \(0\le 5\) सत्य है/origin is in solution because \(0\le 5\) is true
Step 1
Concept
Substituting ((0,0)) gives \(0\le 5\), which is true. Therefore shade the side containing the origin.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मूल बिंदु हल में है क्योंकि \(0\le 5\) सत्य है / origin is in solution because \(0\le 5\) is true. Substituting ((0,0)) gives \(0\le 5\), which is true. Therefore shade the side containing the origin.
Step 3
Exam Tip
((0,0)) रखने पर \(0\le 5\) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाली ओर शेड होगी।
For the same point, (x+y) cannot be both less than (4) and greater than (4). Hence the common solution is empty.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. रिक्त समुच्चय / empty set. For the same point, (x+y) cannot be both less than (4) and greater than (4). Hence the common solution is empty.
Step 3
Exam Tip
एक ही बिंदु के लिए (x+y) एक साथ (4) से कम और (4) से अधिक नहीं हो सकता। इसलिए संयुक्त हल रिक्त है।
Dividing the whole inequality by (3) gives \(x+y\ge 7\). Dividing by a positive number does not change the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x+y\ge 7\). Dividing the whole inequality by (3) gives \(x+y\ge 7\). Dividing by a positive number does not change the sign.
Step 3
Exam Tip
पूरी असमानता को (3) से भाग देने पर \(x+y\ge 7\) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता।
Where (y) is greater than or equal to (x), the inequality is \(y\ge x\). If the boundary (y=x) is included, equality is also used.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(y\ge x\). Where (y) is greater than or equal to (x), the inequality is \(y\ge x\). If the boundary (y=x) is included, equality is also used.
Step 3
Exam Tip
जहां (y) का मान (x) से बड़ा या बराबर है वहां \(y\ge x\) होगा। सीमा रेखा (y=x) शामिल होने पर बराबरी भी आती है।
C. \(\frac{15}{2}\) वर्ग इकाई/\(\frac{15}{2}\) square units
Step 1
Concept
The vertices are ((1,0)), ((4,0)), ((4,1)), and ((1,4)). With parallel sides (4) and (1) and distance (3), the area is (\frac{1}{2}(4+1)3=\frac{15}{2}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\frac{15}{2}\) वर्ग इकाई / \(\frac{15}{2}\) square units. The vertices are ((1,0)), ((4,0)), ((4,1)), and ((1,4)). With parallel sides (4) and (1) and distance (3), the area is (\frac{1}{2}(4+1)3=\frac{15}{2}).
Step 3
Exam Tip
क्षेत्र के शीर्ष ((1,0)), ((4,0)), ((4,1)), ((1,4)) हैं। समांतर भुजाओं (4) और (1) तथा दूरी (3) से क्षेत्रफल (\frac{1}{2}(4+1)3=\frac{15}{2}) है।
